6.2.2 第2课时 函数最值的求法-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数最值求法，通过函数图像情境导入，引导学生观察极值与最值关系，衔接导数应用知识，构建从概念辨析到综合解题的学习支架，帮助学生逐步掌握求最值的核心步骤。 其亮点在于以数学思维为导向，通过含参数最值分类讨论、恒成立问题转化等典型案例培养逻辑推理，拓展部分构造函数证明不等式强化数学语言表达，分层作业设计助力学生巩固，教师可利用系统题型提升教学效率，学生能提升问题解决能力。

第二课时　函数最值的求法 1 基础落实 01 典例研析 02 拓视野　000 03 目录 课时作业 04 2 01 PART 基础落实 目 录 　　观察如图所示的函数y＝f（x），x∈[－3，2]的图象，回忆函数极值的定义，回答下列问题. 【问题】　（1）图中所示函数的极值点与极值分别是什么？ （2）图中所示函数最值点与最值分别是什么？ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点一　函数的最值点与极值点的关系 1. 如果函数y＝f（x）在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则 函数的最值点一定是某个 ⁠. 2. 如果函数y＝f（x）的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f（x）在 （a，b）内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是 ⁠ ⁠. 极值点　 极 值点　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【想一想】 　在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，想一 想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间（a，b）上呢？ 提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.如果函数f（x）在 [a，b]上是单调的，此时f（x）在[a，b]上无极值；如果f（x）在[a， b]上不是单调函数，则f（x）在[a，b]上有极值.当f（x）在（a，b） 上为单调函数时，它既没有最值也没有极值. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点二　函数极值与最值之间的关系 1. 函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是 一个整体性概念. 2. 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极 值是比较 附近的函数值得出的，函数的极值可以有 ⁠， 但最值只能有一个. 3. 极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最 值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时 必定是极值. 极值点　 多个　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 函数f（x）＝2x＋ sin x在区间[0，π]上的（　　） A. 最小值为0，最大值为π＋1 B. 最小值为0，最大值为2π C. 最小值为π＋1，最大值为2π D. 最小值为0，最大值为2 解析： 　f'（x）＝2＋ cos x＞0，所以f（x）在区间[0，π]上单调递增， 因此f（x）的最小值为f（0）＝0，最大值为f（π）＝2π. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 函数f（x）＝xln x＋ 在［ ，e］上的值域是（　　） A. ［1， ］ B. ［ ， ］ C. ［1， ］ D. ［ ， ］ √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由f（x）＝xln x＋ 求导得f'（x）＝ln x＋1－ （x＞0）， 当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，＋∞） 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝1，又f （ ）＝e－ ＝ ，f（e）＝e＋ ＝ ， ＞ ，所以函数f （x）在［ ，e］上的最大值为 ，因此函数f（x）在［ ，e］上的值 域是［1， ］.故选C. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 已知f（x）＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f （x）的极大值，求m的取值范围. 解：由题意可知x＝ 为函数的极大值点，且－2＜ ＜－1，解得－4＜m ＜－2. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜求函数的最值 【例1】　（1）函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的最小值为 ⁠； 解析：函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的定义域为（0，＋∞）. ①当x＞ 时，f（x）＝2x－1－2ln x，所以f'（x）＝2－ ＝ ， 当 ＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0，所以f（x）min＝f （1）＝2－1－2ln 1＝1； 1　 ②当0＜x≤ 时，f（x）＝1－2x－2ln x在 单调递减，所以f（x） min＝f ＝－2ln ＝2ln 2＝ln 4＞ln e＝1. 综上，f（x）min＝1. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）已知函数f（x）＝ ＋ln x，求f（x）在 上的最大值和最 小值. 解：f'（x）＝ ＋ ＝ . 由f'（x）＝0，得x＝1. 所以在 上，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表： 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 x ​ ​ 1 （1，2） 2 f'（x） － 0 ＋ f（x） 1－ln 2 单调 递减 极小 值0 单调 递增 － ＋ln 2 因为f －f（2）＝ －2ln 2＝ （ln e3－ln 16）， 而e3＞16，所以f ＞f（2）＞0. 所以f（x）在 上的最大值为f ＝1－ln 2，最小值为f（1）＝0. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 求函数最值的基本思路 （1）从极值点和端点处找最值：求函数的最值需先确定函数的极值，如 果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各 极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值； （2）单调区间取端点：当图象连续不断的函数f（x）在[a，b]上单调 时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 设函数f（x）＝x2＋ cos 2x. （1）求曲线y＝f（x）在点（ ，f（ ））处的切线与两坐标轴围成的 三角形的面积； 解：由题意，函数f（x）＝x2＋ cos 2x， 则f'（x）＝2x－2 sin x cos x＝2x－ sin 2x，可得f'（ ）＝π，f（ ）＝ ， 所以曲线y＝f（x）在点（ ，f（ ））处的切线方程为y－ ＝π（x－ ）， 即y＝πx－ ，可得直线y＝πx－ 在x轴，y轴上的截距分别为 ，－ ， 所以所求三角形的面积为 × × ＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值. 解： 由f'（x）＝2x－2 sin x cos x＝2x－ sin 2x， 令g（x）＝2x－ sin 2x， 则g'（x）＝2－2 cos 2x＝2（1－ cos 2x）≥0，所以函数f'（x）为增 函数. 又因为f'（0）＝0，所以当x∈[0，π]时，f'（x）≥0， 所以函数f（x）在[0，π]上单调递增， 所以函数f（x）在区间[0，π]上的最大值为f（π）＝π2＋1，最小值为f （0）＝1. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型二｜含参数的最值问题 【例2】　已知函数f（x）＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数.设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g （x）在区间[0，1]上的最小值. 解：因为f（x）＝ex－ax2－bx－1， 所以g（x）＝f'（x）＝ex－2ax－b， 又g'（x）＝ex－2a， 因为x∈[0，1]，1≤ex≤e， 所以①若a≤ ，则2a≤1，g'（x）＝ex－2a≥0， 所以函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min＝g（0）＝1－b. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ②若 ＜a＜ ，则1＜2a＜e， 于是当0＜x＜ln（2a）时，g'（x）＝ex－2a＜0， 当ln（2a）＜x＜1时，g'（x）＝ex－2a＞0， 所以函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减， 在区间[ln（2a），1]上单调递增， g（x）min＝g（ln（2a））＝2a－2aln（2a）－b. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ③若a≥ ，则2a≥e，g'（x）＝ex－2a≤0， 所以函数g（x）在区间[0，1]上单调递减， g（x）min＝g（1）＝e－2a－b. 综上所述，当a≤ 时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为1－b； 当 ＜a＜ 时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为2a－2aln（2a）－ b； 当a≥ 时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为e－2a－b. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【母题探究】 （变条件）若a＝1，b＝－2，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值. 解：因为a＝1，b＝－2， g（x）＝f'（x）＝ex－2x＋2， 又g'（x）＝ex－2，令g'（x）＝0， 因为x∈[0，1]，解得x＝ln 2，已知当x＝ln 2时，函数取极小值，也是最 小值， 故g（x）min＝g（ln 2）＝2－2ln 2＋2＝4－2ln 2. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 1. 含参数的函数最值问题的两类情况 （1）能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题； （2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论 导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已 知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出 极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知函数最值求参数值（范围）的思路 已知函数在某区间上的最值求参数的值（范围）是求函数最值的逆向思 维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出 最值后求参数的值或范围. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　已知函数f（x）＝ x3－ x2＋1在区间[0，a]上的最小值小于－ ， 则正数a的取值范围是（　　） A. （3，＋∞） B. （0，3） C. （2，＋∞） D. （0，2） √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由f（x）＝ x3－ x2＋1得f'（x）＝x[x－（a－1）]，当0 ＜a≤1时，f（x）在[0，a]上单调递增，f（x）的最小值为f（0）＝ 1，不符合题意；当a＞1时，f（x）在[0，a－1）上单调递减，在（a－ 1，a]上单调递增，f（x）的最小值为 f（a－1）＝1－ （a－1）3＜－ ，解得a＞3.故选A. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型三｜与最值有关的恒成立问题 【例3】　已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ 与x＝1处都取得 极值. （1）求a，b的值及函数f（x）的单调区间； 解： 由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c， 得f'（x）＝3x2＋2ax＋b， 因为f'（1）＝3＋2a＋b＝0，f' ＝ － a＋b＝0，解得a＝－ ，b ＝－2， 所以f'（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， 令f'（x）＝0，解得x＝－ 或x＝1， 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表： 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 x ​ － ​ 1 （1，＋∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） 单调 递增 极大值 单调 递减 极小值 单调 递增 所以函数f（x）的单调递增区间为 和（1，＋∞）；单调递减 区间为 . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）若对x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围. 解：由（1）知，f（x）＝x3－ x2－2x＋c，x∈[－1，2]， 当x＝－ 时，f ＝ ＋c为极大值， 因为f（2）＝2＋c，f（－1）＝ ＋c， 所以f（2）＝2＋c为最大值. 要使f（x）＜c2（x∈[－1，2]）恒成立，只需c2＞f（2）＝2＋c， 解得c＜－1或c＞2. 故c的取值范围为（－∞，－1）∪（2，＋∞）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【母题探究】 1. （变条件）若将本例中条件“若对x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2 恒成立”改为“若存在x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2成立”，结果 如何？ 解：由本例（2）知当x＝1时，f（1）＝c－ 为极小值， 又f（－1）＝ ＋c＞c－ ， 所以f（1）＝c－ 为最小值. 因为存在x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2成立， 所以只需c2＞f（1）＝c－ ，即2c2－2c＋3＞0， 解得c∈R. 故c的取值范围为R. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. （变条件）若本例中的条件“x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2恒成 立”换为“x∈[－2，0]，不等式f（x）＞－c恒成立”，求c的取值范 围. 解：由题意只需x∈[－2，0]时，f（x）min＞－c即可. 由本例可知f（x）在 上单调递增，f（x）在 上单调 递减. 且f（0）＝c，f（－2）＝－6＋c， 所以f（x）min＝f（－2）＝－6＋c， 所以－6＋c＞－c，所以c＞3. 故c的取值范围为（3，＋∞）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 　　恒成立问题向最值转化的方法 （1）要使不等式f（x）＜h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m， n]上求出函数f（x）的最大值f（x）max，只要h＞f（x）max，则上面的 不等式恒成立； （2）要使不等式f（x）＞h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m， n]上求出函数f（x）的最小值f（x）min，只要f（x）min＞h，则不等式f （x）＞h恒成立. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　已知函数f（x）＝2ax2－ex，a∈R，f'（x）为函数f（x）的导函数. （1）求函数f'（x）的单调性； 解： 因为f（x）＝2ax2－ex，且定义域为R， 所以f'（x）＝4ax－ex，令g（x）＝4ax－ex，则g'（x）＝4a－ex， 当a≤0时，g'（x）＜0，函数f'（x）在R上单调递减； 当a＞0时，令g'（x）＜0，得x∈（ln 4a，＋∞）， 令g'（x）＞0，得x∈（－∞，ln 4a）， 故函数f'（x）在（ln 4a，＋∞）上单调递减，在（－∞，ln 4a）上单调 递增. 综上，当a≤0时，f'（x）在R上单调递减； 当a＞0时，f'（x）在（ln 4a，＋∞）上单调递减，在（－∞，ln 4a）上 单调递增. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）若任意x∈（1，2），f（x）＋f'（x）＜2ax2－2恒成立，求a的取 值范围. 解： 由（1）得f'（x）＝4ax－ex， 因为对于任意x∈（1，2），f（x）＋f'（x）＜2ax2－2恒成立， 所以2ax2－ex＋4ax－ex＜2ax2－2恒成立， 化简得ex－1＞2ax恒成立，故2a＜ 恒成立. 令h（x）＝ ，则2a＜h（x）恒成立，h'（x）＝ ， 令u（x）＝（x－1）ex＋1，则u'（x）＝xex＞0， 所以u（x）在（1，2）上单调递增，即u（x）＞u（1）＝1， 故h'（x）＞0，h（x）在（1，2）上单调递增，而h（1）＝e－1， 即h（x）＞h（1）＝e－1，故a∈（－∞， ］. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 03 PART 拓视野　构造函数证明（求解）不等式 能力提升 目 录 1. 证明：当x＞0时，ln（1＋x）＜x. 2. 利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证. （1）ex＞1＋x，x≠0；（2）ln x＜x＜ex，x＞0. 【问题探究】 　利用导数证明不等式（或求解不等式）关键是构造函数，构造的函数类 型有如下几种： （1）对于f'（x）＞g'（x），构造h（x）＝f（x）－g（x），更一般 地，遇到f'（x）＞a（a≠0），即导函数大于某个非零常数（若a＝0， 则无需构造），则可构造h（x）＝f（x）－ax； 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）对于f'（x）＋g'（x）＞0，构造h（x）＝f（x）＋g（x）； （3）对于f'（x）＋f（x）＞0，构造h（x）＝exf（x）； （4）对于f'（x）－f（x）＞0，构造h（x）＝ ； （5）对于xf'（x）＋f（x）＞0，构造h（x）＝xf（x）； （6）对于xf'（x）－f（x）＞0，构造h（x）＝ ； （7）对于 ＞0，分类讨论：①若f（x）＞0，则构造h（x）＝lnf （x）；②若f（x）＜0，则构造h（x）＝ln [－f（x）]. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【迁移应用】 1. 已知f（x）是定义在区间（0，＋∞）上的函数，其导函数为f'（x）， 且不等式xf'（x）＜f（x）恒成立，则下列结论正确的是（　　） A. 3f（1）＜f（3） B. 3f（1）＞f（3） C. f（1）＜3f（3） D. f（1）＞3f（3） 解析： 　由xf'（x）＜f（x）可得xf'（x）－f（x）＜0，令函数g（x） ＝ ，x∈（0，＋∞），可得g'（x）＝ ＜0，即g （x）在（0，＋∞）上单调递减，因此可得g（1）＞g（3），即 ＞ ，所以3f（1）＞f（3）.故选B. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知f'（x）是定义在R上的函数f（x）的导函数，且满足2f（x）－f' （x）＞0，f（1）＝1，则下列结论正确的是（　　） A. f（－1）＜e－4 B. f（0）＜e－2 C. f（2）＞e2 D. f（3）＜e4 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　令g（x）＝ ，则g'（x）＝ ＜0，即g （x）在R上单调递减.g（1）＝ ＝e－2，g（－1）＝ ＝e2f （－1），g（0）＝ ＝f（0），g（2）＝ ＝e－4f（2），g （3）＝ ＝e－6f（3），由g（－1）＞g（0）＞g（1）＞g（2）＞ g（3），则e2f（－1）＞f（0）＞e－2＞e－4f（2）＞e－6f（3），所以f （－1）＞e－4，f（0）＞e－2，f（2）＜e2，f（3）＜e4.故选D. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 已知 0＜x＜ . （1）求证： sin x＜x＜tan x； 证明： 令函数f（x）＝x－ sin x，g（x）＝tan x－x， ∴f'（x）＝1－ cos x.又∵当0＜x＜ 时， cos x∈（0，1），∴f'（x） ＞0， 即函数f（x）在（0， ）上单调递增，∴f（x）＞f（0）＝0，即x＞ sin x； g（x）＝tan x－x＝ －x， 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ∴g'（x）＝ －1＝ ＞0恒成立， ∴函数g（x）在（0， ）上单调递增，∴g（x）＞g（0）＝0，即tan x ＞x. 综上所述， sin x＜x＜tan x. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）求证： sin x＋tan x＞2x. 证明： 令h（x）＝ sin x＋tan x－2x，则h（0）＝0， 则h'（x）＝ cos x＋ －2＝ ， 令t＝ cos x，∵0＜x＜ ，∴t∈（0，1）， 令m（t）＝t3－2t2＋1，则m'（t）＝3t2－4t，令m'（t）＜0，则0＜t＜ ， 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ∴函数m（t）在（0，1）上单调递减，即m（t）＞m（1）＝0，即 cos 3x－2 cos 2x＋1＞0. 又∵ cos 2x＞0， ∴当0＜x＜ 时，h'（x）＞0， 即函数h（x）在（0， ）上单调递增，∴h（x）＞h（0）＝0， 即 sin x＋tan x＞2x. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2，1]上的最大值、最小值分别是 （　　） A. 12，－8 B. 1，－8 C. 12，－15 D. 5，－16 解析： 　y'＝6x2－6x－12，由y'＝0解得x＝－1或x＝2（舍去）.x＝－2 时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8.所以ymax＝12，ymin＝－ 8.故选A. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 若函数f（x）＝a sin x＋ sin 3x在x＝ 处有最值，则a＝（　　） A. 2 B. 1 C. D. 0 解析： 　∵f（x）在x＝ 处有最值，∴x＝ 是函数f（x）的极值点. 又f'（x）＝a cos x＋ cos 3x，∴f' ＝a cos ＋ cos π＝0，∴a＝2. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 设函数f（x）＝x3－ －2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有f（x） ＞m，则实数m的取值范围是 ⁠. 解析：令f'（x）＝3x2－x－2＝0，得x＝1或x＝－ .f（－1）＝ ， f ＝ ，f（1）＝ ，f（2）＝7，∴m＜ . 　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 函数f（x）＝ x－ sin x，x∈[0，π]的最小值为 　 － 　. 解析：f'（x）＝ － cos x，所以x∈ 时，f'（x）＜0，f（x）单调 递减；x∈ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；所以f（x）min＝ f ＝ － . － 　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解：令f'（x）＝－x2＋x＋2a＝0， 得两根x1＝ ，x2＝ . 所以f（x）在（－∞，x1），（x2，＋∞）上单调递减，在（x1，x2）上 单调递增.当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4， 所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x2）. 又因为f（4）－f（1）＝－ ＋6a＜0， 即f（4）＜f（1）， 5. 设f（x）＝－ x3＋ x2＋2ax.当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最 小值为－ ，求f（x）在该区间上的最大值. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 所以f（x）在[1，4]上的最小值为f（4）＝8a－ ＝－ ， 得a＝1，x2＝2， 从而f（x）在[1，4]上的最大值为f（2）＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 函数f（x）＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 　f'（x）＝3x2－6x＝3x（x－2），当－1＜x＜0时，f'（x）＞ 0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，∴f（x）在（－1，0）上单调递增，在 （0，1）上单调递减，∴f（x）在区间[－1，1]上的最大值为f（0）＝2. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 函数f（x）＝2 ＋ ，x∈（0，5]的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 2 ＋ 解析： 　由f'（x）＝ － ＝ ＝0，得x＝1，且x∈（0，1）时，f' （x）＜0，x∈（1，5]时，f'（x）＞0，所以x＝1时，f（x）取得极小 值且为最小值，故最小值为f（1）＝3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 若函数f（x）＝ x3＋x2－1在区间（m，m＋5）上存在最小值，则实 数m的取值范围是（　　） A. [－5，0） B. [－3，0） C. （－5，0） D. （－3，0） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由f（x）＝ x3＋x2－1，得f'（x）＝x2＋2x＝x（x＋2），由 f'（x）＞0，得x＜－2或x＞0，由f'（x）＜0，得－2＜x＜0，所以f （x）在x＝－2处取极大值，x＝0处取极小值，所以要使函数f（x）＝ x3＋x2－1在区间（m，m＋5）上存在最小值，则 即 解得－3≤m＜0，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 若函数f（x）＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则 其最小值为（　　） A. －10 B. －71 C. －15 D. －22 解析： f'（x）＝3x2－6x－9＝3（x－3）（x＋1）.由f'（x）＝0，得 x＝3或x＝－1.又因为f（－4）＝k－76，f（3）＝k－27，f（－1）＝k ＋5，f（4）＝k－20.由f（x）max＝k＋5＝10，得k＝5，所以f（x）min ＝k－76＝－71. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 已知函数f（x）＝（x－2）ex＋（1－a）x，若对任意两个不等的实 数x1，x2，都有 ＞1，则a的最大值为（　　） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　不妨设x1＞x2，因为 ＞1，所以f（x1）－x1＞f （x2）－x2.构造函数g（x）＝f（x）－x＝（x－2）ex－ax，所以g （x1）＞g（x2），所以g（x）在R上单调递增，故g'（x）＝（x－1）ex －a≥0在R上恒成立，即a≤（x－1）ex在R上恒成立.令h（x）＝（x－ 1）ex，则h'（x）＝xex.令h'（x）＝0，则xex＝0，解得x＝0，当x＞0 时，h'（x）＞0，当x＜0时，h'（x）＜0，所以h（x）在（－∞，0）上 单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，h（x）≥h（0）＝－1，即a≤ －1.所以a的最大值为－1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 6. 〔多选〕已知函数f（x）＝ex－ax，则下列说法正确的是（　　） A. 当a≤0时，f（x）为增函数 B. ∃a∈（0，＋∞），f（x）max＝a C. 当a＝1时，f（x）的极值点为0 D. ∃a∈（0，＋∞），f（x）min＝a √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　对于A，当a≤0时，由f（x）＝ex－ax，得f'（x）＝ex－a ＞0，所以f（x）为增函数，所以A正确.对于C，当a＝1时，由f'（x）＝ ex－1＝0，得x＝0，当x＜0时，f'（x）＜0，当x＞0时，f'（x）＞0，所 以f（x）的极小值点为0，所以C正确.对于B、D，当a＞0时，f'（x）＝ ex－a，当x＜ln a时，f'（x）＜0，当x＞ln a时，f'（x）＞0，所以f （x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增，所以f （x）min＝f（ln a）＝a－aln a，没有最大值，当a＝1时，f（x）min＝ a，所以B错误，D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 7. 当x∈[－1，1]时，函数f（x）＝ 的值域是 ⁠. 解析：由f'（x）＝ ＝ ＝0，得x＝0或2（舍去），f（－1） ＝e，f（0）＝0，f（1）＝ ，所以f（x）的值域为[0，e]. [0，e]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 8. 若函数f（x）＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为 m，n，则m－n＝ ⁠. 解析：∵f'（x）＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，f'（x）＞0；当－1＜x ＜1时，f'（x）＜0.∴f（x）在[0，1）上单调递减，在（1，3]上单调递 增.∴f（x）min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f（0）＝－a，f （3）＝18－a，∴f（0）＜f（3）.∴f（x）max＝f（3）＝18－a＝m， ∴m－n＝18－a－（－2－a）＝20. 20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 9. 设函数f（x）＝ x2ex，若当x∈[－2，2]时，不等式f（x）＞m恒成 立，则实数m的取值范围是 ⁠. 解析：f'（x）＝xex＋ x2ex＝ ·x（x＋2），令f'（x）＝0得x＝0或x＝ －2.当x∈[－2，2]时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表： x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2 f'（x） 0 － 0 ＋ f（x） 单调递减 极小值0 单调递增 （－∞，0）　 ∴当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝0，要使f（x）＞m对x∈[－2，2]恒 成立，只需m＜f（x）min，∴m＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 10. 已知f（x）＝2x3－mx2－12x＋6的一个极值点为2. （1）求函数f（x）的单调区间； 解： 由题意可得f'（x）＝6x2－2mx－12， 则f'（2）＝24－4m－12＝0，解得m＝3， 当m＝3时，f（x）＝2x3－3x2－12x＋6，f'（x）＝6x2－6x－12， 令f'（x）＞0，解得x＞2或x＜－1， 令f'（x）＜0，解得－1＜x＜2， 则f（x）的单调递增区间为（－∞，－1），（2，＋∞），单调递减区间 为（－1，2）， 可得x＝2为极小值点，即m＝3符合题意， 故f（x）的单调递增区间为（－∞，－1），（2，＋∞），单调递减区间 为（－1，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）求函数f（x）在区间[－2，2]上的最值. 解： ∵x∈[－2，2]，由（1）可得f（x）在[－2，－1]上单调递 增，在（－1，2]上单调递减， 则函数f（x）在区间[－2，2]上的最大值为f（－1）＝13. 又∵f（－2）＝2，f（2）＝－14，即f（－2）＞f（2）， 则函数f（x）在区间[－2，2]上的最小值为f（2）＝－14， 故函数f（x）在区间[－2，2]上的最大值为f（－1）＝13，最小值为f （2）＝－14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 11. 〔多选〕已知函数f（x）＝ x3－4x＋2，下列说法中正确的有 （　　） A. 函数f（x）的极大值为 ，极小值为－ B. 当x∈[3，4]时，函数f（x）的最大值为 ，最小值为－ C. 函数f（x）的单调递减区间为[－2，2] D. 曲线y＝f（x）在点（0，2）处的切线的方程为y＝－4x＋2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　f（x）定义域为R，f'（x）＝x2－4.令f'（x）＝0，得x＝ －2或x＝2，所以f（x）在（－∞，－2）和（2，＋∞）上单调递增，在 [－2，2]上单调递减，故C正确；f（x）极大值＝f（－2）＝ ×（－2）3 －4×（－2）＋2＝ ，f（x）极小值＝f（2）＝ ×23－4×2＋2＝－ ， 故A正确；当x∈[3，4]时，函数f（x）单调递增，f（3）＝ ×33－4×3 ＋2＝－1，f（4）＝ ×43－4×4＋2＝ ，所以当x∈[3，4]时，f（x） 的最大值为 ，最小值为－1，故B不正确；f'（0）＝－4，曲线在点（0， 2）处的切线的方程为y－2＝－4（x－0），即y＝－4x＋2，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 12. 已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a，2]上的最大值为 ，则a＝ ⁠ ⁠. 解析：y'＝－2x－2，令y'＝0，得x＝－1，∴函数在（－∞，－1）上单调 递增，在（－1，＋∞）上单调递减.若－1＜a＜2，则最大值为f（a）＝ －a2－2a＋3＝ ，解得a＝－ ；若a≤－1，则最大值为 f（－1）＝－1＋2＋3＝4≠ .综上知，a＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 13. 已知函数f（x）＝ ＋a（x2－1）. （1）当a＝0时，求f（x）的极值； 解： 当a＝0时，f（x）＝ ，定义域是（0，＋∞），则f'（x） ＝ ， 令f'（x）＝0，得x＝e. x，f'（x），f（x）的变化情况如表所示： x （0，e） e （e，＋∞） f'（x） ＋ 0 － f（x） ↗ ​ ↘ 所以f（x）极大值＝f（e）＝ ，f（x）没有极小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）当a＝1时，求f（x）在[1，＋∞）上的最小值. 解： 当a＝1时，f（x）＝ ＋x2－1，x∈[1，＋∞）， 则f'（x）＝ ＋2x＝ . 令g（x）＝1－ln x＋x3，x∈[1，＋∞）， 则g'（x）＝－ ＋3x2＝ ＞0， 则g（x）在[1，＋∞）上是增函数，则g（x）min＝g（1）＝2， 所以f'（x）＞0，即f（x）在[1，＋∞）上是增函数， 则f（x）min＝f（1）＝0. 故当a＝1时，f（x）在[1，＋∞）上的最小值是0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 14. 设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝ln x的图象分别交于点M， N，则当｜MN｜达到最小值时t的值为（　　） A. 1 B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　因为f（x）的图象始终在g（x）的上方，所以｜MN｜＝f （x）－g（x）＝x2－ln x，设h（x）＝x2－ln x，则h'（x）＝2x－ ＝ ，令h'（x）＝ ＝0，得x＝ 或x＝－ （舍去），所以h （x）在 上单调递减，在 上单调递增，所以当x＝ 时有最小值，故t＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 15. 已知函数f（x）＝ax2＋bx－ln x（a，b∈R）. （1）当a＝－1，b＝3时，求函数f（x）在 上的最大值和最小值； 解： 当a＝－1，b＝3时，f（x）＝－x2＋3x－ln x，且 x∈ ， f'（x）＝－2x＋3－ ＝－ ＝－ . 当 ＜x＜1时，f'（x）＞0；当1＜x＜2时，f'（x）＜0， 所以函数f（x）在 上单调递增，在（1，2）上单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 所以函数f（x）在区间 上仅有极大值点x＝1， 故这个极大值点也是最大值点， 即函数在 上的最大值是f（1）＝2. 又f（2）－f ＝（2－ln 2）－ ＝ －2ln 2＝ －ln 4＜0， 所以f（2）＜f ， 故函数f（x）在 上的最小值为f（2）＝2－ln 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）当a＝0时，是否存在正实数b，使x∈（0，e]时，函数f（x）的最 小值是3？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由. 解： 存在. 当a＝0时，f（x）＝bx－ln x，得f'（x）＝b－ ＝ . ①当0＜b≤ ，即 ≥e，x∈（0，e]时，f'（x）＜0，f（x）单调递减， f（x）min＝f（e）＝be－1＜0，不合题意； ②当b＞ ，即0＜ ＜e，x∈ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减， x∈ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 所以f（x）min＝f ＝1＋ln b＝3，得b＝e2. 综上所述，存在实数b＝e2使得函数f（x）的最小值是3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 $