5.4 数列的应用（讲义）高二数学人教B版选择性必修第三册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 选修三第五章数列 5.4数列的应用 知识网络 理清脉络。▲钢举目轮 数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是 常见考查形式 (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关 键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立 相应的数学模型： (2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实 明确问题中的 数学建模 际问题理解自变量的取值范围. 数量 数列的应 1.单利复利：复利公式M=a(1+x)”,其中a为原来数量， 分析数量之间的关系 x为每一次变化的增长（减少）的百分比（增长为正，减少 列出关系式 为负)，M为经过n次变化后的数量. 解出要求的量 法 理 识梳理 2.分期付款： 3.产值增长： 检验得结果 数列应用的常见类型 4.其它类型 知识梳理 梳理载材▲奔实基础 数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字 语言转化成数学语言，建立相应的数学模型； (2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围 。知识点一 数列的应用常见类型 1.单利复利：复利公式M=α(1+x)”,其中a为原来数量，x为每一次变化的增长（减少）的百分比（增长为正， 减少为负)，M为经过n次变化后的数量. 2.分期付款： 3.产值增长： 4.其它类型 《◇即学即练 1.(22-23高二全国随堂练习)小蕾2018年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2019年1月 31日取款时，银行按国家规定给付利息469元，则小蕾存入银行的本金介于()元之间，并说明理由. A.1万2万 B.2万3万 C.3万~4万 D.4万5万 【答案】B 第1页共26页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【难度】0.94 【知识点】数列单利 【分析】设存入本金x元，再列出方程求解即可. 【详解】设小蕾存入银行的本金x元，依题意，1.75%x=469,解得x=26800(元)， 所以小蕾存入银行的本金介于2万3万元之间. 故选：B 2(多选22-23高二下·广西钦州·月考)刚考入大学的小明准备向银行贷款A0元购买一台笔记本电脑，然后上 学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月 还款的钱数都相等，贷款的月利率为r,设小明每个月所要还款的钱数为x元，则下列说法正确的是() A.小明选择的还款方式为“等额本金还款法”B.小明选择的还款方式为“等额本息还款法 C.小明第一个月还款的现值为元 D.X=4or1+)2 (1+2-1 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】数列分期付款、求等比数列前n项和 【分析】AB根据还款特点，得到还款方式：C选项，设出第一个月还款的现值为M,列出方程，求出答案： D选项，表达出第12个月末所欠银行贷款数，因为分12次还清所有的欠款，故得到方程，求出答案 【详解】AB选项，由于每个月还款的钱数都相等，故小明选择的还款方式为“等额本息还款法，A错误，B 正确： C选项，设小明第一个月还款的现值为M,则M1+)=x,解得M=产故C正确： D选项，根据等额本息还款法可得，第一个月末所欠银行贷款为A1=Ao(1+r)一x, 第二个月末所欠银行贷款为A2=A1(1+r)-x=Ao(1+T)2-x(1+r)-x, 第三个月末所欠银行贷款为A3=A2(1+T)-x=Ao(1+T)3-x(1+r)2-x(1+Tr)-x, 第12个月末所欠银行贷款为A12=Ao(1+)2-x(1+)1-x(1+)10-…-x(1+)-x =A(1+)12-x[(1+)1+(1+r)0+…+(1+)+1] =46(1+_0盟=A6a+)2+-+n 1-(1+) 由于分12次还清所有的欠款，故A1+严+-=0：解得x- (427,D正确. 故选：BCD 题型突破 抓住核心 A突破重点 第2页共26页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型01单利复利 点方法 奥例精1韧 1.(23-24高二下·江西景德镇·期末)一个网上贷款平台在2024年初给出贷款的月利率为2%，某大学生此时从 该平台贷款元，按照复利计算，他10个月后一次性还款的金额应为() A.1.18m元 B.1.029m元 C.1.20m元 D.1.0210m元 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】数列-复利 【分析】依据应还金额=贷款金额×(1+月利率)月份进行求解即可. 【详解】应还金额=贷款金额×(1+月利率)月份， 由题意知贷款金额为m,月利率为2%，月份为10， 所以m×(1+2%)10=1.0210m 故选：D. 2(20-21高一上江苏课后作业)复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再 计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%：若放入微信零钱通或者支付宝 的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息()元. (参考数据：1.02254=1.093,1.02255=1.117,1.04014=1.170,1.04015=1.217 A.176 B.104.5 C.77 D.88 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】数列复利、数列单利 【解析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得 的利息，即可得答案 【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法， 则存满5年后的本息和为1000×(1+4.01%)5=1217， 故而共得利息1217-1000=217元. 将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5=112.5， 故可以多获利息217-112.5=104.5. 故选：B 3.(20-21高二·全国课后作业)某高一学生家长于3月5日在某购物平台采用分期付款的形式购买了一台价值 m元的平板电脑给学生进行网上学习使用，该平台规定：分12个月还清，从下个月5日，即4月5日，开 第3页共26页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 始偿还，每月5日还款，且每个月还款钱数都相等.若购物平台的月利率为，则该家长每月的偿还金额是 () A.登无 B. mp(1+)22 (1+p)21元 C.m1+)2 12元 D.p1+)3 (1+p)31元 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数列复利 【分析】设每月的偿还金额都是a元，根据等比数列的求和公式可得出关于α的等式，即可求得结果， 【详解】设每月的偿还金额都是a元，则十a+…+ a 1+)2=m, 即- 1 -m,得a=m+2 11 (1+p)2-1 故选：B 4.(21-22高二上广东潮州期末)银行一年定期的存款的利率为p,如果将α元存入银行一年定期，到期后将 本利再存一年定期，到期后再存一年定期.，则10年后到期本利共 元. 【答案】a(1+p)0 【难度】0.94 【知识点】数列复利 【分析】根据题意求出每年底的本利和，归纳即可. 【详解】由题意知， 第一年本利和为：a(1+p)元， 第二年本利和为：a(1+p)(1+p)=a(1+p)2元， 第三年本利和为：a(1+p)(1+p)=a(1+p)3元， 以此类推，第十年本利和为：a(1+p)0元， 故答案为：a(1+p)10 变式巩圈 1.(21-22高二全国·课后作业)某企业在今年年初贷款α万元，年利率为Y,从今年年末开始每年偿还一定金 额，预计五年内还清，则每年应偿还() A.at”万元 B.+万元 C.+万元 D. (1+y)5-1 (1+y)5-1 1+y)4-1 ·a部万元 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】数列复利、求等比数列前n项和、等比数列的简单应用 【分析】由题意设每年偿还x万元，根据题意列出方程求解即可. 【详解】设每年偿还x万元， 第4页共26页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则x+x(1+)+x(1+)2+x(1+)3+x(1+)t=a(1+)5, 所以xat=1+5,解得x= 1-(1+y) (1+)-1 故选：B 2.(20-21高一下·江西宜春·月考)从2017年到2020年期间，甲每年1月1日都到银行存入a元的一年定期储 蓄.若年利率q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄.2021年1月1日，甲去银行 不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是() A.a(1+q)4元 B.a(1+q)5元 C.+q-+q元 D.a+q-1+ql元 9 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数列复利、求等比数列前n项和 【分析】先分别计算每一年存入α元到2021年的本息和，然后将所有存款的本息相加，根据等比数列求得 求和公式解之即可. 【详解】解：2017年的a元到了2021年本息和为a(1+q)4, 2018年的a元到了2021年本息和为a(1+q)3, 2019年的a元到了2021年本息和为a(1+q)2, 2020年的a元到了2021年本息和为a(1+q), 所有金额为a(1+q)+a(1+q)2+a(1+q)3++a(1+q)1 即所有金额为a+-+)边=a+g-1+创 1-(1+q) 故选：D 3.(20-21高一.全国单元测试)2004年10月28日到银行存入Q元，若年利率为x,且按复利计算，到2013年 10月28日可取回款()元.（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再 计算下一期的利息.) A.a(1+x)8 B.a(1+x)9 C.a+(1+x)9 D.a+(1+x)8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数列-复利 【分析】以复利计算方法，到2005年10月28日本息款为a(1+x)元，到2006年10月28日本息款为 a(1+x)2,,以此类推到每年10月28日本息款构成等比数列求解。 【详解】因为2004年10月28日到银行存入Q元，且年利率为x,按复利计算， 所以到2005年10月28日本息款为a(1+x)元， 到2006年10月28日本息款为a(1+x)2, 到2007年10月28日本息款为a(1+x)3，, 第5页共26页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 以此类推到每年10月28日本息款构成以a(1+x)为首项，以1+x为公比的等比数列， 所以到2013年10月28日可取回款为a(1+x)·(1+x)8=a(1+x)9元. 故选：B 4.(21-22高二上河南新乡.期中)2021年9月10日，小王开始读小学一年级，小王父母决定给他开一张银行 卡，每月的16号存钱至该银行卡（假设当天存钱当天到账），用于小王今后的教育开支.2021年9月16日小 王父母往卡上存入500元，以后每月存的钱数比上个月多100元，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行 利息)首次达到100000元的时间为) A.2024年11月16日 B.2024年12月16日 C.2025年1月16日 D.2025年2月16日 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】数列单利 【分析】由题意分析每月所存钱数依次成首项为500，公差为100的等差数列，求出其前n项和列不等式即 可解得。 【详解】由题知，小王父母从2021年9月开始，每月所存钱数依次成首项为500，公差为100的等差数列， 其前n项和为500n+10mm里=50n2+450n.令50n2+450m≥100000，即n2+9n≥2000. 2 因为402+9×40<2000,412+9×41>2000， 所以第41个月的16号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到100000元， 即2025年1月16日他这张银行卡账上存钱总额首次达到100000元. 故选：C 5.(23-24高二下·河南驻马店·期中)某医院购买一台大型医疗机器价格为α万元，实行分期付款，每期付款b 万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5%0，每月复利一次，则a,b满足() A.12b=a B.12b=a(1+5%o)2c.12b=a(1+5%o) D.a<12b<a(1+59%)2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数列分期付款、数列复利 【分析】由题意可得b(1+1.005+1.0052+…+1.00511)=a(1+0.005)12,结合放缩即可得解 【详解】12b<b(1+1.005+1.0052+…+1.00511)=a(1+0.005)12, 由1+1.005+1.0052+…+10051>12，故12b<a(1+5%)2, a=b1+1005+1.0052++1.0051 (1+0.005) +1.005+1052+-+10051)b, 1.00512 由2+10o5+1os2+1o5"<121o0s=12,故a<12b,即有a<12b<a1+5%）2. 1.00512 1.00512 故选：D 第6页共26页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(20-21高二上·湖南长沙期末)今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为 4%,按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是 在元旦还款，则每次的还款额是 万元.(1.043≈1.125，精确到整数) 【答案】36 【难度】0.65 【知识点】数列复利 【分析】由题意列出每次还款后欠款额，利用最后一次欠额为零建立方程即可求解 【详解】解：设每次的还款额为A元，记贷款额为B=1000000元， 由题意，第一次还款后欠款额为B×1.04-A: 第二次还款后欠款额为(B×1.04-A)×1.04-A, 第三次还款后欠款额为[(B×1.04-A)×1.04-A]×1.04-A, 因为三次将欠款还完，所以[(B×1.04-A)×1.04-A]×1.04-A=0, 整理得B=0+0+0年=100，解得A(1+1.04+1.04)=100×1.04, 即A.L104 1-1.04 =100×1.043,所以4=4104= 4 s在6 故答案为：36 。题型02分期付款 点方法 奥例精韧 1.(1920高一下·江西南昌·月考)某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付 息（利息按月以复利计算）.如果小新同学贷款10000元，一年还清，假设月利率为0.25%，那么小新同学每 月应还的钱约为((1.002512≈1.03) A.833 B.858 C.883 D.902 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】数列分期付款 【解析】先计算本息和，设每月应还钱数，根据等比数列公式，列出式子，最后简单计算，可得结果。 【详解】贷款10000元两年到期时本金与利息之和为：10000×(1十0.25%)12=10000×1.002512（元）. 设每月还x元，则x+10025x+十1.00251x=x.11025 1-1.0025 即x.1-1.002512 1-1.0025 =10000×1.002512≈10300：所以x858(元)，即每月应还858元. 第7页共26页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：B 2.(21-22高二上山东威海·期末)我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式， 其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷 款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.自主创业的大学生张 华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷 款月利率为0.4%，设张华第n个月的还款金额为an元，则an=(） A.2192 B.3912-8n C.3920-8n D.3928-8m 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等差数列的简单应用、数列分期付款 【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第n个月已还多少本金，由此可计算出n个月的还款金额， 【详解】由题意可知：每月还本金为2000元， 设张华第n个月的还款金额为a元，则an=2000+[480000-(n-1)×2000]×0.4%=3928-8n, 故选：D 3.(多选(20-21高二·全国·单元测试)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两 种贷款方式.方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还 款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首 次还款（若2021年7月7日贷款到账，则2021年8月7日首次还款）.已知小张该笔贷款年限为20年，月利 率为0.004，则下列说法正确的是()川参考数据：1.004240≈2.61，计算结果取整数) A.选择方式①，若第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，则小张该笔贷款的总利息 为289200元 B.选择方式②，小张每月还款额为3800元 C.选择方式②，小张总利息为333840元 D.从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式① 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、数列-分期付款 【分析】等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为{a},则a1=4900,a240=2510, 等额本息还款方式中，设小张每月还款额为x元， 则x+x(1+0.004+x(1+0.0042+…+x(1+0.004)39=600000×(1+0.004)240, 分别利用等差数列、等比数列模型研究，依次判断即可 【详解】对于A,由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为{a},Sn表示 数列{a}的前n项和，则a1=4900,a240=2510 则5240=240a+40=120×(4900+2510)=889200, 2 第8页共26页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故小张该笔贷款的总利息为889200-600000=289200（元），故A正确. 对于B,设小张每月还款额为x元， 则x+x(1+0.004+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)239=600000×(1+0.004240, 所以x×1-10420 =600000×1.004240,即x=60000x10040x004≈60000x261x0004≈3891，故B错误」 1-1.004 1.004240-1 2.61-1 对于C,小张采取等额本息贷款方式的总利息为3891×240-600000=933840-600000=333840（元）， 故C正确. 对于D,因为333840>289200，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①，故D正确. 故选：ACD 4.(22-23高三上辽宁·月考)沈阳京东MLL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的 需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为α元，以分期付款的形式等额分成次 付清，每期期末所付款是x元，每期利率为r，则爱好者每期需要付款x= 【答案】a+ (1+r)n-1 【难度】0.85 【知识点】数列分期付款、求等比数列前n项和 【分析】根据等比数列求和公式即得 【详解】由题意得a(1+r)"=x+x(1+r）+…+x(1+r)m-1, 六a(1+r)”=-+) 1-(1+r) ÷x=m+) (1+r)-1 故答案为： ar(1+r)m (1+r)n-1 变1武巩1圆 1.(24-25高二下·辽宁沈阳期中)甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定 按"等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款：两人都分12次还清所有的欠 款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还 多少元（精确到个位，参考数据：1.0041≈1.045,1.00412≈1.049,1.00413≈1.053(） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】数列-分期付款、求等比数列前项和 【分析】先求出学生甲在第5个月的还款额，再利用等比数列的性质，求和公式得到学生乙每个月的还款 额均为428.16元，从而得到10月初甲比乙将多还1.84≈2元. 【详解】学生甲从5月初到9月初已经还了4个月， 在第5个月的还款额为登+(5000一警×4)×04%=430元， 第9页共26页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设学生乙每个月的还款额均为x元，第n(1≤n≤12)个月还款后还剩余an元未还， 显然a1=5000(1+0.4%)-x,a2=a1(1+0.4%)-x,a3=a2(1+0.4%)-x, ,a11=a10(1+0.4%)-x,a12=a11(1+0.4%)-x 1 显然an三0，散a1马o所以0a100+0.49%x故Q1o=d40 1 1 依次类推，可得a1=X14十40+…+了 (+049% 1 1 即50001+0.4%-x=x(+04%+a+04+…+a+046 1 所以x= 5000(1+0.4%) ++04%at04时t… 1 (1+0.4%1 1 由等比数列求和公式可得1+，1 0+048亚_(1+0.49%612-1 1+04%+a+049时+…+a+04时 1 11+04% 04%(1+0.49%), 故x=5000x0.4%1+0.4%12 (1+0.4%)2-1 ≈428.16元，学生乙每个月的还款额均为42816元， 所以甲比乙将多还430-428.16=1.84≈2元. 故选：A 2.(2025高二·全国.专题练习)某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利 率0.3%，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）.有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分 配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数， 另一部分是利息，即贷款本金与己还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息 和，利息以复利计算.下列说法错误的是() (参考：1.00311≈1.0335,1.00312≈1.0366：计算结果精确到分) A.等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B.等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C.等额本金方案，所有的利息和为2340元 D.等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等比数列的简单应用、等比数列前项和的基本量计算、数列-分期付款 【分析】A选项，设第n个月贷款利息为an,偿还本金为b,得到数列b}是以1+0.3%为公比的递增等比 数列，利用等比数列求和公式得到b1,求出每月还款的本息和；B选项，倒数第二个月还款后，剩余本金 10000,一个月利息为30元，B正确：C选项，利息和为(120000+110000+100000+·+10000)×0.003= 2340:D选项，等额本息低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额：还有通货膨胀等 诸多经济因素影响，不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案， 【详解】对于A,设第n个月贷款利息为an,偿还本金为bn: 则a1=0.3%×120000=360,a2=0.3%(120000-b1)=360-0.3%b1 则b2=(a1+b)-a2=b1(1+0.3%), 第10页共26页 选修三 第五章 数列 5.4 数列的应用 数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型； (2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围. 知识点一 数列的应用常见类型 1.单利复利：复利公式，其中为原来数量，为每一次变化的增长(减少)的百分比(增长为正，减少为负)，为经过次变化后的数量. 2.分期付款： 3.产值增长： 4.其它类型 即学即练 1.(22-23高二·全国·随堂练习)小蕾2018年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2019年1月31日取款时，银行按国家规定给付利息469元，则小蕾存入银行的本金介于(    )元之间，并说明理由． A．1万~2万 B．2万~3万 C．3万~4万 D．4万~5万 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】数列-单利 【分析】设存入本金元，再列出方程求解即可. 【详解】设小蕾存入银行的本金元，依题意，，解得(元)， 所以小蕾存入银行的本金介于2万~3万元之间. 故选：B 2.(多选)(22-23高二下·广西钦州·月考)刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，设小明每个月所要还款的钱数为元，则下列说法正确的是(    ) A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法” B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法 C．小明第一个月还款的现值为元 D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】数列-分期付款、求等比数列前n项和 【分析】AB根据还款特点，得到还款方式；C选项，设出第一个月还款的现值为，列出方程，求出答案；D选项，表达出第12个月末所欠银行贷款数，因为分次还清所有的欠款，故得到方程，求出答案. 【详解】AB选项，由于每个月还款的钱数都相等，故小明选择的还款方式为“等额本息还款法，A错误，B正确； C选项，设小明第一个月还款的现值为，则，解得，故C正确； D选项，根据等额本息还款法可得，第一个月末所欠银行贷款为， 第二个月末所欠银行贷款为， 第三个月末所欠银行贷款为， …… 第12个月末所欠银行贷款为 ， 由于分次还清所有的欠款，故，解得，D正确. 故选：BCD 题型01 单利复利 典｜例｜精｜析 1.(23-24高二下·江西景德镇·期末)一个网上贷款平台在2024年初给出贷款的月利率为，某大学生此时从该平台贷款元，按照复利计算，他10个月后一次性还款的金额应为(    ) A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】数列-复利 【分析】依据应还金额=贷款金额 (1+月利率) 月份进行求解即可. 【详解】应还金额=贷款金额 (1+月利率) 月份， 由题意知贷款金额为，月利率为，月份为10， 所以. 故选：D. 2.(20-21高一上·江苏·课后作业)复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱元，存入银行，年利率为；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达.如果将这元选择合适方式存满年，可以多获利息(    )元. (参考数据：，，，) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】数列-复利、数列-单利 【解析】由题意，某同学有压岁钱元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得的利息，即可得答案. 【详解】将元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法， 则存满年后的本息和为， 故而共得利息元. 将元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满年后的利息为， 故可以多获利息. 故选：B 3.(20-21高二·全国·课后作业)某高一学生家长于月日在某购物平台采用分期付款的形式购买了一台价值元的平板电脑给学生进行网上学习使用，该平台规定：分个月还清，从下个月日，即月日，开始偿还，每月日还款，且每个月还款钱数都相等．若购物平台的月利率为，则该家长每月的偿还金额是(    ) A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数列-复利 【分析】设每月的偿还金额都是元，根据等比数列的求和公式可得出关于的等式，即可求得结果. 【详解】设每月的偿还金额都是元，则， 即，得． 故选：B. 4.(21-22高二上·广东潮州·期末)银行一年定期的存款的利率为p，如果将a元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，到期后再存一年定期……，则10年后到期本利共________元． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】数列-复利 【分析】根据题意求出每年底的本利和，归纳即可. 【详解】由题意知， 第一年本利和为：元， 第二年本利和为：元， 第三年本利和为：元， 以此类推，第十年本利和为：元， 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1.(21-22高二·全国·课后作业)某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还(    ) A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】数列-复利、求等比数列前n项和、等比数列的简单应用 【分析】由题意设每年偿还x万元，根据题意列出方程求解即可. 【详解】设每年偿还x万元， 则， 所以，解得． 故选：B 2.(20-21高一下·江西宜春·月考)从2017年到2020年期间，甲每年1月1日都到银行存入元的一年定期储蓄.若年利率保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄.2021年1月1日，甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是(    ) A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数列-复利、求等比数列前n项和 【分析】先分别计算每一年存入元到2021年的本息和，然后将所有存款的本息相加，根据等比数列求得求和公式解之即可． 【详解】解：2017年的元到了2021年本息和为， 2018年的元到了2021年本息和为， 2019年的元到了2021年本息和为， 2020年的元到了2021年本息和为， 所有金额为 即所有金额为 故选：． 3.(20-21高一·全国·单元测试)2004年10月28日到银行存入元，若年利率为，且按复利计算，到2013年10月28日可取回款(    )元．(复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数列-复利 【分析】以复利计算方法，到2005年10月28日本息款为元，到2006年10月28日本息款为 ，…，以此类推到每年10月28日本息款构成等比数列求解. 【详解】因为2004年10月28日到银行存入元，且年利率为，按复利计算， 所以到2005年10月28日本息款为元， 到2006年10月28日本息款为 ， 到2007年10月28日本息款为 ，…， 以此类推到每年10月28日本息款构成以为首项，以1+x为公比的等比数列， 所以到2013年10月28日可取回款为元． 故选：B 4.(21-22高二上·河南新乡·期中)年月日，小王开始读小学一年级，小王父母决定给他开一张银行卡，每月的号存钱至该银行卡(假设当天存钱当天到账)，用于小王今后的教育开支.年月日小王父母往卡上存入元，以后每月存的钱数比上个月多元，则他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到元的时间为(    ) A．年月日 B．年月日 C．年月日 D．年月日 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数列-单利 【分析】由题意分析每月所存钱数依次成首项为，公差为的等差数列，求出其前项和列不等式即可解得. 【详解】由题知，小王父母从年月开始，每月所存钱数依次成首项为，公差为的等差数列， 其前项和为.令，即. 因为，， 所以第个月的号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到元， 即年月日他这张银行卡账上存钱总额首次达到元. 故选：C 5.(23-24高二下·河南驻马店·期中)某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数列-分期付款、数列-复利 【分析】由题意可得，结合放缩即可得解. 【详解】， 由，故， ， 由，故，即有. 故选：D. 6.(20-21高二上·湖南长沙·期末)今年元旦，市民小王向朋友小李借款万元用于购房，双方约定年利率为4%，按复利计算(即本年利息计入次年本金生息)，借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是_________万元．(，精确到整数) 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数列-复利 【分析】由题意列出每次还款后欠款额，利用最后一次欠额为零建立方程即可求解. 【详解】解：设每次的还款额为元，记贷款额为元， 由题意，第一次还款后欠款额为； 第二次还款后欠款额为， 第三次还款后欠款额为， 因为三次将欠款还完，所以， 整理得，解得， 即，所以． 故答案为：36 题型02 分期付款 典｜例｜精｜析 1.(19-20高一下·江西南昌·月考)某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果小新同学贷款10000元，一年还清，假设月利率为0.25%，那么小新同学每月应还的钱约为(    )(1.002512≈1.03) A．833 B．858 C．883 D．902 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】数列-分期付款 【解析】先计算本息和，设每月应还钱数，根据等比数列公式，列出式子，最后简单计算，可得结果. 【详解】贷款10000元两年到期时本金与利息之和为：10000×(1＋0. 25%)12＝10000×1.002512(元)． 设每月还x元，则x＋1.0025x＋…＋1.002512x＝ 即≈10300；所以x≈858(元)，即每月应还858元． 故选：B 2.(21-22高二上·山东威海·期末)我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则(    ) A．2192 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等差数列的简单应用、数列-分期付款 【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第n个月已还多少本金，由此可计算出个月的还款金额. 【详解】由题意可知：每月还本金为2000元， 设张华第个月的还款金额为元，则， 故选：D 3.(多选)(20-21高二·全国·单元测试)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2021年7月7日贷款到账，则2021年8月7日首次还款).已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004，则下列说法正确的是(    )(参考数据：，计算结果取整数) A．选择方式①，若第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，则小张该笔贷款的总利息为289200元 B．选择方式②，小张每月还款额为3800元 C．选择方式②，小张总利息为333840元 D．从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式① 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、数列-分期付款 【分析】等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为，则，，等额本息还款方式中，设小张每月还款额为元， 则， 分别利用等差数列、等比数列模型研究，依次判断即可 【详解】对于A，由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为，表示数列的前项和，则，， 则， 故小张该笔贷款的总利息为(元)，故A正确. 对于B，设小张每月还款额为元， 则， 所以，即，故B错误. 对于C，小张采取等额本息贷款方式的总利息为(元)，故C正确. 对于D，因为，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①，故D正确. 故选：ACD 4.(22-23高三上·辽宁·月考)沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为 a 元，以分期付款的形式等额分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率为 r ，则爱好者每期需要付款______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数列-分期付款、求等比数列前n项和 【分析】根据等比数列求和公式即得. 【详解】由题意得， ，. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1.(24-25高二下·辽宁沈阳·期中)甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元(精确到个位，参考数据：，，)(   ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】数列-分期付款、求等比数列前n项和 【分析】先求出学生甲在第5个月的还款额，再利用等比数列的性质，求和公式得到学生乙每个月的还款额均为元，从而得到10月初甲比乙将多还元. 【详解】学生甲从5月初到9月初已经还了4个月， 在第5个月的还款额为元， 设学生乙每个月的还款额均为元，第个月还款后还剩余元未还， 显然，，， ……，， 显然，故，所以，故， 依次类推，可得， 即，所以， 由等比数列求和公式可得， 故元，学生乙每个月的还款额均为元， 所以甲比乙将多还元． 故选：A 2.(2025高二·全国·专题练习)某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清(每月购买车的那一天分期还款)．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法错误的是( ) (参考：：计算结果精确到分) A．等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2340元 D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等比数列的简单应用、等比数列前n项和的基本量计算、数列-分期付款 【分析】A选项，设第个月贷款利息为，偿还本金为，得到数列是以为公比的递增等比数列，利用等比数列求和公式得到，求出每月还款的本息和；B选项，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30元，B正确；C选项，利息和为；D选项，等额本息低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响，不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案. 【详解】对于A，设第个月贷款利息为，偿还本金为， 则，， 则， ， 则， 同理得，，……，， 所以数列是以为公比的递增等比数列， 则有，得， 所以每月还款的本息和为， 所以A正确; 对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为元， 本息和应为10030元，故B正确； 对于C，利息和为(元)， 故C正确； 对于D， 由A知等额本息还款利息和为 ， 两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大， 还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额， 高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益， 故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误. 故选：D. 3.(23-24高二下·河南南阳·期中)刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为(    )元． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数列-分期付款、求等比数列前n项和、等比数列的简单应用 【分析】根据等额本息还款法，分别写出第一个月末，第二个月末，…，第12个月末所欠银行贷款，其中第12月末还清所有的欠款，利用递推关系由等比数列前项和公式列出方程求出结果． 【详解】设小明每个月所要还款的钱数为元， 根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：， 第二个月末所欠银行贷款数为：； ．．．， 第12个月末所欠银行贷款为： ； 由于分12次还清所有的欠款，所以，解得. 故选：D． 4.(23-24高二下·江西赣州·月考)某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清(即用12个月等额还款)，则小胡每个月月底需要还款(    ) A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数列-分期付款、求等比数列前n项和、等比数列的简单应用 【分析】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得每次还款后欠银行贷款，即第12次还款后欠银行贷款为，进而由等比数列的前项和公式可得，从而可得. 【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为， 第2次还款后欠银行贷款为， …， 第12次还款后欠银行贷款为 ， 因为贷款12个月还清，所以，即，所以. 故选：C. 5.(多选)(23-24高二下·河南驻马店·期中)某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数列-复利、数列-分期付款 【分析】由题意可得，结合放缩即可得解. 【详解】， 由，故， ， 由， 故，即有. 故选：D. 6.(20-21高二上·湖南娄底·开学考试)购买一件某家用电器需要10000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率，按复利计算，那么每期应付款为__________元.() 【答案】880 【难度】0.65 【知识点】数列-分期付款 【分析】这是一个分期付款问题，关键是计算各期付款到最后一次付款时所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息之和，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款所生利息之和 【详解】设每期应还款元，则 第1期还款后，还欠款 第2期还款后，还欠款 …………… 第12期还款后，还欠款 第12期还款后，还欠款应为0 所以 即 所以 故答案为：880 【点睛】本题考查数列的实际问题，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 题型03 产值增长 典｜例｜精｜析 1.(2018高一上·全国·专题练习)我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，设平均每年的增长率为，则有(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】指数函数模型的应用(1)、数列-产值增长 【分析】设的总产值为，我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，说明年的工农业总产值是年工农业总产值的倍，然后根据平均增长率的定义列等式即可. 【详解】本题为增长率模型函数，为指数函数形式. 设年总产值为，由于我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，说明年的工农业总产值是年工农业总产值的，则. 故选D. 2.(19-20高一·重庆·期末)某食品加工厂年获利万元，经调整食品结构，开发新产品．计划从年开始每年比上一年获利增加，则从(    )年开始这家加工厂年获利超过万元．(已知，) A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数列-产值增长、运用换底公式化简计算 【分析】本题根据题意各年获利构成一个等比数列，然后得到通项公式，根据题意可得出关于的不等式，解出的值，注意其中对数式的计算． 【详解】由题意，设从年开始，第年的获利为万元， 则数列为等比数列，其中年的获利为首项，即. 年的获利为万元， 年的获利为万元， 数列的通项公式为， 由题意可得，即， ， ，从年开始这家加工厂年获利超过万元． 故选：C． 【点评】本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的通项公式，不等式的计算，对数运算．属于中档题． 3.(多选)(20-21高三上·湖南·月考)在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第月月底小王手中有现款为，则下列论述正确的有(    )(参考数据：) A． B． C．2020年小王的年利润为40000元 D．两年后，小王手中现款达41万 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】数列-产值增长、由递推关系式求通项公式 【分析】由题可知，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为之间的递推关系为，，进而根据递推关系求出通项公式即可得答案. 【详解】对于A选项，元，故A错误 对于B选项，第月月底小王手中有现款为，则第月月底小王手中有现款为，由题意故B正确； 对于C选项，由得 所以数列是首项为公比为1.2的等比数列， 所以，即 所以2020年小王的年利润为元，故C正确； 对于D选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故D正确. 故选： BCD. 【点睛】本题考查数列实际应用，知识迁移与应用能力，是中档题.本题解题的关键是根据已知数学生活情境，建立数列递推关系的数学模型，，进而根据数学模型讨论各选项. 4.(21-22高二上·山东聊城·期末)某集团公司有一下属企业从事一种高科技产品的生产.企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到年底资金增长了60%，以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元，则___________；当时，若第年年底企业上缴资金后的剩余资金不低于9000万元，则正整数的最小值为___________.(取) 【答案】 5 【难度】0.65 【知识点】数列-产值增长 【分析】先找到数列的递推公式，即可求出；由递推公式求出通项公式，建立不等式，两边取对数，求出正整数的最小值. 【详解】第一年年底剩余资金； 第二年年底剩余资金； 第三年年底剩余资金； …… 第n年年底剩余资金； 所以. 当时，由，可求得：， 所以构成以1600为首项，公比为的等比数列，所以. 设第年年底企业上缴资金后的剩余资金不低于9000万元，则，即，两边取对数得：， 即. 因为，所以，所以n=5. 故答案为：①；②5. 变｜式｜巩｜固 1.(25-26高二下·全国·课后作业)某工厂年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数列-产值增长 【分析】设年平均增长率为，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设年年底总产值为，年平均增长率为，则， 所以，故． 故选：B. 2.(22-23高二·全国·随堂练习)某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为(    )万元． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数列-产值增长、求等比数列前n项和 【分析】根据题意，后10年每年的销售额成等比数列，公比为1.1，首项为，进而根据等比数列求和公式求解即可. 【详解】设今后10年每年的销售额为， 因为超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加. 所以今年的销售额为，今后第年与第年的关系为， 所以今后10年每年的销售额构成等比数列， 公比为1.1，首项为. 所以今年起10年内这家超市的总销售额为 故从今年起10年内这家超市的总销售额为万元. 故选：D 3.(22-23高二上·河南·期末)中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为(    )． A．781万元，60万元 B．525万元，200万元 C．781万元，200万元 D．1122万元，270万元 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数列-产值增长 【分析】根据等差数列和等比数列前项和求解即可. 【详解】由题意知这五年投入的资金构成首项为81，公比为，项数为5的等比数列， 所以这五年投入的资金总额是(万元)． 由题意知这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10，项数为5的等差数列， 所以这五年的旅游收入总额是(万元)． 故选：C． 4.(25-26高二上·福建厦门·月考)甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底公司分红后的剩余资金为万元，则至少经过(   )年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元？(年数取整数，参考数据：) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数列-产值增长 【分析】根据题设条件可得.进而得到，结合题设条件可得关于的不等式，从而可得至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元. 【详解】由题意得，投入生产的启动资金共有万元， ， ， ． 则 ， 而也满足该式，故. 令，所以， 因为：，，即． 所以至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元. 故选：D 5.(多选)(20-21高二上·江苏无锡·期末)某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产.A企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A企业从第一年开始，每年年底上缴资金t万元()，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为万元.则(　　) A． B． C． D．当时， 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】数列-产值增长 【解析】先求得第一年年底剩余资金，第二年底剩余资金，即可判断A的正误；分析总结，可得与的关系，即可判断B的正误；根据题意，求得的表达式，利用作差法即可比较与的大小，即可判断C的正误，代入，即可求得，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】第一年年底剩余资金， 第二年底剩余资金，故A错误； 第三年底剩余资金， 所以第n+1年年底剩余资金为，故B正确； 因为 ==， 所以， 因为，所以， 所以，即，故C正确； 当时，，故D错误； 故选：BC 【点睛】解题的关键是根据，总结出，并利用求和公式，求得的表达式，综合性较强，考查计算化简的能力，属中档题. 6.(20-21高二·全国·单元测试)某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧，若他打算用满4年后卖掉这辆车，则他能得到___________元. 【答案】65610 【难度】0.65 【知识点】数列-产值增长 【分析】由题意可得年后价值与年数的关系，即可求解. 【详解】由题意可知年后这辆车的价值， 所以. 故答案为：65610 题型04 其它类型 典｜例｜精｜析 1.(18-19高三上·北京·月考)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时的速度减小，问他至少要经过几小时才可以加强机动车(精确到小时) A．1小时 B．2小时 C．4小时 D．6小时 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】数列-浓度匹配 【分析】设n个小时后才可以驾车，由题意得方程，解得即可． 【详解】设n个小时后才可以驾车，根据题意可知，每小时酒精下降的量成等比数列，公比为进而可得方程得，即，所以至少要经过4小时后才可以驾驶机动车． 故选C． 2.(20-21高三下·全国·月考)某车间王师傅、张师傅因工种不同上班规律如下，王师傅休息一天后连续两天上班，再休息一天，张师傅休息一天后连续四天上班，再休息一天，在第一天，王师傅、张师傅都休息，从第个星期到第个星期内，记第个星期王师傅上班天数为，张师傅上班天数为，用，，，分别表示等于，，，的个数，则(，，，)=(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数列-其他模型 【分析】由已知得出每个星期王师傅上班天数和每个星期张师傅上班天数，由此可得出选项. 【详解】每个星期王师傅上班天数依次为，每个星期张师傅上班天数依次为， 因此依次为所以， 故选：D. 3.(多选)(20-21高二上·江苏镇江·期中)计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是(    ) A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件 B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件 C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态 D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】数列-其他模型、等比数列的简单应用 【解析】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，可得，即可判断四个选项的正误. 【详解】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且， 由可得，两式相减得：， 所以，所以每分钟内新感染的病毒构成以为首项，为公比的等比数列， 所以， 在第3分钟内，该计算机新感染了个文件，故选项A正确； 经过5分钟，该计算机共有个病毒文件，故选项B正确； 10分钟后，计算机感染病毒的总数为， 所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确； 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确； 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第分钟之内新感染的文件数为与 前分钟内新感染的病毒文件数之和为之间的递推关系为，从而求得. 4.(20-21高二上·山东滨州·期末)在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数(注：对于的传染病，要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径)，那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为______(注：初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……) 【答案】1092 【难度】0.65 【知识点】数列-其他模型 【解析】由题意分析，传染模型为一个等比数列，可解. 【详解】由题意： 所以 第六轮的传染人数为 所以前六轮被传染的人数为. 故答案为：1092 变｜式｜巩｜固 1.(19-20高二上·山东潍坊·期末)我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有斤棉花全部赠送给个子女做旅费，从第个孩子开始，以后每人依次多斤，直到第个孩子为止.在这个问题中，第个孩子分到的棉花为(    ) A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】数列-其他模型、等差数列前n项和的基本量计算 【解析】设第一个孩子分配到斤棉花，利用等差数列前项和公式得：，解方程从而得到. 【详解】解：设第一个孩子分配到斤棉花， 则由题意得：， 解得＝65， 故选：C. 2.(2021·陕西咸阳·一模)据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶(各台阶高度相同)和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年……第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为(    ) A．86.2米 B．83.6米 C．84.8米 D．85.8米 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】数列-其他模型 【解析】由题可知各台阶高度相同，所以所求答案为 【详解】解：由题意可知所求高度为 ， 所以乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为86.2米， 故选：A 3.(24-25高二下·北京延庆·期中)北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为.若由小球堆成的某个长方台形垛积有8层，小球总个数是460，则该垛积的第一层小球个数可以是(   ) A．5 B．8 C．12 D．19 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数列-其他模型 【分析】转化题给条件为，再由皆为正整数分类讨论即可求解. 【详解】当时，最底层小球的数量为，即，， 从而有， 整理得，由皆为正整数，得是不超过10的正偶数， 当时，，无解；当时，，无解； 当时，，无解；当时，，解得或，符合题意； 当时，，无正整数解， 所以该垛积的第一层小球个数. 故选：C 4.(22-23高二下·河南·期末)如图，有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的半径r都是mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的0.8倍(整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗).若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点的间距(    )    A．mm B．mm C．mm D．mm 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数列-其他模型 【分析】据题意，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间面带体积与最终出口处两疵点间面带体积相等，因宽度不变，可得到，由此求出， 进而求出. 【详解】轧辊的周长为， 由题意可知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长， 因为在此处出口的两疵点间面带的体积与最终出口处两疵点间面带的体积相等， 又因为宽度不变，有，所以， 而， 所以数列是以为公比的等比数列， 所以，即. 故选：B 5.(多选)(20-21高三上·湖北·月考)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】数列-其他模型、数列求和的其他方法、判断或写出数列中的项 【解析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A，写出数列的前6项为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由，，，……，，可得：，故C正确. 对于D，斐波那契数列总有，则，，，……，，，可得，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 6.(2022·湖北·一模)2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程 若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为___________. 【答案】 【难度】0.15 【知识点】数列-其他模型、求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式、累加法求数列通项 【分析】由图形之间的边长的关系，得到周长是等比数列，再按照等比数列通项公式可得解； 由图形之间的面积关系及累加法，结合等比数列求和可得解. 【详解】记第个图形为，三角形边长为，边数，周长为，面积为 有条边，边长；有条边，边长；有条边，边长； 分析可知，即；，即 当第1个图中的三角形的周长为1时，即， 所以 由图形可知是在每条边上生成一个小三角形，即 即，，， 利用累加法可得 数列是以为公比的等比数列，数列是以为公比的等比数列，故是以为公比的等比数列， 当第1个图中的三角形的面积为1时，，即，此时，，有条边， 则 所以， 所以 故答案为：， 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 选修三 第五章 数列 5.4 数列的应用 数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型； (2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围. 知识点一 数列的应用常见类型 1.单利复利：复利公式，其中为原来数量，为每一次变化的增长(减少)的百分比(增长为正，减少为负)，为经过次变化后的数量. 2.分期付款： 3.产值增长： 4.其它类型 即学即练 1.(22-23高二·全国·随堂练习)小蕾2018年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2019年1月31日取款时，银行按国家规定给付利息469元，则小蕾存入银行的本金介于(    )元之间，并说明理由． A．1万~2万 B．2万~3万 C．3万~4万 D．4万~5万 2.(多选)(22-23高二下·广西钦州·月考)刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，设小明每个月所要还款的钱数为元，则下列说法正确的是(    ) A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法” B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法 C．小明第一个月还款的现值为元 D． 题型01 单利复利 典｜例｜精｜析 1.(23-24高二下·江西景德镇·期末)一个网上贷款平台在2024年初给出贷款的月利率为，某大学生此时从该平台贷款元，按照复利计算，他10个月后一次性还款的金额应为(    ) A．元 B．元 C．元 D．元 2.(20-21高一上·江苏·课后作业)复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱元，存入银行，年利率为；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达.如果将这元选择合适方式存满年，可以多获利息(    )元. (参考数据：，，，) A． B． C． D． 3.(20-21高二·全国·课后作业)某高一学生家长于月日在某购物平台采用分期付款的形式购买了一台价值元的平板电脑给学生进行网上学习使用，该平台规定：分个月还清，从下个月日，即月日，开始偿还，每月日还款，且每个月还款钱数都相等．若购物平台的月利率为，则该家长每月的偿还金额是(    ) A．元 B．元 C．元 D．元 4.(21-22高二上·广东潮州·期末)银行一年定期的存款的利率为p，如果将a元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，到期后再存一年定期……，则10年后到期本利共________元． 变｜式｜巩｜固 1.(21-22高二·全国·课后作业)某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还(    ) A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 2.(20-21高一下·江西宜春·月考)从2017年到2020年期间，甲每年1月1日都到银行存入元的一年定期储蓄.若年利率保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄.2021年1月1日，甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是(    ) A．元 B．元 C．元 D．元 3.(20-21高一·全国·单元测试)2004年10月28日到银行存入元，若年利率为，且按复利计算，到2013年10月28日可取回款(    )元．(复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．) A． B． C． D． 4.(21-22高二上·河南新乡·期中)年月日，小王开始读小学一年级，小王父母决定给他开一张银行卡，每月的号存钱至该银行卡(假设当天存钱当天到账)，用于小王今后的教育开支.年月日小王父母往卡上存入元，以后每月存的钱数比上个月多元，则他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到元的时间为(    ) A．年月日 B．年月日 C．年月日 D．年月日 5.(23-24高二下·河南驻马店·期中)某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足(    ) A． B． C． D． 6.(20-21高二上·湖南长沙·期末)今年元旦，市民小王向朋友小李借款万元用于购房，双方约定年利率为4%，按复利计算(即本年利息计入次年本金生息)，借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是_________万元．(，精确到整数) 题型02 分期付款 典｜例｜精｜析 1.(19-20高一下·江西南昌·月考)某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果小新同学贷款10000元，一年还清，假设月利率为0.25%，那么小新同学每月应还的钱约为(    )(1.002512≈1.03) A．833 B．858 C．883 D．902 2.(21-22高二上·山东威海·期末)我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则(    ) A．2192 B． C． D． 3.(多选)(20-21高二·全国·单元测试)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2021年7月7日贷款到账，则2021年8月7日首次还款).已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004，则下列说法正确的是(    )(参考数据：，计算结果取整数) A．选择方式①，若第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，则小张该笔贷款的总利息为289200元 B．选择方式②，小张每月还款额为3800元 C．选择方式②，小张总利息为333840元 D．从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式① 4.(22-23高三上·辽宁·月考)沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为 a 元，以分期付款的形式等额分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率为 r ，则爱好者每期需要付款______． 变｜式｜巩｜固 1.(24-25高二下·辽宁沈阳·期中)甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元(精确到个位，参考数据：，，)(   ) A．2 B．4 C．6 D．8 2.(2025高二·全国·专题练习)某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清(每月购买车的那一天分期还款)．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法错误的是( ) (参考：：计算结果精确到分) A．等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2340元 D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 3.(23-24高二下·河南南阳·期中)刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为(    )元． A． B． C． D． 4.(23-24高二下·江西赣州·月考)某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清(即用12个月等额还款)，则小胡每个月月底需要还款(    ) A．元 B．元 C．元 D．元 5.(多选)(23-24高二下·河南驻马店·期中)某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足(    ) A． B． C． D． 6.(20-21高二上·湖南娄底·开学考试)购买一件某家用电器需要10000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率，按复利计算，那么每期应付款为__________元.() 题型03 产值增长 典｜例｜精｜析 1.(2018高一上·全国·专题练习)我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，设平均每年的增长率为，则有(    ) A． B． C． D． 2.(19-20高一·重庆·期末)某食品加工厂年获利万元，经调整食品结构，开发新产品．计划从年开始每年比上一年获利增加，则从(    )年开始这家加工厂年获利超过万元．(已知，) A．年 B．年 C．年 D．年 3.(多选)(20-21高三上·湖南·月考)在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第月月底小王手中有现款为，则下列论述正确的有(    )(参考数据：) A． B． C．2020年小王的年利润为40000元 D．两年后，小王手中现款达41万 4.(21-22高二上·山东聊城·期末)某集团公司有一下属企业从事一种高科技产品的生产.企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到年底资金增长了60%，以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元，则___________；当时，若第年年底企业上缴资金后的剩余资金不低于9000万元，则正整数的最小值为___________.(取) 变｜式｜巩｜固 1.(25-26高二下·全国·课后作业)某工厂年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为(   ) A． B． C． D． 2.(22-23高二·全国·随堂练习)某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为(    )万元． A． B． C． D． 3.(22-23高二上·河南·期末)中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为(    )． A．781万元，60万元 B．525万元，200万元 C．781万元，200万元 D．1122万元，270万元 4.(25-26高二上·福建厦门·月考)甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底公司分红后的剩余资金为万元，则至少经过(   )年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元？(年数取整数，参考数据：) A．4 B．5 C．6 D．7 5.(多选)(20-21高二上·江苏无锡·期末)某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产.A企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A企业从第一年开始，每年年底上缴资金t万元()，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为万元.则(　　) A． B． C． D．当时， 6.(20-21高二·全国·单元测试)某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧，若他打算用满4年后卖掉这辆车，则他能得到___________元. 题型04 其它类型 典｜例｜精｜析 1.(18-19高三上·北京·月考)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时的速度减小，问他至少要经过几小时才可以加强机动车(精确到小时) A．1小时 B．2小时 C．4小时 D．6小时 2.(20-21高三下·全国·月考)某车间王师傅、张师傅因工种不同上班规律如下，王师傅休息一天后连续两天上班，再休息一天，张师傅休息一天后连续四天上班，再休息一天，在第一天，王师傅、张师傅都休息，从第个星期到第个星期内，记第个星期王师傅上班天数为，张师傅上班天数为，用，，，分别表示等于，，，的个数，则(，，，)=(    ) A． B． C． D． 3.(多选)(20-21高二上·江苏镇江·期中)计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是(    ) A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件 B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件 C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态 D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 4.(20-21高二上·山东滨州·期末)在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数(注：对于的传染病，要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径)，那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为______(注：初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……) 变｜式｜巩｜固 1.(19-20高二上·山东潍坊·期末)我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有斤棉花全部赠送给个子女做旅费，从第个孩子开始，以后每人依次多斤，直到第个孩子为止.在这个问题中，第个孩子分到的棉花为(    ) A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 2.(2021·陕西咸阳·一模)据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶(各台阶高度相同)和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年……第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为(    ) A．86.2米 B．83.6米 C．84.8米 D．85.8米 3.(24-25高二下·北京延庆·期中)北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为.若由小球堆成的某个长方台形垛积有8层，小球总个数是460，则该垛积的第一层小球个数可以是(   ) A．5 B．8 C．12 D．19 4.(22-23高二下·河南·期末)如图，有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的半径r都是mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的0.8倍(整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗).若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点的间距(    )    A．mm B．mm C．mm D．mm 5.(多选)(20-21高三上·湖北·月考)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 6.(2022·湖北·一模)2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程 若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为___________. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 选修三第五章数列 5.4数列的应用 知识网络 理清脉络。▲钢举目轮 数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是 常见考查形式 (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关 键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立 相应的数学模型： (2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实 明确问题中的 数学建模 际问题理解自变量的取值范围. 数量 1.单利复利：复利公式M=a(1+x)”,其中a为原来数量， 分析数量之间的关系 数列的应 x为每一次变化的增长（减少）的百分比（增长为正，减少 列出关系式 为负)，M为经过n次变化后的数量. 解出要求的量 法 理 识梳理 2.分期付款： 3.产值增长： 检验得结果 数列应用的常见类型 4.其它类型 知识梳理 梳理载材▲奔实基础 数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字 语言转化成数学语言，建立相应的数学模型； (2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围 。知识点一 数列的应用常见类型 1.单利复利：复利公式M=α(1+x)”,其中a为原来数量，x为每一次变化的增长（减少）的百分比（增长为正， 减少为负)，M为经过n次变化后的数量. 2.分期付款： 3.产值增长： 4.其它类型 《◇即学即练 1.(22-23高二全国随堂练习)小蕾2018年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2019年1月 31日取款时，银行按国家规定给付利息469元，则小蕾存入银行的本金介于()元之间，并说明理由. A.1万2万 B.2万3万 C.3万~4万 D.4万5万 第1页共10页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(多选22-23高二下广西钦州·月考)刚考入大学的小明准备向银行贷款A0元购买一台笔记本电脑，然后上 学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月 还款的钱数都相等，贷款的月利率为r,设小明每个月所要还款的钱数为x元，则下列说法正确的是() A.小明选择的还款方式为“等额本金还款法”B.小明选择的还款方式为等额本息还款法 C.小明第一个月还款的现值为年元 D.x=Aor(1+r)12 (1+r12-1 题型突破 抓住核心 A突破重点 题型01单利复利 点方法 奥例精杨 1.(23-24高二下.江西景德镇期末)一个网上贷款平台在2024年初给出贷款的月利率为2%，某大学生此时从 该平台贷款元，按照复利计算，他10个月后一次性还款的金额应为) A.1.18m元 B.1.029m元 C.1.20m元 D.1.0210m元 2.(20-21高一上江苏·课后作业)复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再 计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%：若放入微信零钱通或者支付宝 的余额宝，年利率可达401%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息()元. (参考数据：1.02254=1.093,1.02255=1.117,1.04014=1.170,1.04015=1.217) A.176 B.104.5 C.77 D.88 3.(20-21高二·全国·课后作业)某高一学生家长于3月5日在某购物平台采用分期付款的形式购买了一台价值 m元的平板电脑给学生进行网上学习使用，该平台规定：分12个月还清，从下个月5日，即4月5日，开 始偿还，每月5日还款，且每个月还款钱数都相等.若购物平台的月利率为P,则该家长每月的偿还金额是 () A元 B. mw(1+p)12 +p2元 C.m+)22 12元 D.mw1+)13 1+)91元 4.(21-22高二上广东潮州·期末)银行一年定期的存款的利率为p,如果将α元存入银行一年定期，到期后将 本利再存一年定期，到期后再存一年定期…，则10年后到期本利共 元 变式巩固 第2页共10页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.(21-22高二·全国.课后作业)某企业在今年年初贷款α万元，年利率为y,从今年年末开始每年偿还一定金 额，预计五年内还清，则每年应偿还() A.a”万元 (1+)5-1 B.2万元 C.y+)5 (1+)5-1 1+y)4-1 万元 0万元 2.(20-21高一下·江西宜春.月考)从2017年到2020年期间，甲每年1月1日都到银行存入a元的一年定期储 蓄.若年利率q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄.2021年1月1日，甲去银行 不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是() A.a(1+q)4元B.a(1+q)5元 C.1+q'-1+1元 D.a+g°-(1+元 9 3.(20-21高一，全国单元测试)2004年10月28日到银行存入a元，若年利率为x,且按复利计算，到2013年 10月28日可取回款()元.（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再 计算下一期的利息.) A.a(1+x)8 B.a(1+x)9 C.a+(1+x)9 D.a+(1+x)8 4.(21-22高二上河南新乡·期中)2021年9月10日，小王开始读小学一年级，小王父母决定给他开一张银行 卡，每月的16号存钱至该银行卡（假设当天存钱当天到账），用于小王今后的教育开支.2021年9月16日小 王父母往卡上存入500元，以后每月存的钱数比上个月多100元，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行 利息)首次达到100000元的时间为() A.2024年11月16日 B.2024年12月16日 C.2025年1月16日 D.2025年2月16日 5.(23-24高二下·河南驻马店期中)某医院购买一台大型医疗机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b 万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5%0，每月复利一次，则a,b满足() A.12b=aB.12b=a1+5%o)2c.12b=a(1+59%o) D.a<12b<a(1+5%o)2 6.(20-21高二上湖南长沙期末)今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为 4%,按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是 在元旦还款，则每次的还款额是 万元.(1.043≈1.125，精确到整数) ◆题型02分期付款 点方法 第3页共10页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 奥例引精韧 1.(19-20高一下·江西南昌·月考)某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付 息（利息按月以复利计算）.如果小新同学贷款10000元，一年还清，假设月利率为0.25%，那么小新同学每 月应还的钱约为1.002512≈1.03) A.833 B.858 C.883 D.902 2.(21-22高二上山东威海·期末)我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式， 其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷 款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与己还本金总额的差乘以利率，自主创业的大学生张 华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷 款月利率为0.4%，设张华第n个月的还款金额为an元，则an=(） A.2192 B.3912-8m C.3920-8m D.3928-8m 3.(多选(20-21高二·全国单元测试)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两 种贷款方式方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还 款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首 次还款（若2021年7月7日贷款到账，则2021年8月7日首次还款）.己知小张该笔贷款年限为20年，月利 率为0.004，则下列说法正确的是（川参考数据：1.004240≈2.61，计算结果取整数） A.选择方式①，若第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，则小张该笔贷款的总利息 为289200元 B.选择方式②，小张每月还款额为3800元 C.选择方式②，小张总利息为333840元 D.从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式① 4.(22-23高三上辽宁.月考)沈阳京东MLL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的 需求，开展商品分期付款活动现计划某商品一次性付款的金额为α元，以分期付款的形式等额分成次 付清，每期期末所付款是x元，每期利率为？，则爱好者每期需要付款x= 变式|巩画 1.(24-25高二下·辽宁沈阳·期中)甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定 按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款：两人都分12次还清所有的欠 款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还 多少元（精确到个位，参考数据：1.00411≈1.045,1.00412≈1.049,1.00413≈1.053(） A.2 B.4 C.6 D.8 第4页共10页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(2025高二全国.专题练习)某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利 率0.3%，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）.有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分 配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数， 另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息 和，利息以复利计算.下列说法错误的是() (参考：1.0031≈1.0335,1.00312≈1.0366：计算结果精确到分) A.等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B.等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C.等额本金方案，所有的利息和为2340元 D.等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 3.(23-24高二下·河南南阳·期中)刚考入大学的小明准备向银行贷款α元购买一台笔记本电脑，然后上学的时 候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月 还款的钱数都相等，贷款的月利率为t.则小明每个月所要还款的钱数为)元. A.a(1+t)1 28.1+02 at(1+t)12 12 C.12a+02可 0 4.(23-24高二下江西赣州月考)某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷 款α元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是t,并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到 2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款()】 A.a(1+t)12元 B.a+)12 12元 C.at(+)12 a+02元 D. at(1+d)22 元 121+t)2-1 5.(多选23-24高二下·河南驻马店期中)某医院购买一台大型医疗机器价格为α万元，实行分期付款，每期付 款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5%0，每月复利一次，则a,b满足() A.12b=a B.12b=a(1+5%o)2 C.12b=a(1+5%0) D.a<12b<a(1+56o)2 6.(20-21高二上湖南娄底·开学考试)购买一件某家用电器需要10000元，实行分期付款，每期付款数相同， 每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率0.8%，按复 利计算，那么每期应付款为 元.(1.00812≈1.1) 第5页共10页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 >题型O3产值增长 点方法 奥例精1杨 1.(2018高一上全国.专题练习)我国工农业总产值从1997年到2017年的20年间翻了两番，设平均每年的 增长率为x,则有() A.(1+x)19=4 B.(1+x)20=3 C.(1+x)20=2 D.(1+)20=4 2.(19-20高一.重庆期末)某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2020 年开始每年比上一年获利增加20%，则从()年开始这家加工厂年获利超过60万元.（已知1g2=0.3010, 1g3=0.4771) A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年 3.(多选20-21高三上湖南·月考)在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款 10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测 算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资 金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为a,则下列论述正确的有(（参考数据：1.21= 7.5,1.212=9) A.a1=12000 B.a+1=1.2a-1000 C.2020年小王的年利润为40000元 D.两年后，小王手中现款达41万 4.(21-22高二上山东聊城期末)某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产.A企业第一年年初有 资金2000万元，将其投入生产，到年底资金增长了60%，以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司 要求A企业从第一年开始，每年年底上缴资金t万元(t≤800)，并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年 年底A企业上缴资金后的剩余资金为an万元，则a2=」 ;当t=600时，若第n年年底A企业上缴 资金后的剩余资金不低于9000万元，则正整数n的最小值为 (取lg2=0.3) 变丨武巩1固 1.(25-26高二下·全国·课后作业)某工厂2021年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2028年年底在原有 基础上翻两番，则总产值年平均增长率为) A.24-1 B.2-1 C.34-1 D.35-1 第6页共10页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(22-23高二·全国随堂练习)某超市去年的销售额为α万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%.从 今年起10年内这家超市的总销售额为()万元 A.1.19a B.1.15a C.10×(1.110-1)aD.11×(1.110-1)a 3.(22-23高二上河南期末)中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报 告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求.必须牢固树立和 践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展，某市为了改善当地生态环境， 计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年 投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五 年的投入资金总额与旅游收入总额分别为()· A.781万元，60万元 B.525万元，200万元 C.781万元，200万元 D.1122万元，270万元 4.(25-26高二上福建厦门·月考)甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投 入生产，到当年年底，资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相同四人决定从第一年开始， 每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底公司分红后的剩余资金为a万 元，则至少经过()年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元？（年数取整数，参考数据：1.55≈7.59,1.56≈ 11.39) A.4 B.5 C.6 D.7 5.(多选20-21高二上江苏无锡期末)某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产A企业第一年 年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年 的相同集团公司要求A企业从第一年开始，每年年底上缴资金t万元(t<800),并将剩余资金全部投入下 一年生产.设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为a万元.则( 7 A.a2=2800-t B.ant1=5an-t C.an+1>an D.当t=400时，a3>3800 6.(20-21高二.全国.单元测试)某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧， 若他打算用满4年后卖掉这辆车，则他能得到 元. >题型04其它类型 点方法 第7页共10页 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 奥例引精韧 1.(18-19高三上北京·月考)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶 机动车时血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到 0.3mg/mL,在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减小，问他至少要经过几小时才可以加 强机动车（精确到小时） A.1小时 B.2小时 C.4小时 D.6小时 2.(20-21高三下·全国月考)某车间王师傅、张师傅因工种不同上班规律如下，王师傅休息一天后连续两天上 班，再休息一天，…张师傅休息一天后连续四天上班，再休息一天，…在第一天，王师傅、张师傅都休息， 从第1个星期到第15个星期内，记第n个星期王师傅上班天数为f(n),张师傅上班天数为g(n),用a,b,c, d分别表示g(n)-f(n)等于2,1,0，-1的个数，则(a,b,c,d)=() A.(47,4,0) B.3,7,4,1) C.(3,7,5,0) D.(3,8,4,0) 3.(多选(20-21高二上江苏镇江·期中)计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文 件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒 传染指数Co,即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数C0=2,若一台计算 机有105个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态.该计算 机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是() A.在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件 B.经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件 C.10分钟后，该计算机处于瘫痪状态 D.该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 4.(20-21高二上山东滨州期末)在流行病学中，基本传染数Ro是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫 力的情况下，一个感染者平均传染的人数.。一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接 触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数R。=3(注：对于R。>1的传染病，要隔离感染者， 以控制传染源，切断传播途径)，那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染（不含初始感染者）的总人数为 (注：初始感染者传染Ro个人为第一轮传染，这Ro个人每人再传染Ro个人为第二轮传染…) 度武巩固 1.(19-20高二上山东潍坊期末)我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠： 次第每人多十七，要将第八数来言：务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有996斤棉花全部赠送 给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止在这个问题中，第1 第8页共10页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 个孩子分到的棉花为) A.75斤 B.70斤 C.65斤 D.60斤 2.(2021陕西咸阳一模)据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山 上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓.乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓.1961年3月被国务院公布 为第一批全国重点文物保护单位.乾陵气势雄伟，规模宏大.登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石 阶路共526级台阶（各台阶高度相同）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成.右阶有许多 象征意义.比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征 武则天执政21年…第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”现已知这108级台阶落差高度为17.69 米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为) A.86.2米 B.83.6米 C.84.8米 D.85.8米 3.(24-25高二下·北京延庆·期中)北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一 般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有αb个小球，第二层有(a+1)b+ 1)个小球，第三层有(a+2)(b+2)个小球…依此类推，最底层有cd个小球，共有n层，由“隙积术”可得这 些小球的总个数为2+da+2d+b)+c-a】,若由小球堆成的某个长方台形垛积有8层，小球总个数是460，则 6 该垛积的第一层小球个数可以是() A.5 B.8 C.12 D.19 42-23高二下河南期未如图，有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的半径r都是mm,面带从一端 输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的0.8倍（整个过程 中面带宽度不变，且不考虑损耗)若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最 终输出的面带上，相邻疵点的间距Lk=() 第9页共10页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -888-88 A.800×0.2k-10mm B.1600×0.8k-10mm C.1600×0.8mm D.1600×0.2k-10mm 5.(多选(20-21高三上湖北月考)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1， 1,2,3,5,,其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a} 称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{a的前n项和，则下列结论正确的是() A.a6=8 B.So=54 C.a1+ag+a5+…+a2019=a2020 D.toit+a业=a2020 a2019 6.(2022湖北.一模)2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞 台中央，十分壮观理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”， 是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始， 把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过 程 ① ② ③ @ 若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为 :若第1个图中的三角形的面积为 1,则第n个图形的面积为 第10页共10页