6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法则-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦简单复合函数的求导法则，通过观察y=(3x-1)²、y=sin2x等实例导入，衔接基本初等函数知识，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生建立复合函数概念与求导法则的知识脉络。 其亮点在于以数学思维和数学运算为核心，典例研析分层讲解求导四步骤并总结通性通法，拓展探究导函数奇偶性、周期性培养数学眼光，自我诊断与跟踪训练分层设计，助力学生提升运算能力与逻辑推理能力，教师可高效开展教学与效果检测。

第二课时　简单复合函数的求导法则 1 能求简单的复合函数的导数（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 拓视野　导函数的奇偶性及周期性探究 03 目录 课时作业 04 3 01 PART 基础落实 目 录 　　观察函数y＝（3x－1）2和y＝ sin 2x，不难发现，y＝（3x－1）2由 y＝u2及u＝3x－1复合而成，y＝ sin 2x由y＝ sin u及u＝2x复合而成.像 这样由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数. 【问题】　怎样求复合函数的导数呢？ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点　复合函数 1. 复合函数的定义 已知函数y＝f（u）与u＝g（x），给定x的任意一个值，就能确定u的 值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f（g （x））有意义，且称y＝h（x）＝ 为函数f（u）与g （x）的复合函数，其中 称为中间变量. f（g（x））　 u　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 复合函数的求导法则 如果函数y＝f（u）与u＝g（x）的复合函数为y＝h（x）＝f（g （x）），则 （1）h'（x）＝[f（g（x））]'＝ ＝ ⁠ ⁠； （2）y'x＝ ⁠. f'（u）·g'（x）　 f'（g （x））·g'（x）　 y'u·u'x　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【想一想】 1. 已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln（2x＋5），y＝ sin （x＋2）.这三个 函数都是复合函数吗？ 提示：函数y＝ln（2x＋5），y＝ sin （x＋2）是复合函数，函数y＝2x ＋5＋ln x不是复合函数. 2. 试说明函数y＝ln（2x＋5）是如何复合的？ 提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln（2x＋5）可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自 变量x的函数. 3. 求复合函数的导数与顺序有关吗？ 提示：一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 下列函数求导正确的是（　　） A. （e－x）'＝e－x B. （ln x2）'＝ C. （ex＋ln 3）'＝ex＋ D. （x－2）'＝－2 解析： 　对于A，（e－x）'＝－e－x，故A错误；对于B，（ln x2）'＝ ＝ ，故B正确；对于C，（ex＋ln 3）'＝ex，故C错误；对于D，（x－2）'＝ －2x－3＝－ ，故D错误.故选B. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 函数f（x）＝（2x＋1）5，则f'（0）的值为 ⁠. 解析：f'（x）＝5（2x＋1）4·（2x＋1）'＝10（2x＋1）4，∴f'（0）＝10. 3. 函数f（x）＝e2x＋ax的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x－y ＋b＝0，则a＋b＝ ⁠. 解析：由f（x）＝e2x＋ax，则f'（x）＝2e2x＋a，又f（x）的图象在点 （0，f（0））处的切线方程为2x－y＋b＝0，则f'（0）＝2＋a＝2，得a ＝0，又f（0）＝1，则有0－1＋b＝0，得b＝1，所以a＋b＝1. 10　 1　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜简单复合函数求导 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝e cos x＋1； 解： 设y＝eu，u＝ cos x＋1， 则y'　x＝y'　u·u'　x＝eu·（－ sin x）＝－e cos x＋1 sin x. （2）y＝log2（2x＋1）； 解： 设y＝log2u，u＝2x＋1， 则y'　x＝y'　u·u'　x＝ ＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （3）y＝2 sin ； 解： 设y＝2 sin u，u＝3x－ ， 则y'　x＝y'　u·u'　x＝2 cos u×3＝6 cos . （4）y＝ . 解： 设y＝ ，u＝1－2x，则y'　x＝y'　u·u'　x＝ '·（1－2x）' ＝－ ×（－2）＝（1－2x . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 1. 求复合函数的导数的步骤 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 求复合函数的导数的注意点 （1）分解的函数通常为基本初等函数； （2）求导时分清是对哪个变量求导； （3）计算结果尽量简洁. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　求下列函数的导数： （1）y＝103x－2； 解： 令u＝3x－2，则y＝10u， 所以y'　x＝y'　u·u'　x＝10uln 10·（3x－2）' ＝3×103x－2ln 10. （2）y＝ln（ex＋x2）； 解： 令u＝ex＋x2，则y＝ln u， 所以y'　x＝y'　u·u'　x＝ ·（ex＋x2）' ＝ ·（ex＋2x）＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （3）y＝ sin 4x＋ cos 4x. 解： 因为y＝ sin 4x＋ cos 4x ＝（ sin 2x＋ cos 2x）2－2 sin 2x· cos 2x ＝1－ sin 22x＝1－ （1－ cos 4x） ＝ ＋ cos 4x， 所以y'＝ '＝－ sin 4x. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型二｜复合函数与导数的运算法则的综合应用 【例2】　求下列函数的导数： （1）y＝ ； 解： ∵（ln 3x）'＝ ×（3x）'＝ ， ∴y'＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）y＝x ； 解： y'＝（x ）' ＝x' ＋x（ ）' ＝ ＋ ＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （3）y＝x cos sin . 解： ∵y＝x cos sin ＝x（－ sin 2x） cos 2x＝－ x sin 4x， ∴y'＝ ' ＝－ sin 4x－ cos 4x·4 ＝－ sin 4x－2x cos 4x. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 1. 在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则， 联系学过的求导公式，对不易用求导法求导的函数，可适当地进行等价变 形，以达到化异求同、化繁为简的目的. 2. 复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合 过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　求下列函数的导数： （1）y＝ sin 2 ； 解： ∵y＝ ， ∴y'＝（ － ）'＝ sin x. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）y＝ sin 3x＋ sin x3. 解： y'＝（ sin 3x＋ sin x3）'＝（ sin 3x）'＋（ sin x3）' ＝3 sin 2x cos x＋ cos x3·3x2 ＝3 sin 2x cos x＋3x2 cos x3. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型三｜复合函数的导数与导数几何意义的综合应用 【例3】　曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 （　　） A. B. 2 C. 3 D. 0 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　设曲线y＝ln（2x－1）在点（x0，y0）处的切线与直线2x－y ＋3＝0平行.∵y＝ln（2x－1），∴y'＝ ，y ＝ ＝2，解得 x0＝1，∴y0＝ln（2－1）＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到 直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝ ＝ ，即曲线y＝ln（2x－1） 上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【母题探究】 （变条件，变设问）若本例条件变为“曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线 2x－y＋m＝0的最小距离为2 ”，求m的值. 解：由题意可知，设切点为P（x0，y0）， ∵y＝ln（2x－1）， ∴y'＝ ，y ＝ ＝2，解得x0＝1， ∴y0＝0，即切点P（1，0）， ∴ ＝2 ，解得m＝8或－12.即实数m的值为8或－12. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 　　本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时要注意所给点是否 为切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问 题，寻求切点是解决问题的关键. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　已知函数f（x）＝3x＋ cos 2x＋ sin 2x，f'（x）是f（x）的导函数， 且a＝f' ，求过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程. 解：∵f'（x）＝3－2 sin 2x＋2 cos 2x，∴f' ＝3－2 sin ＋2 cos ＝ 1，即a＝1，∵P（a，b）在曲线y＝x3上，∴b＝a3＝1，即P（1， 1）， ①若P是切点，∵y'＝3x2，∴曲线y＝x3在P（1，1）处的切线斜率k＝ 3， ∴所求切线方程为y－1＝3（x－1），即3x－y－2＝0； 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ②若P不是切点，可设切点坐标为（t，t3）， ∴切线斜率k＝3t2＝ ，解得t＝－ ， ∴k＝ ， ∴所求切线方程为y－1＝ （x－1），即3x－4y＋1＝0. 综上所述：过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程为3x－y－2＝0或 3x－4y＋1＝0. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 03 PART 拓视野　导函数的奇偶性及周期性探究 能力提升 目 录 1. 若f（x）＝xα，则f'（x）＝αxα－1，如f（x）＝x3，f'（x）＝3x2， g（x）＝x4，g'（x）＝4x3. 2. 若f（x）＝ sin x，则f'（x）＝ cos x. 3. 若f（x）＝ cos x，则f'（x）＝－ sin x. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【问题探究】 　由上述导数公式试归纳猜想以下命题成立： （1）奇函数的导数是偶函数； （2）偶函数的导数是奇函数； （3）周期函数的导数还是周期函数. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 提示：（1）设f（x）是可导的奇函数，则有f（－x）＝－f（x），两边 对x求导，得f'（－x）·（－x）'＝－f'（x），即－f'（－x）＝－f' （x），f'（－x）＝f'（x），从而f'（x）为偶函数，故原命题成立. （2）设f（x）是可导的偶函数，则f（－x）＝f（x），两边对x求导， 得f'（－x）×（－x）'＝f'（x），即－f'（－x）＝f'（x），从而f'（x） 是奇函数，故原命题成立. （3）设f（x）为可导的周期函数，T为f（x）的一个周期，则对定义域 内的每一个x，都有f（x＋T）＝f（x），两边同时对x求导得f'（x＋ T）（x＋T）'＝f'（x），即f'（x＋T）＝f'（x），从而f'（x）也是以T 为周期的周期函数，故原命题成立. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【迁移应用】 　推广1：可导函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称的 充要条件是导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称. 证明：必要性：由函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对 称，得f（x）＋f（2a－x）＝2f（a），于是[f（x）＋f（2a－x）]'＝ [2f（a）]'，又[f（2a－x）]'＝f'（2a－x）×（－1）＝－f'（2a－ x）， 因此f'（x）－f'（2a－x）＝0，即f'（x）＝f'（2a－x）. 所以导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 充分性：导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称，则f'（x）＝f'（2a －x）， 即[f（x）＋f（2a－x）]'＝0，于是f（x）＋f（2a－x）＝C（C为常 数）. 令x＝a，则有2f（a）＝C. 所以f（x）＋f（2a－x）＝2f（a）. 因此可导函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 推广2：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称的充要条件是导函数y ＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称. 证明：必要性：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称，则f（x）＝f （2a－x），于是f'（x）＝[f（2a－x）]'，故f'（x）＝－f'（2a－x）， 即f'（x）＋f'（2a－x）＝0. 因此导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 充分性：导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称，则f'（x）＋ f'（2a－x）＝0. 即[f（x）－f（2a－x）]'＝0，因此f（x）－f（2a－x）＝C（C为常 数）. 令x＝a，得C＝0.所以f（x）＝f（2a－x）. 故函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 已知f（x）＝ cos 2x＋e2x，则f'（x）＝（　　） A. －2 sin 2x＋2e2x B. sin 2x＋e2x C. 2 sin 2x＋2e2x D. － sin 2x＋e2x 解析： 　f'（x）＝－ sin 2x·（2x）'＋e2x·（2x）'＝－2 sin 2x＋2e2x， 故选A. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 函数y＝ 的导数为（　　） A. y'＝ － B. y'＝ － C. y'＝ － D. y'＝ － √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　因为y＝ ，则y'＝ ＝ ＝ ＝ － .故选B. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 已知函数f（x）＝ln（ax）（a＞0）在x＝1处的切线过原点，则a的 值为（　　） A. B. C. e D. e2 解析： 　由f（x）＝ln（ax）（a＞0），则f'（x）＝ ，所以f（1）＝ ln a，f'（1）＝1，即切线方程为y＝x－1＋ln a.又函数f（x）在x＝1处 的切线过原点，所以ln a－1＝0，即a＝e.故选C. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 已知f（x）＝ln（3x－1）， 则f'（1）＝ ⁠. 解析：∵f'（x）＝ ·（3x－1）'＝ ，∴f'（1）＝ . 　 5. 设曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a ＝ ⁠. 解析：由题意知y'＝aeax，∴k＝a·ea×0＝a＝2. 2　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. 下列求导运算正确的是（　　） A. （ sin x）'＝－ cos x B. （log2x）'＝ C. '＝ D. （e2x＋1）'＝2e2x＋1 解析： 　选项A，（ sin x）'＝ cos x，故A错误；选项B，（log2x）'＝ ，故B错误；选项C， '＝ ，故C错误；选项D，（e2x＋1）'＝ e2x＋1·（2x＋1）'＝2e2x＋1正确.故选D. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 函数f（x）＝ ＋ cos 2x，则f'（x）＝（　　） A. －2 sin 2x B. － － sin 2x C. ＋ sin 2x D. － －2 sin 2x 解析： 　因为f（x）＝ ＋ cos 2x，所以f'（x）＝ －2 sin 2x，故f'（x）＝－ －2 sin 2x.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 曲线y＝f（x）＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围 成的三角形的面积为（　　） A. B. C. D. 1 √ 解析： 　∵f'（x）＝－2e－2x，f'（0）＝－2e－2×0＝－2， ∴曲线在点（0，2）处的切线方程为y＝－2x＋2. 由 得x＝y＝ ，∴A ，则围成的 三角形的面积为 × ×1＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 已知函数f（x）＝xex－1＋x2，则f（x）的图象在x＝1处的切线方程为 （　　） A. 4x－y－2＝0 B. x－4y－2＝0 C. 4x－y＋2＝0 D. x－4y＋2＝0 解析： 　函数f（x）＝xex－1＋x2，求导得f'（x）＝（x＋1）ex－1＋ 2x，则f'（1）＝4，而f（1）＝2，所以f（x）的图象在x＝1处的切线方 程为y－2＝4（x－1），即4x－y－2＝0.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 设f（x）＝ln（2x－1），若f（x）在x0处的导数f'（x0）＝1，则x0的 值为（　　） A. B. C. 1 D. 解析： 　由f（x）＝ln（2x－1），得f'（x）＝ ，由f'（x0）＝ ＝1，解得x0＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 6. 函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角 为（　　） A. 0 B. C. D. 解析： 　∵f'（x）＝ ，∴函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象在点 （1，f（1））处的切线的斜率k＝f'（1）＝ ＝1.设函数f（x）＝ln （x2＋1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为θ，则tan θ＝ 1，∴θ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 7. 已知函数f（x）＝ sin 2x－f'（π）x，则f'（π）＝ ⁠. 解析：因为f'（x）＝2 cos 2x－f'（π），所以f'（π）＝2 cos 2π－f'（π）， 解得f'（π）＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 8. 已知函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋ ，则x＞0 时，f（x）＝ ，f（1）＋f'（1）＝ ⁠. 解析：∵函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋ ，∴令x＞ 0，则－x＜0，∴f（－x）＝ex－ ＝－f（x），∴f（x）＝－ex＋ ， x＞0.∴f'（x）＝－ex－ ，x＞0，∴f'（1）＝－e－1，f（1）＝－e＋ 1，∴f（1）＋f'（1）＝－e－1－e＋1＝－2e. －ex＋ 　 －2e　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 9. 若曲线y＝ln 2x在点P（x1，y1）处的切线与曲线y＝e2x相切于点Q （x2，y2），则 ＋x2＝ 　－ 　. － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析：曲线y＝ln 2x在点P（x1，y1）处的切线与曲线y＝e2x相切于点Q （x2，y2），∵（ln 2x）'＝ ，（e2x）'＝2e2x，∴曲线y＝ln 2x在点P （x1，y1）处的切线斜率k1＝ ，曲线y＝e2x在点Q（x2，y2）处的切线 斜率k2＝2 ，∴曲线y＝ln 2x在点P（x1，y1）处的切线方程为y＝ （x－x1）＋y1＝ x＋ln 2x1－1，或y＝2 （x－x2）＋y2＝2 x＋ （1－2x2） ，∴ 即 ∴2x1（2x2＋1）＝2x2－1，易知2x2＋ 1≠0，∴2x1＝ ，∴ ＋x2＝ ＋x2＝ ＋x2＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 10. 曲线y＝e2x cos 3x在（0，1）处的切线与直线l平行，且与l的距离为 ，求直线l的方程. 解：由y'＝（e2x cos 3x）' ＝（e2x）' cos 3x＋e2x（ cos 3x）' ＝2e2x cos 3x＋e2x（－3 sin 3x） ＝e2x（2 cos 3x－3 sin 3x）， 得y'x＝0＝2. 则切线方程为 y－1＝2（x－0）， 即2x－y＋1＝0. 若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0， 两平行线间的距离d＝ ＝ ，解得c＝6或c＝－4. 故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 11. 〔多选〕给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导 函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″ （x）＝（f'（x））'，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上 为凸函数.以下四个函数在 上不是凸函数的是（　　） A. f（x）＝ sin x－ cos x B. f（x）＝ln x－2x C. f（x）＝－x3＋2x－1 D. f（x）＝xex √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　对于A，f'（x）＝ cos x＋ sin x，f″（x）＝－ sin x＋ cos x＝ － sin ，当x∈ 时，－ ＜x－ ＜0，f″（x）＞0，故f （x）＝ sin x－ cos x不是凸函数；对于B，f'（x）＝ －2，f″（x）＝－ ＜0，故f（x）＝ln x－2x是凸函数；对于C，f'（x）＝－3x2＋2，对任 意的x∈ ，f″（x）＝－6x＜0，故f（x）＝－x3＋2x－1是凸函 数；对于D，f'（x）＝（x＋1）ex，对任意的x∈ ，f″（x）＝ （x＋2）ex＞0，故f（x）＝xex不是凸函数.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 12. 已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e－x－1－x，则曲线y＝f （x）在点（1，2）处的切线方程是 ⁠. 解析：设x＞0，则－x＜0，f（－x）＝ex－1＋x.因为f（x）为偶函数， 所以当x＞0时，f（x）＝ex－1＋x，f'（x）＝ex－1＋1，f'（1）＝2，即所 求的切线方程为y－2＝2（x－1），即2x－y＝0. 2x－y＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解： 由题得f'（x）＝ ex（x≠0）， 函数y＝f（2x）可看作由函数f（u）＝ 和u＝2x复合而成， 得y'＝f'（u）·u'x＝ eu·2＝ e2x. 不等式f'（2x）＜－ e2x等价于 ＜－ ， 即3x2＋4x－2＜0，解得 ＜x＜ 且x≠0， 故原不等式的解集为（－ ，0）∪（0， ）. 13. 已知函数f（x）＝ . （1）求函数y＝f（2x）的导数及不等式f'（2x）＜－ e2x的解集； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）若过原点的直线l与曲线y＝f（x）相切，求直线l的斜率. 解： 设直线l的方程为y＝kx， 直线l与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0）， 则 即 两式相除，得 ＝x0.因为x0≠0，所以x0＝2， 故k＝ ＝ ，即直线l的斜率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 14. 设函数f（x）＝ cos （ x＋φ），其中常数φ满足－π＜φ＜0.若函数 g（x）＝f（x）＋f'（x）（其中f'（x）是函数f（x）的导数）是偶函 数，则φ等于（　　） A. － π B. － π C. － π D. － π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　∵f（x）＝ cos （ x＋φ），∴f'（x）＝－ sin （ x＋ φ），∴g（x）＝f（x）＋f'（x）＝ cos （ x＋φ）－ sin （ x＋ φ）＝2 cos （ x＋φ＋ ）.∵函数g（x）为偶函数，∴φ＋ ＝kπ， k∈Z，∴φ＝－ ＋kπ，k∈Z. ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 15. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天 等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程 中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系P（t） ＝P0 ，其中P0为t＝0时该放射性同位素的含量.已知t＝15时，该放射 性同位素的瞬时变化率为－ ，求该放射性同位素含量为4.5贝克时衰 变所需的时间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解：由P（t）＝P0 得P'（t）＝－ ·P0· ln 2，因为t＝15时，该 放射性同位素的瞬时变化率为－ ，即P'（15）＝－ P0＝－ ，解得P0＝18，则P（t）＝18· ，当该放射性同位素含量为4.5 贝克时，即P（t）＝4.5，所以18· ＝4.5，即 ＝ ，所以－ ＝ －2，解得t＝60. 故该放射性同位元素含量为4.5贝克时衰变所需的时间为60天. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 $