6.1.4 第1课时 函数和、差、积、商的求导法则-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数和、差、积、商的求导法则，通过高铁瞬时速度的情境导入，联系导数定义的复杂运算，引出法则学习的必要性，搭建从导数定义到四则运算法则的过渡支架。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过典例研析中的通性通法（如先化简再求导）发展数学思维，分层训练（自我诊断、跟踪训练）提升数学语言表达。例如切线问题结合几何意义，帮助学生理解导数应用，教师可利用分层作业实施个性化教学，助力学生提升运算能力与问题解决能力。

第一课时　 函数和、差、积、商的求导法则 1 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单 函数的导数（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快 捷.设一高铁走过的路程s（单位：m）关于时间t（单位： s）的函数为s＝f（t），求它的瞬时速度，就是求f（t） 的导数.根据导数的定义，就是求当Δt→0时， 所趋近的那个定值.运算比较复杂，而且有的函数，如y＝ sin x＋x很难运用定义求导数. 【问题】　是否有更简便的求导数的方法呢？ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点　函数和、差、积、商的求导法则 1. 条件：f（x），g（x）是可导的. 2. 结论：（1）[f（x）±g（x）]'＝ ⁠； （2）[f（x）g（x）]'＝ ⁠； （3） ＝ 　 （g（x）≠0）　. f'（x）±g'（x）　 f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　 （g（x）≠0）　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【想一想】 1. 若f（x），g（x）都是可导函数，且f（x）≠0，那么下列关系式成 立吗？ （1）[af（x）＋bg（x）]'＝af'（x）＋bg'（x）（a，b为常数）； （2） '＝－ . 提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都成立. 2. 两个函数可导，它们的和、差、积、商（商的分母不为零）必可导吗？ 提示：两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的分母不为零） 必可导. 3. 若两个函数不可导，它们的和、差、积、商不可导吗？ 提示：若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 函数y＝ sin x· cos x的导数是（　　） A. y'＝ cos 2x＋ sin 2x B. y'＝ cos 2x C. y'＝2 cos x· sin x D. y'＝ cos x· sin x 解析： 　y'＝（ sin x· cos x）'＝（ sin x）' cos x＋ sin x（ cos x）'＝ cos 2x － sin 2x＝ cos 2x. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知函数f（x）＝xln x－x2在定义域内可导，则 ＝（　　） A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 解析： 　由导数的定义可知， ＝－ ＝－f'（1），又f'（x）＝1＋ln x－2x，所以f'（1） ＝1＋ln 1－2＝－1，所以 ＝1.故选B. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 函数f（x）＝x＋ 在x＝1处的导数是 ⁠. 解析：因为f'（x）＝ ＝x'＋ ＝1－ ， 所以f'（1）＝1－1＝0. 0　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜利用导数四则运算法则求导 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝x2＋log3x； 解： y'＝（x2＋log3x）'＝（x2）'＋（log3x）' ＝2x＋ . （2）y＝x3·ex； 解： y'＝（x3·ex）'＝（x3）'·ex＋x3·（ex）' ＝3x2·ex＋x3·ex＝ex（x3＋3x2）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （3）y＝ . 解： y'＝ '＝ ＝ ＝－ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 提醒：求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简， 然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函 数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法 则，减少运算量. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　求下列函数的导数. （1）y＝－3x2－5x＋6； 解： 因为y＝－3x2－5x＋6， 所以y'＝（－3x2）'－（5x）'＋（6）'＝－6x－5. （2）y＝x· sin x； 解： 因为y＝x· sin x， 所以y'＝（x）'· sin x＋x·（ sin x）'＝ sin x＋x cos x. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （3）y＝ . 解： 因为y＝ ， 所以y'＝ ＝ ＝ ＝ － . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型二｜与切线有关的综合问题 【例2】　已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点（1，0）处的切线，l2为该 曲线的另一条切线，且l1⊥l2.求直线l2的方程. 解：∵y'＝2x＋1，∴直线l1在点（1，0）处的斜率为2×1＋1＝3， 由直线的点斜式方程可得直线l1的方程为y＝3x－3. 设直线l2与曲线y＝x2＋x－2切于点B（b，b2＋b－2）， 则曲线在点B处的切线的斜率为2b＋1. ∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－ ， 即b＝－ ，∴B ， 故直线l2的方程为y＝－ x－ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【母题探究】 　（变设问）若本例条件不变，试求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的 面积. 解：解方程组 得 ∴直线l1和l2的交点坐标为 . 又l1，l2与x轴的交点坐标分别为（1，0）， ， 故所求三角形的面积为S＝ × × ＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 　　导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求 切点，以及涉及切线问题的综合应用.解决此类问题的方法为先求出函数 的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出 切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.总之，切点在解决 此类问题时起着至关重要的作用. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 曲线y＝ 在点（1， ）处的切线方程为（　　） A. y＝ x B. y＝ x C. y＝ x＋ D. y＝ x＋ 解析： 　由题意可知y'＝ ＝ ，则曲线y＝ 在点 （1， ）处的切线斜率k＝ ，所以曲线y＝ 在点（1， ）处的切线方 程为y－ ＝ （x－1），即y＝ x＋ ，故选C. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知函数f（x）＝ －2ax2. （1）若a＝1，求f'（x）； 解： 因为f（x）＝ －2x2，所以f'（x）＝ －4x＝ . （2）若曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与直线ax－3y－2＝0垂 直，求a. 解： 因为f'（x）＝ －4ax，所以f'（1）＝1－4a， 由题意知，（1－4a）· ＝－1，即4a2－a－3＝0， 所以（4a＋3）（a－1）＝0，所以a＝1或a＝－ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型三｜利用函数的导数求参数 【例3】　（1）已知曲线y＝f（x）＝aex＋xln x在点（1，ae）处的切 线方程为y＝2x＋b，则（　D　） A. a＝e，b＝－1 B. a＝e，b＝1 C. a＝e－1，b＝1 D. a＝e－1，b＝－1 解析： y'＝f'（x）＝aex＋ln x＋1，k＝f'（1）＝ae＋1，∴ 切线方 程为y－ae＝（ae＋1）（x－1），即y＝（ae＋1）x－1.又∵ 切线方程 为y＝2x＋b，∴ 即a＝e－1，b＝－1.故选D. D 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx的图象过点 （1，5），其导函数y＝f'（x）的图象如图所示， 则函数f（x）的解析式为 ⁠ ⁠. f（x）＝2x3－9x2 ＋12x　 解析： 因为f'（x）＝3ax2＋2bx＋c，f'（1）＝0，f'（2）＝0，f （1）＝5，所以 解得 故函数f（x）的解 析式是f（x）＝2x3－9x2＋12x. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 利用导数求参数的常见题型 　　利用导数求参数，常涉及（1）已知曲线的切线（导数的几何意义） 求参问题；（2）已知导函数的图象求原函数问题（或某点处的函数 值），这些都要根据导数的几何意义或某点处的导数值列方程（组）求解 参数.特别地由于三次函数的导数是二次函数，因此将导数的计算与二次 函数的图象和性质结合起来就很容易理解了.解题时应考虑二次函数的单 调性、最值、图象的对称轴、二次项系数等对图象的影响. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　如图有一个图象是函数f（x）＝ x3＋ax2＋（a2－1）x＋1（a∈R，且 a≠0）的导函数的图象，则f（－1）＝（　　） A. B. － C. D. － 或 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　f'（x）＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋（a＋1）]·[x＋（a－1）]， 图①与②中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符 合，故图③中的图象是函数f（x）的导函数的图象.由图③知f'（0）＝0， 由根与系数的关系得 解得a＝－1.故f（x） ＝ x3－x2＋1，所以f（－1）＝－ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 函数y＝x2 sin x的导数为（　　） A. y'＝2x＋ cos x B. y'＝x2 cos x C. y'＝2x cos x D. y'＝2x sin x＋x2 cos x 解析： 　y'＝（x2 sin x）'＝（x2）'· sin x＋x2·（ sin x）'＝2x sin x＋x2 cos x. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 函数f（x）＝aex－ sin x在点（0，f（0））处的切线斜率为2，则a＝ （　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析： 　f'（x）＝aex－ cos x，f'（0）＝2⇒a－1＝2⇒a＝3，故选B. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 已知f（x）＝ex－ x2，f'（x）为f（x）的导函数，若f'（a）＝f （a），则a＝（　　） A. 0 B. －1 C. 2 D. 0或2 解析： 　由题意得f'（x）＝ex－ex，则由f'（a）＝f（a），得ea－ea ＝ea－ a2，解得a＝0或a＝2.故选D. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 若f（x）＝3xf'（1）＋x4，则f'（0）＝ ⁠. 解析：由f（x）＝3xf'（1）＋x4⇒f'（x）＝3f'（1）＋4x3⇒f'（1）＝3f' （1）＋4×1⇒f'（1）＝－2，所以f'（0）＝3f'（1）＋4×03＝3×（－2） ＋0＝－6. －6　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 求下列函数的导数. （1）y＝（x－2）（x2＋2x＋4）； 解： 法一　y'＝（x－2）'（x2＋2x＋4）＋（x－2）·（x2＋2x＋4） '＝x2＋2x＋4＋（x－2）（2x＋2）＝3x2. 法二　∵y＝（x－2）（x2＋2x＋4）＝x3－8， ∴y'＝3x2. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解： y'＝ －2x·ln 2 ＝ －2x·ln 2 ＝ ＋ ln x－2xln 2. （2）y＝ －2x. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 函数y＝ 的导数是（　　） A. y'＝－ B. y'＝－ sin x C. y'＝－ D. y'＝－ 解析： 　y'＝ '＝ ＝ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 若函数f（x）＝ax4＋bx2＋c满足f'（1）＝2，则f'（－1）等于 （　　） A. －1 B. －2 C. 2 D. 0 解析： 　∵f'（x）＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f'（－1）＝－f'（1）＝ －2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 函数f（x）＝x4－2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为 （　　） A. y＝－2x－1 B. y＝－2x＋1 C. y＝2x－3 D. y＝2x＋1 解析： 　法一　∵f（x）＝x4－2x3，∴f'（x）＝4x3－6x2，∴f'（1）＝ －2，又f（1）＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝－2（x－1）， 即y＝－2x＋1.故选B. √ 法二　∵f（x）＝x4－2x3，∴f'（x）＝4x3－6x2，f'（1）＝－2，∴切线 的斜率为－2，排除C、D. 又f（1）＝1－2＝－1，∴切线过点（1，－ 1），排除A. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 已知函数f（x）满足f（x）＝2f'（1）ln x＋ （f'（x）为f（x）的导 函数），则f（e）＝（　　） A. e－1 B. ＋1 C. 1 D. － ＋1 √ 解析： f'（x）＝ ＋ ，当x＝1时，f'（1）＝2f'（1）＋ ，解得 f'（1）＝－ ，故f（x）＝－ ＋ ，所以f（e）＝－ ＋ ＝－ ＋ 1.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 已知一个圆柱形空杯，其底面直径为8 cm，高为20 cm，现向杯中注入 溶液，已知注入溶液的体积V（单位：mL）关于时间t（单位：s）的函数 为V（t）＝πt3＋2πt2（t≥0），不考虑注液过程中溶液的流失，则当t＝ 4 s时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（　　） A. 2 cm/s B. 4 cm/s C. 6 cm/s D. 8 cm/s √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由题意杯子的底面面积S＝16π，则杯中溶液上升高度h＝ ＝ ＝ t3＋ t2（t≥0），则h'＝ t2＋ t，当t＝4时，h'＝ ×16＋ ×4＝4，即当t＝4 s时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为4 cm/s.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 6. 若f（x）＝ ＋3xf'（3），则曲线y＝f（x）在x＝2处的切线方程为 （　　） A. 5x＋2y＋4＝0 B. 5x＋2y－4＝0 C. 5x－2y＋4＝0 D. 5x－2y－4＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　f（x）＝ ＋3xf'（3），f'（x）＝x＋3f'（3），令x＝3，得f' （3）＝3＋3f'（3），解得f'（3）＝－ ，所以f（x）＝ － ，f'（x） ＝x－ ，则f（2）＝－7，f'（2）＝－ ，所以曲线y＝f（x）在x＝2处 的切线方程为y＋7＝－ （x－2），即5x＋2y＋4＝0.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 7. 已知函数y＝f（x）的图象是经过原点的曲线（非直线），且在原点处 的切线方程为y＝x，请写出一个符合条件函数y＝f（x）的解析式为 ⁠ ⁠. 解析：由题意可知：f（0）＝0，f'（0）＝1，取f（x）＝ex－1，此时f （0）＝e0－1＝0，f'（x）＝ex，f'（0）＝1，故符合. y ＝ex－1（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 8. 若直线y＝2x－a与曲线y＝2ln x＋b相切，则a＋b＝ ⁠. 解析：设切点坐标为（x0，y0），由曲线y＝2ln x＋b可得y'＝ ，则 解得 所以a＋b＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 9. 已知函数f（x）＝f' cos x＋ sin x，则f 的值为 ⁠. 解析：∵f'（x）＝－f' sin x＋ cos x，∴f' ＝－f' × ＋ ，得 f' ＝ －1.∴f（x）＝（ －1） cos x＋ sin x.∴f ＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 10. 已知函数f（x）＝ . （1）求f（x）的导数； 解： 因为f（x）＝ ，所以f'（x）＝ ＝ ，x＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）求曲线y＝f（x）在点（1，0）处的切线方程，并求出切线与坐标 轴所围三角形的面积. 解： 由（1）得，f'（1）＝1，则所求切线的斜率为1，故所求切线方 程为x－y－1＝0. 当x＝0时，y＝－1；当y＝0时，x＝1.故切线与坐标轴所围三角形的面 积S＝ ×1×1＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 11. 〔多选〕过点A（a，0）作曲线C：y＝x·ex的切线有且仅有两条， 则实数a可能的值是（　　） A. 0 B. C. －ln e5 D. e √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　设切点坐标为（x0，x0 ），因为y'＝（x＋1）ex，所以 y ＝（x0＋1） ，所以切线方程为y－x0 ＝（x0＋1）· （x －x0），将点A（a，0）代入可得－x0 ＝（x0＋1） （a－x0），化 简得 －ax0－a＝0，过点A（a，0）作曲线C的切线有且仅有两条，即 方程 －ax0－a＝0有两个不同的解，则Δ＝a2＋4a＞0，解得a＞0或a＜ －4，故实数a的取值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.－ln e5＝－5ln e＝－5，所以由选项判断可知B、C、D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 12. 已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x）＝x2－m，g（x）＝6ln x－ 4x，若曲线y＝f（x）与y＝g（x）在公共点处的切线相同，则实数m ＝ ⁠. 解析：依题意，∵f（x）＝x2－m，g（x）＝6ln x－4x，∴f'（x）＝ 2x，g'（x）＝ －4，∴ 即 ∵x0＞0，∴x0＝1，m＝－6ln x0＋2x0＋3＝5. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 13. 已知曲线f（x）＝x3＋ax＋b在点P（2，－6）处的切线方程是13x －y－32＝0. （1）求a，b的值； 解： ∵f（x）＝x3＋ax＋b的导数f'（x）＝3x2＋a， 由题意可得f'（2）＝12＋a＝13，f（2）＝8＋2a＋b＝－6， 解得a＝1，b＝－16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）如果曲线y＝f（x）的某一切线与直线l：y＝－ x＋3垂直，求切 点坐标与切线的方程. 解： ∵切线与直线y＝－ x＋3垂直，∴切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为（x0，y0），则f'（x0）＝3 ＋1＝4， ∴x0＝±1. 由f（x）＝x3＋x－16， 可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18. 则切线方程为y＝4（x－1）－14或y＝4（x＋1）－18， 即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 14. 〔多选〕对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），给出定 义：设f'（x）是函数y＝f（x）的导数，f″是f'（x）的导数，若方程f″ （x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐 点”.探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都 有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数f（x）＝ x3－ x2＋ ， 则以下说法正确的是（　　） A. 函数f（x）对称中心 B. f ＋f ＋…＋f ＋f 的值是99 C. 函数f（x）对称中心 D. f ＋f ＋…＋f ＋f 的值是1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　f（x）＝ x3－ x2＋ ⇒f'（x）＝x2－x⇒f″（x）＝2x－ 1，令f″（x）＝2x－1＝0，解得x＝ ，f ＝ × － × ＋ ＝1，由题意可知：函数f（x）＝ x3－ x2＋ 的对称中心为 ，C 正确，D错误； 因为函数f（x）＝ x3－ x2＋ 的对称中心为 ，所以有f（x）＋ f（1－x）＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 所以有S＝f ＋f ＋…＋f ＋f ，　② ①＋②得，2S＝2＋2＋…＋2＋2＝2×99⇒S＝99， 即f ＋f ＋…＋f ＋f 的值是99，B正确，D错误.故选 B、C. 设S＝f ＋f ＋…＋f ＋f ，　① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 15. 已知函数f（x）＝x－ ，g（x）＝a（2－ln x）. （1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在x＝1处的切线的斜率相同， 求a的值； 解： f'（x）＝1＋ ，g'（x）＝－ ， 所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为f'（1）＝3，曲线y＝g （x）在x＝1处的切线的斜率为g'（1）＝－a，由已知，得f'（1）＝g' （1），得a＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）若存在一点，使得曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在该点处的切 线的斜率相同，求实数a的取值范围. 解： 由题意，得1＋ ＝－ （x＞0）， 则a＝－x－ ≤－2 ，当且仅当x＝ 时，等号成立， 故实数a的取值范围为（－∞，－2 ]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 $