第01讲 导数的概念及几何意义（3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

第01讲 导数的概念及几何意义 课程标准 学习目标 1.通过具体实例了解函数的平均变化率． 2. 通过对实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景. 3.理解导数的概念，会利用导数的定义求函数在某点处的导数. 4.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 1．求函数的平均变化率，了解平均变化率在实际问题中的应用. 2．通过本节课的学习，要求会求函数的平均变化率与瞬时变化率. 3．掌握导数的概念以及几何意义，会处理曲线的切线问题. 知识点01 函数的平均变化率 1．函数的平均变化率的概念 一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则 (1)自变量的改变量Δx＝x2－x1； (2)因变量的改变量Δy＝y2－y1； (3)f(x)在[x1，x2]上的平均变化率为＝. 【解读】(1)求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题 ①平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差． ②平均变化率的公式中，分子、分母中被减数同为右端点，减数同为左端点． (2)一次函数的平均变化率 一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率为＝＝k.由上述计算可知，一次函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率与m，n的值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数． 2．平均变化率的实际意义 在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加个单位．因此，如果自变量增加h个单位，那么因变量将增加h个单位． 3．平均变化率的几何意义 ＝表示函数y＝f(x)图象上过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的割线的斜率． 4．平均速度与平均变化率 如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1<t2时)或[t2，t1](t2＜t1时)这段时间内的平均速度为(m/s)．即物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率． 【即学即练1】（24-25高二下·全国·课后作业）一质点按运动方程（s的单位为米，t的单位为秒）做直线运动，则其从秒到秒这段时间里的平均速度（单位：米/秒）为（    ） A． B． C． D． 知识点02 　函数在某点处的导数 1．瞬时变化率 一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率． 2．函数f(x)在x＝x0处的导数 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)＝k. (2)“当Δx无限接近于0时，无限接近于常数k”也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为当Δx→0时，→k，或者写成 ＝k，即f′(x0)＝ . 【即学即练2】 1.（24-25高二上·全国·课后作业）若某气球起始时半径为2cm，之后以1cm/s的速度膨胀，则在第3s时，该气球表面积的增长速度为（    ） A． B． C． D． 2. （24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的可导函数，若，则 . 知识点03 导数的几何意义 1．导数的几何意义 如果将函数y＝f(x)的图象看成曲线(称为曲线y＝f(x))，而且曲线在点A(x0，f(x0))处的切线为l，则|Δx|很小时，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))是A附近的一点，割线AB的斜率是＝，则当Δx无限接近于0时，割线的斜率将无限趋近于切线l的斜率． 这就是说，f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处(也称在x＝x0处)的切线的斜率，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系 导数符号 曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况 切线的斜率k 切线的倾斜角 f′(x0)>0 上升 k>0 锐角 f′(x0)<0 下降 k<0 钝角 f′(x0)＝0 平坦 k＝0 零角(切线与x轴平行) 【解读】1.切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢． 2.函数在处的导数，是曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多． 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 【即学即练3】（24-25高二上·全国·课后作业）曲线在点处切线的斜率为（    ） A． B． C．3 D．6 题型01 平均变化率 【典例1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式1】（23-24高二下·福建龙岩·期中）若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 题型02 瞬时变化率 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，一质点做简谐运动，其位移，则时该质点的瞬时速度为（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式1】（24-25高三上·广东广州·阶段练习）一质点A沿直线运动，其位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点A在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知某公交车在起步后8秒内路程（单位：m）与时间（单位：s）满足，若公交车的瞬时速度未发生突变，则 ，公交车在这8秒内的平均速度为 ． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）车轮旋转的角度（单位：rad）随时间（单位：s）之间的关系为，已知车轮旋转4圈所需时间为． (1)求时间段内车轮的平均角速度； (2)求时刻车轮的瞬时角速度． 题型03 导数的概念 【典例3】24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·浙江·期中）已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式2】（23-24高二下·江西萍乡·期中）设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【变式3】（25-26高三上·上海·单元测试）对于函数，若，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（    ）． A． B． C． D． 题型04 求曲线切线的斜率（倾斜角） 【典例4】（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数在点处的切线斜率为2，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【变式3】（24-25高三·上海·课堂例题）如果曲线的一条切线与直线平行，求曲线与此切线相切的切点坐标. 题型05 导数几何意义的应用 【典例5】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1】定义在上的函数的导函数为，如图是的图像，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二下·广东茂名·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西渭南·期中）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）设函数和在区间上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．在内的平均变化率大于在区间平均变化率 B．在内的平均变化率小于在区间平均变化率 C．，使函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 D．对于，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 4．（24-25高二上·全国·课后作业）设曲线与轴的交点为，曲线在点处的切线与轴交于点，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C． D． 5．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（      ） A．1 B．3 C．6 D．9 6．（23-24高二下·北京通州·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：①汽车在时间段内匀速行驶；②汽车在时间段内不断加速行驶；③汽车在时间段内不断减速行驶；④汽车在时间段内处于静止状态．其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25高二上·全国·课后作业）曲线在点处的切线斜率为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 8．（23-24高二下·山东潍坊·期中）函数的图象如图所示，且是的导函数，记，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·四川广元·期中）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（    ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．第时刻在垂直方向上的瞬时速度为 10．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（    ）    A．在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 B．在处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 11．（23-24高二下·广西南宁·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高三上·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 . 13．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则 ． 14．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ． 四、解答题 15.（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数在上的平均变化率是函数在上的平均变化率的3倍，求实数m的值． 16.（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 17.（23-24高二下·重庆·阶段练习）若函数， (1)用定义求； (2)求其图象在与轴交点处的切线方程． 18.（23-24高二下·北京·期中）已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且． (1)利用导数定义求函数的导数； (2)求直线、的方程． 19.（23-24高三上·上海·期中）设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”. (1)若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由; (2)已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由. (3)若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 导数的概念及几何意义 课程标准 学习目标 1.通过具体实例了解函数的平均变化率． 2. 通过对实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景. 3.理解导数的概念，会利用导数的定义求函数在某点处的导数. 4.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 1．求函数的平均变化率，了解平均变化率在实际问题中的应用. 2．通过本节课的学习，要求会求函数的平均变化率与瞬时变化率. 3．掌握导数的概念以及几何意义，会处理曲线的切线问题. 知识点01 函数的平均变化率 1．函数的平均变化率的概念 一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则 (1)自变量的改变量Δx＝x2－x1； (2)因变量的改变量Δy＝y2－y1； (3)f(x)在[x1，x2]上的平均变化率为＝. 【解读】(1)求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题 ①平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差． ②平均变化率的公式中，分子、分母中被减数同为右端点，减数同为左端点． (2)一次函数的平均变化率 一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率为＝＝k.由上述计算可知，一次函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率与m，n的值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数． 2．平均变化率的实际意义 在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加个单位．因此，如果自变量增加h个单位，那么因变量将增加h个单位． 3．平均变化率的几何意义 ＝表示函数y＝f(x)图象上过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的割线的斜率． 4．平均速度与平均变化率 如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1<t2时)或[t2，t1](t2＜t1时)这段时间内的平均速度为(m/s)．即物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率． 【即学即练1】（24-25高二下·全国·课后作业）一质点按运动方程（s的单位为米，t的单位为秒）做直线运动，则其从秒到秒这段时间里的平均速度（单位：米/秒）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平均速度的定义即可代入化简求解. 【详解】从秒到秒这段时间里的平均速度为． 故选：D． 知识点02 　函数在某点处的导数 1．瞬时变化率 一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率． 2．函数f(x)在x＝x0处的导数 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)＝k. (2)“当Δx无限接近于0时，无限接近于常数k”也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为当Δx→0时，→k，或者写成 ＝k，即f′(x0)＝ . 【即学即练2】 1.（24-25高二上·全国·课后作业）若某气球起始时半径为2cm，之后以1cm/s的速度膨胀，则在第3s时，该气球表面积的增长速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的定义计算即可. 【详解】设在时，气球的半径为，则，则气球的表面积， 因为， 因此时，该气球表面积的增长速度为． 故选：A. 2. （24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的可导函数，若，则 . 【答案】1 【分析】根据导数的定义写出答案即可. 【详解】由导数定义知：. 故答案为：1 知识点03 导数的几何意义 1．导数的几何意义 如果将函数y＝f(x)的图象看成曲线(称为曲线y＝f(x))，而且曲线在点A(x0，f(x0))处的切线为l，则|Δx|很小时，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))是A附近的一点，割线AB的斜率是＝，则当Δx无限接近于0时，割线的斜率将无限趋近于切线l的斜率． 这就是说，f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处(也称在x＝x0处)的切线的斜率，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系 导数符号 曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况 切线的斜率k 切线的倾斜角 f′(x0)>0 上升 k>0 锐角 f′(x0)<0 下降 k<0 钝角 f′(x0)＝0 平坦 k＝0 零角(切线与x轴平行) 【解读】1.切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢． 2.函数在处的导数，是曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多． 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 【即学即练3】（24-25高二上·全国·课后作业）曲线在点处切线的斜率为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】利用导数的定义计算即可. 【详解】函数在点处切线的斜率为． 故选：B. 题型01 平均变化率 【典例1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由平均变化率定义可得. 【详解】平均变化率为. 故选：C. 【变式1】（23-24高二下·福建龙岩·期中）若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用平均变化率的定义可得答案. 【详解】因为，所以，， 故函数从到的平均变化率为. 故选：B. 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由平均速度的定义可得汽车在时间段上的平均速度即为该段直线的斜率，结合图像即可得出答案. 【详解】设直线，AB，BC的斜率分别为，，， 则，，， 由题中图象知，即． 故选：B. 【变式3】（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】C 【分析】结合图中数据分析一一判断各选项即可. 【详解】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确. 故选：C. 题型02 瞬时变化率 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，一质点做简谐运动，其位移，则时该质点的瞬时速度为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】由题可知时该质点的瞬时速度为 ． 故选：A. 【变式1】（24-25高三上·广东广州·阶段练习）一质点A沿直线运动，其位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点A在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求出函数的导数，将代入计算可得答案． 【详解】因为，所以时，， 即质点A在时的瞬时速度为. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知某公交车在起步后8秒内路程（单位：m）与时间（单位：s）满足，若公交车的瞬时速度未发生突变，则 ，公交车在这8秒内的平均速度为 ． 【答案】 【分析】求得3秒前与3秒后的瞬时速度可求，利用路程关于时间的函数图象为一条连续不断的曲线，可求，进而求得8秒内的总路程，可求平均速度. 【详解】第3秒前公交车的瞬时速度为； 第3秒后公交车的瞬时速度为， 已知公交车第3秒前后的瞬时速度保持一致，所以， 而路程关于时间的函数图象为一条连续不断的曲线，所以，解得． 公交车在8秒内的总路程为，所以平均速度为． 故答案为：；. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）车轮旋转的角度（单位：rad）随时间（单位：s）之间的关系为，已知车轮旋转4圈所需时间为． (1)求时间段内车轮的平均角速度； (2)求时刻车轮的瞬时角速度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知求得，进而可求平均角速度； （2）利用可求瞬时角速度. 【详解】（1）车轮旋转4圈的角度，故， 故时间内车轮的平均角速度为． （2）时刻车轮的瞬时角速度为： ． 题型03 导数的概念 【典例3】24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的定义可求. 【详解】由导数的定义得: ． 故选：D. 【变式1】（23-24高二下·浙江·期中）已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】根据解析式先化简，然后由导数定义可得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B 【变式2】（23-24高二下·江西萍乡·期中）设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【分析】由已知结合导数定义即可求解. 【详解】由于，则. 故选：C. 【变式3】（25-26高三上·上海·单元测试）对于函数，若，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用平均变化率的定义以及导数的定义对四个选择逐一判断即可．. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D． 题型04 求曲线切线的斜率（倾斜角） 【典例4】（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的定义即可求得点处的切线的斜率； （2）根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】（1）点处的切线的斜率为 ， 即点处的切线的斜率是； （2）结合（1）可得切线方程为，即. 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数在点处的切线斜率为2，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】由题意得，可求出，再将代入函数解析式中可求出，从而可求得的值. 【详解】由题意得， 所以， 解得， 又，则， 所以． 故选：B 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率； （2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程. 【详解】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为， 则由导数的定义，可得 ． 即曲线上任意一点处的切线斜率为． （2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 【变式3】（24-25高三·上海·课堂例题）如果曲线的一条切线与直线平行，求曲线与此切线相切的切点坐标. 【答案】或 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义可列方程，即可求得答案. 【详解】设切点坐标为，则， 曲线在点P的切线与直线平行， 则切线斜率为 ， 则；当时，；当时，， 所以切点坐标为或. 题型05 导数几何意义的应用 【典例5】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作出函数在的切线，进而得到的大小关系. 【详解】分别作出函数在的切线， 则 则有.    故选：B 【变式1】定义在上的函数的导函数为，如图是的图像，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率关系得到，可看作过和的割线的斜率，根据图像得到答案. 【详解】图象可知，在处的切线斜率大于在处的切线斜率，且斜率为正， 故， ， 可看作过和的割线的斜率， 由图象可知，故， 故选：B． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由导数的几何意义分析可得，和的几何意义，结合图像可得解. 【详解】由函数的图像可知， 当时，单调递增， ，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， . 故选：A. 【变式3】（23-24高二下·广东茂名·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】由导数的几何意义分析可得，和的几何意义，结合图象可得解. 【详解】，和分别为函数在，和处切线的斜率， 即图中直线的斜率， 结合图象可得. 故选：D 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西渭南·期中）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均速度的计算方法，列式计算，即可得答案. 【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为， 则该质点在这段时间内的平均速度为（）. 故选：A 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义计算可得结果. 【详解】由导数的定义，. 故选：C. 3．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）设函数和在区间上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．在内的平均变化率大于在区间平均变化率 B．在内的平均变化率小于在区间平均变化率 C．，使函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 D．对于，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 【答案】C 【分析】根据平均变化率和瞬时变化率的定义及几何意义结合图象求解即可. 【详解】有图可知， 所以， 即在上的平均变化率相等，所以A，B错误； 由于函数在某点处的瞬时变化率的几何意义表示在该点处的切线的斜率， 有图可知，使在处的瞬时变化率小于在处的瞬时变化率, 因此C正确，D错误. 故选：C. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）设曲线与轴的交点为，曲线在点处的切线与轴交于点，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的定义求得函数在处的导数，求得切线方程，可求结论. 【详解】易知处切线的斜率为， 则，令，则，故点的横坐标为． 故选：D. 5．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（      ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用导数的定义及几何意义求解即得. 【详解】依题意，，则，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是9. 故选：D 6．（23-24高二下·北京通州·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：①汽车在时间段内匀速行驶；②汽车在时间段内不断加速行驶；③汽车在时间段内不断减速行驶；④汽车在时间段内处于静止状态．其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据斜率表示变化率，从而由斜率的变化得出速度的变化情况，进而得出答案． 【详解】根据题意， ①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，故①正确； ②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确； ③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确； ④在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动，故④正确． 故选：D． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）曲线在点处的切线斜率为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【分析】求出，从而求出，根据导数的几何意义计算可得. 【详解】因为， 所以，． 由导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率是． 故选：A 8．（23-24高二下·山东潍坊·期中）函数的图象如图所示，且是的导函数，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把三个数值看成三个斜率，即可用数形结合比较大小. 【详解】设点 则可以把看成两点的斜率， 把看成曲线在点的切线斜率， 把看成曲线在点的切线斜率， 再作出图形进行数形结合分析： 由图可得， 即. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高二下·四川广元·期中）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（    ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．第时刻在垂直方向上的瞬时速度为 【答案】BCD 【分析】利用函数关系式计算可判定A、B，由平均速度、瞬时速度的求法可判定C、D选项. 【详解】前内，，， 此时球在垂直方向上的平均速度为，A错误；C正确； 在时间内，，，B正确； ，，则第2s时刻在垂直方向上的瞬时速度为， D正确． 故选：BCD． 10．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（    ）    A．在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 B．在处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 【答案】AC 【分析】对AB，根据导数的物理意义判断即可；对CD，根据平均速度的定义判断即可. 【详解】对AB，由图象可得在处，甲图象斜率大于乙图象斜率，故甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故A正确，B错误； 对CD，在到范围内，甲增加的路程更多，故平均速度更大，故C正确，D错误. 故选：AC 11．（23-24高二下·广西南宁·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的图象确定在处的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负，逐项判断即可得结论. 【详解】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确； 表示的图象在点处的切线斜率，故，故B错误； 由图可知，故，故C正确； 直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率， 即，所以，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（24-25高三上·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】3 【分析】根据平均变化率的定义，函数的平均变化率为，分别计算出的值代入计算即可. 【详解】由题意得，函数在区间上的平均变化率为， 故答案为：3. 13．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】求导，即可结合导数的定义求解. 【详解】，则，故， 故. 故答案为： 14．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ． 【答案】1 【分析】直接根据导数的定义计算得到答案. 【详解】因为， 故. 故答案为：1 四、解答题 15.（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数在上的平均变化率是函数在上的平均变化率的3倍，求实数m的值． 【答案】3 【知识点】平均变化率 【分析】分别求出函数在上的平均变化率以及函数在上的平均变化率，利用三倍的关系构成等量关系式，则答案可求. 【详解】函数在上的平均变化率为． 函数在上的平均变化率为． 由题意知，解得． 16.（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率； （2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程. 【详解】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为， 则由导数的定义，可得 ． 即曲线上任意一点处的切线斜率为． （2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 17.（23-24高二下·重庆·阶段练习）若函数， (1)用定义求； (2)求其图象在与轴交点处的切线方程． 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）根据函数的导数的定义求出； （2）由导数的几何意义可求出切线的斜率，从而可得切线方程. 【详解】（1）由导数定义可得， （2）函数的图象与轴有两个交点， 交点坐标分别为，， ∴， ∴在处的切线方程为； 同理，在处的切线方程为． 18.（23-24高二下·北京·期中）已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且． (1)利用导数定义求函数的导数； (2)求直线、的方程． 【答案】(1) (2)：；： 【分析】（1）结合导数的定义及极限的运算性质计算可得； （2）结合（1）求出直线的斜率，即可求出直线的方程，设的切点为，利用导数的几何意义及两直线垂直斜率之积为，求出，从而得到切点坐标，再由点斜式求出切线方程. 【详解】（1）因为， 所以； （2）点满足曲线，即为直线的切点， 直线的斜率为， 故直线的方程为，即； 又为该曲线的另一条切线，设该切点为，则， 因为，所以，解得，所以， 即切点为，切线的斜率为， 故的方程为，即． 19.（23-24高三上·上海·期中）设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”. (1)若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由; (2)已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由. (3)若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有. 【答案】(1)不是,证明见解析 (2)真命题,证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】函数新定义、导数（导函数）概念辨析 【分析】（1）可令,根据“平缓函数”的定义判断即可; （2）根据导函数的定义,令,结合“平缓函数”的定义即可证明; （3）因为是以为周期的周期函数,不妨设,分为,根据函数是“平缓函数”即可证明; 【详解】（1）令,因为,则,,不满足对任意的,均成立,故不是“平缓函数”. （2）命题为真命题. 因为, 不妨令, 因为是“平缓函数”, 则, 所以, 故命题为真命题. （3）因为是以为周期的周期函数,不妨设, 当时,因为函数是“平缓函数”, 则; 当时,不妨设,则, 因为是以为周期的周期函数, 则, 因为函数是“平缓函数”, 所以 , 所以对任意的,均有, 因为是以为周期的周期函数, 所以对任意的,均有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$