5.2.1 第1课时 等差数列的定义-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦等差数列的定义与通项公式，通过鞋号尺码、绿化覆盖率等生活实例导入，引导学生观察数列共同特征，构建从情境抽象到概念形成、公式推导再到应用的完整学习支架。 其亮点在于以数学抽象为核心，结合逻辑推理与数学运算，如“想一想”辨析定义细节，典例研析中“设元技巧”培养思维严谨性，分层作业满足不同需求。帮助学生提升问题解决能力，为教师提供结构化教学资源，高效落实课标要求。

第一课时　等差数列的定义 1 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义（数学抽象）. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题 （逻辑推理、数学运算）. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系（数学抽象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　观察下列现实生活中的数列： （1）全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（单位：cm）由大至小 可组成数列 25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5，21.　① （2）某住宅小区2021～2025年的绿化建设有如下数据： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 绿化覆盖率/% 15.8 17.8 19.8 21.8 23.8 　　2021～2025年各年的绿化覆盖率组成数列 15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8%.　② 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （3）某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3 min，收话费0.2元，以后每分钟（不足1 min按1 min计）收话费0.1元.那么通话费按从小到大的次序依次组成数列0.2，0.2＋0.1，0.2＋0.1×2，0.2＋0.1×3，…. ③ 【问题】以上数列有什么共同的特点？ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点一　等差数列的定义 　如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于 ⁠ 常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中 ⁠称为等 差数列的公差. 同一个　 d　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【想一想】 1. 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列 是等差数列吗？ 提示：不一定.必须是同一个常数.即全部的后项减去前一项都等于同一个 常数，否则这个数列不能称为等差数列. 2. 将有穷等差数列{an}的所有项倒序排列，所成数列仍是等差数列吗？如 果是，公差是什么？如果不是，请说明理由. 提示：不妨设{an}为a，a＋d，a＋2d，a＋3d，a＋4d，…，a＋ nd，则所有项倒序排列所成数列为数列{bn}：a＋nd，…，a＋4d，a＋ 3d，a＋2d，a＋d，a.{bn}仍是等差数列，且公差是－d. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 　若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}（　　） A. 是公差为1的等差数列 B. 是公差为 的等差数列 C. 是公差为－ 的等差数列 D. 不是等差数列 解析： 　由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝ ，所以数 列{an}是公差为 的等差数列.故选B. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点二　等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 递推公式 通项公式 ＝d（n≥2） an＝ （n∈N＋） an－an－1　 a1＋（n－1）d　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【想一想】 1. 等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？ 提示：由等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d可得an＝dn＋（a1－ d），如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数.当 p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数 列. 2. 等差数列的单调性与公差有何关系？ 提示：当d＞0时是递增数列，当d＜0时是递减数列，当d＝0时是常数列. 3. 等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d是什么函数模型？ 提示：d≠0时，一次函数；d＝0时，常数函数. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于 （　　） A. 4－2n B. 2n－4 C. 6－2n D. 2n－6 解析： 　∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋（n－1）×（－2）＝6－2n. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝（　　） A. 1 B. －1 C. ±1 D. ±2 解析： 　由已知得 解得d＝±1. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜等差数列的判断 【例1】　已知数列{an}的通项公式如下，分别判断数列{an}是否为等差 数列： （1）an＝4－2n； 解： ∵an＝4－2n， ∴an＋1＝4－2（n＋1）＝2－2n. ∴an＋1－an＝（2－2n）－（4－2n）＝－2. 故数列{an}是等差数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）an＝ 解： 由通项公式可知，当n≥3时，显然an－an－1＝1，即数列从第3 项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，即a3－a2＝a4－a3＝…＝1， 但a2－a1＝0，因此数列{an}不是等差数列. （3）an＝n2＋n. 解： ∵an＋1－an＝（n＋1）2＋（n＋1）－（n2＋n）＝2n＋2，不 是常数，故数列{an}不是等差数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 定义法判断数列{an}是否为等差数列的步骤 　　判断数列{an}是否为等差数列，主要是利用等差数列的定义，即验证 其通项是否满足an＋1－an＝d（n∈N＋）.具体步骤为： （1）作差an＋1－an，并对上式进行变形； （2）若an＋1－an是常数（即一个与n无关的数），则数列{an}是等差数 列，否则数列{an}不是等差数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　在数列{an}，{bn}中，已知a1＝ ，且2an＋1＝an＋ ，bn＝2nan，求 证：数列{bn}为等差数列. 证明：法一　由2an＋1＝an＋ 得an＋1＝ an＋ ，所以bn＋1－bn ＝2n＋1an＋1－2nan＝2n＋1 －2nan＝1，即bn＋1－bn＝1，所以 数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列. 法二　在2an＋1＝an＋ 的两边同时乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，即bn ＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型二｜等差数列的通项公式及应用 【例2】　（1）在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式 an； 解： 设等差数列的首项为a1，公差为d， ∵a4＝7，a10＝25， 则 得 ∴an＝－2＋（n－1）×3＝3n－5， ∴通项公式an＝3n－5（n∈N＋）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）已知数列{an}为等差数列，a3＝ ，a7＝－ ，求a15的值. 解：设等差数列的首项为a1，公差为d， 由 得 解得a1＝ ，d＝－ . ∴a15＝a1＋（15－1）d＝ ＋14× ＝－ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【母题探究】 　（变条件）本例（1）中条件变为“a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28”问 题不变. 解：设{an}的首项为a1，公差为d，则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝ 4，∴a1＝4－7d. 代入a3a8a13＝28，整理得（4－5d）×4×（4＋5d）＝28， 解得d＝± . 当d＝ 时，a1＝－ ，an＝ n－ ； 当d＝－ 时，a1＝ ，an＝－ n＋ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 1. 应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想.一般地，可 由am＝a，an＝b，得 求出a1和d，从而确定通 项公式. 2. 若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运 用an＝am＋（n－m）d较为简捷. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　在等差数列{an}中. （1）已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； 解： ∵a5＝－1，a8＝2， ∴ 解得 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. 解： 设数列{an}的公差为d. 由已知得 解得 ∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1， ∴a9＝2×9－1＝17. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型三｜灵活设元求解等差数列 【例3】　（1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6 倍，求这三个数； 解： 设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则 解得 ∴这三个数为4，3，2. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8， 求这四个数. 解： 法一　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（公差为 2d）， 依题意，2a＝2，且（a－3d）（a＋3d）＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又∵四个数成递增等差数列，∴d＞0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 法二　若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d（公差为d）， 依题意，2a＋3d＝2，且a（a＋3d）＝－8， 把a＝1－ d代入a（a＋3d）＝－8， 得 ＝－8，即1－ d2＝－8， 化简得d2＝4，∴d＝2或d＝－2. 又∵四个数成递增等差数列，∴d＞0，∴d＝2，a＝－2. 故所求的四个数为－2，0，2，4. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 常见设元技巧 （1）某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a－ d，a＋d，公差为2d； （2）三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a＋d，公差 为d； （3）四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋ 3d，公差为2d. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　〔多选〕《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今 有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知 甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得 相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少 钱？”关于这个问题，下列说法正确的是（　　） A. 戊得钱是甲得钱的一半 B. 乙得钱比丁得钱多 钱 C. 甲、丙得钱的和是乙得钱的3倍 D. 丁、戊得钱的和比甲得钱多 钱 √ √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　 依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－ d，a，a＋d，a＋2d，且a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝ －6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，∴a＝1，d＝－ ，即a－2d＝1－2×（ － ）＝ ，a－d＝1－（ － ）＝ ，a＋d＝1 ＋（ － ）＝ ，a＋2d＝1＋2×（ － ）＝ ，∴甲得 钱，乙得 钱， 丙得1钱，丁得 钱，戊得 钱，则有如下结论：戊得钱是甲得钱的一半， 故A正确；乙得钱比丁得钱多 － ＝ 钱，故B错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的 ＝2倍，故C错误；丁、戊得钱的和比甲得钱多 ＋ － ＝ 钱，故D正确.故选A、D. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 〔多选〕下列数列中，是等差数列的是（　　） A. 1，4，7，10 B. lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C. 25，24，23，22 D. 10，8，6，4，2 解析： 　根据等差数列的定义，可得：A中，满足4－1＝7－4＝10－7 ＝3（常数），所以是等差数列；B中，满足lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－ lg 8＝lg 2（常数），所以是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－ 23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足8－10＝6－8 ＝4－6＝2－4＝－2（常数），所以是等差数列.故选A、B、D. √ √ √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差 分别是（　　） A. 1，4 B. －1，－4 C. 4，1 D. －4，－1 解析： 　因为当n＝1时，a1＝－1，当n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所 以公差d＝a2－a1＝－4. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 在等差数列{an}中，已知a4＝10，a14＝70，则an＝ ⁠. 解析：法一　设公差为d，则 解得 所以an ＝a1＋（n－1）d＝6n－14. 6n－14　 法二　设公差为d，则d＝ ＝ ＝6，an＝a4＋（n－4）·d＝10＋6 （n－4）＝6n－14. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋4，若an＝2 026，则n＝ ⁠. 解析：由题意可得an＋1－an＝4，故数列{an}为等差数列，4为公差，则an ＝2＋4（n－1）＝4n－2，故令4n－2＝2 026，解得n＝507. 507　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 已知数列{an}满足a1＝1.若点 在直线x－y＋1＝0上，则an ＝ ⁠. 解析：由点 在直线x－y＋1＝0上，得 － ＋1＝0，即 － ＝1，∴数列 为等差数列，且公差d＝1.又 ＝1，∴ ＝1 ＋（n－1）×1＝n，即an＝n2. n2　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 下列数列是等差数列的是（　　） A. ， ， ， B. 1， ， ， C. 1，－1，1，－1 D. 0，0，0，0 解析： 　 ∵ － ≠ － ，故排除A；∵ －1≠ － ，故排除B； ∵－1－1≠1－（－1），故排除C；常数列是等差数列，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 设{an}是等差数列，且a1＝ ，a2＋a3＝5 ，则{an}的通项公式为 （　　） A. an＝ B. an＝ n C. an＝ D. an＝ 解析： 　设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝ ，a2＋a3＝5 ，所 以a1＋d＋a1＋2d＝5 ，解得d＝ ，则an＝a1＋（n－1）d＝ ＋ （n－1）＝ n.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 若等差数列{an}中，已知a1＝ ，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝（　　） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53 解析： 　设公差为d，依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝ ，得d＝ .所以an＝a1＋（n－1）d＝ ＋（n－1）× ＝ n－ ，令an ＝35，解得n＝53. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 已知数列{an}满足a1＝－ ， － ＝2，则数列{an}中的最小项为 （　　） A. a2 B. a3 C. a4 D. a5 解析： 　由 － ＝2可知 为等差数列，且公差为2，首项为－5， 因此 ＝2（n－1）－5＝2n－7⇒an＝ .由于a2＝－ ，a3＝－1且 ∀n≥4，an＞0，故{an}中的最小项为a3，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 已知数列{an}满足an＋1＋an＝6n＋1（n∈N＋），则a1＋a6＝（　　） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 解析： 　由an＋1＋an＝6n＋1，可得an＋2＋an＋1＝6n＋7，两式相减可得 an＋2－an＝6，即数列{an}的偶数项是以6为公差的等差数列，则a6＝a2＋ （ －1）×6＝a2＋12，且a1＋a2＝7，所以a1＋a6＝a1＋a2＋12＝7＋12 ＝19.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 6. 〔多选〕已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n，则（　　） A. a1＋a3＝a5＋a7 B. {an}中的最小项为－16 C. 从第三项起，{an}的每一项都大于它的前一项 D. 数列{an＋2－an}为等差数列 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　an＝n2－8n＝（n－4）2－16.对于A，a1＝a7＝－7，a3＝ a5＝－15，则a1＋a3＝a5＋a7，故A正确；对于B，当n＝4时，{an}中的最 小项为a4＝－16，故B正确；对于C，由上计算得a3＝a5＝－15，显然从第 三项起，{an}的每一项不一定大于它的前一项，故C错误；对于D，由an＋2 －an＝（n＋2）2－8（n＋2）－n2＋8n＝4n－12，显然（an＋3－an＋1） －（an＋2－an）＝[4（n＋1）－12]－（4n－12）＝4，所以{an＋2－an} 是公差为4的等差数列，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 7. 在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a1＝ ，a6＝ ⁠. 解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得 解得 ∴an＝a1＋（n－1）d＝3＋（n－1）×2＝2n＋1.∴a6＝2×6 ＋1＝13. 3　 13　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 8. 写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列an＝ ⁠ ⁠. 解析：要满足“前3项之和小于第3项”，则a1＋a2＋a3＜a3，即a1＋a2＜ 0，则不妨设a1＝－4，a2＝－2，则an＝－4＋（n－1）×2＝2n－6. 2n－6 （答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 9. 数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公 差为4的等差数列.若an＝bn，则n的值为 ⁠. 解析：an＝2＋（n－1）×3＝3n－1，bn＝－2＋（n－1）×4＝4n－6， 令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 10. 数列{an}满足a1＝1， ＝ ＋1（n∈N＋）. （1）求证：数列 是等差数列； 解： 证明：由 ＝ ＋1，可得 － ＝2，∴数列 是以 ＝1为首项，2为公差的等差数列. （2）求数列{an}的通项公式. 解： 由（1）知 ＝1＋（n－1）×2＝2n－1，∴an＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 11. 〔多选〕已知数列{an}的通项公式是an＝ ，前n项和为Sn，则 （　　） A. 数列 是等差数列 B. 存在n∈N＋，使得an＋1＜an成立 C. 当n＝8时，Sn最大 D. 数列{an－an＋1}的最大值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　 ∵an＝ ，∴ ＝ ＝－ n＋ ，∴ － ＝ －（ － n＋ ）＝－ ，则 为 等差数列，故A正确；∵a7＝8，a8＝－ ，∴a8＜a7，故B正确；∵当 1≤n≤7时，an＞0，当n≥8时，an＜0，∴当n＝7时，Sn最大，故C错 误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ∵an－an＋1＝ － ＝ ＝ ， （22－3n）（3n－19）＝－9n2＋123n－418＝－9（ n－ ）2＋ ， n∈N＋，∴当n＝7时，（22－3n）（3n－19）＝2，当n≤6或n≥8时， （22－3n）（3n－19）＜0，∴{an－an＋1}的最大值为 ，故D正确.故选 A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 12. 如果有穷数列a1，a2，…，am（m∈N＋）满足条件：a1＝am，a2＝ am－1，…，am＝a1，那么称其为“对称”数列.已知在21项的“对称”数 列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2 ＝ ⁠. 解析：因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20 ＝1＋9×2＝19.又因为数列{cn}为21项的“对称”数列，所以c2＝c20＝ 19. 19　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 13. 已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝2an＋2n. （1）设bn＝ ，证明：数列{bn}是等差数列； 解： 证明：因为an＋1＝2an＋2n，所以 ＝ ＝ ＋1，所 以 － ＝1，n∈N＋. 又因为bn＝ ，所以bn＋1－bn＝1.所以数列{bn}是等差数列，其首项b1 ＝1，公差为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）求数列{an}的通项公式. 解： 由（1）知bn＝1＋（n－1）×1＝n， 所以an＝2n－1bn＝n·2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 14. 我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸 九分六分分之一；冬至晷（ɡuǐ）长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸.意 思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为99 分；且“冬至”时日影长度最大，为1 350分；“夏至”时日影长度最小， 为160分.则“立春”时日影长度为（　　） A. 953 分 B. 1 052 分 C. 1 151 分 D. 1 250 分 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为99 分，且“冬至”时日影长度最大，为1 350分；“夏至”时日影长度最小， 为160分.从“冬至”到“立春”有：“小寒”和“大寒”，且日影长变 短，所以“立春”时日影长度为：1 350＋ ×3＝1 052 （分）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 15. 数列{an}满足a1＝2，an＋1＝（λ－3）an＋2n（n∈N＋）. （1）当a2＝－1时，求λ及a3的值； 解： ∵a1＝2，a2＝－1，a2＝（λ－3）a1＋2， ∴λ＝ . ∴a3＝－ a2＋22，∴a3＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）是否存在实数λ，使数列{an}为等差数列？若存在求其通项公式； 若不存在说明理由. 解： 不存在实数λ使数列 成等差数列. 理由如下：∵a1＝2，an＋1＝（λ－3）an＋2n， ∴a2＝（λ－3）a1＋2＝2λ－4. a3＝（λ－3）a2＋4＝2λ2－10λ＋16. 若数列{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1. 即λ2－7λ＋13＝0. ∵Δ＝49－4×13＜0，∴方程无实数解. ∴不存在实数λ使数列{an}成等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 $