5.3.1 第1课时 等比数列的定义-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦等比数列的定义、通项公式及与指数函数的关系，通过拉面抻面、银行存款利息等生活实例导入，类比等差数列定义，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融合数学抽象与逻辑推理，通过情境问题引导学生发现等比关系，典例研析注重通性通法总结，如证明等比数列的定义法和通项法，拓展思考单调性探究深化理解。分层作业设计满足不同需求，助力学生提升数学运算能力，也为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

第一课时　等比数列的定义 1 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义（数学抽象）. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 （逻辑推理、数学运算）. 3.体会等比数列与指数函数的关系（数学抽象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 拓视野　等比数列的单调性 03 目录 课时作业 04 3 01 PART 基础落实 目 录 　　观察下列情境中的数列，回答后面的问题： 　　（1）拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再捏 合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条：1，2，4，8，16，…； 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 　　（2）如果将钱存在银行里，就会获得利息.例如，如果某年年初将1 000元钱存为年利率为3%的五年定期存款，且银行每年年底结算一次利 息，则这五年中，每年年底的本息和构成数列：1 000×1.03，1 000× 1.032，…，1 000×1.035. 【问题】　以上两个数列有什么共同点，你能否类比等差数列的定义，给 等比数列下一个定义？ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点一　等比数列的定义 　如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于 ⁠ ，即 ＝ 恒成立，则称{an}为等比数列，其中 ⁠称为等 比数列的公比. 同一个常 数q　 q　 q　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【想一想】 1. 若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列一定是等 比数列吗？ 提示：不一定，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列 才是等比数列. 2. 等比数列的首项不为零，公比可以为零吗？其他项是否可以为零？ 提示：不能. 3. 常数列一定是等比数列吗？ 提示：不一定，如0，0，0，…. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 　给出下列数列： ①2，2，4，8，16，32，…； ②在数列{an}中， ＝2， ＝2； ③常数列c，c，c，…，c. 其中等比数列的个数为 ⁠. 解析：①不是等比数列，因为 ≠ .②不一定是等比数列，因为不知道 的值.事实上，即使 ＝2，数列{an}也未必是等比数列.③不一定是等 比数列，当c＝0时，数列不是等比数列. 0　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点二　等比数列的通项公式 　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠0），则等比数列的通项公 式为an＝ ⁠. a1qn－1　 【想一想】 　等比数列通项公式an＝a1qn－1是关于n的指数型函数吗？ 提示：不一定.如当q＝1时，an是关于n的常数函数. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 已知数列{an}的首项a1＝4，且满足an＋1＝2an（n∈N＋），则a5＝ （　　） A. 8 B. 32 C. 16 D. 64 解析： 　由an＋1＝2an（n∈N＋）可得 ＝2，所以数列{an}是首项为 4，公比为2的等比数列，因此a5＝a1qn－1＝4×24＝64.故选D. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 在等比数列{an}中，若a2＋a4＝2（a1＋a3），则公比为 ⁠. 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a2＋a4＝（a1＋a3）q＝2（a1＋ a3），a1＋a3＝a1（1＋q2）≠0，所以q＝2. 2　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜等比数列的判断与证明 【例1】　已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an.设bn＝ . （1）求b1，b2，b3； 解： 由条件可得an＋1＝ an. 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； 解： {bn}是首项为1，公比为2的等比数列. 由条件可得 ＝ ，即bn＋1＝2bn，又因为b1＝1，所以{bn}是首项为 1，公比为2的等比数列. （3）求{an}的通项公式. 解： 由（2）可得， ＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 证明数列{an}是等比数列的常用方法 （1）定义法： ＝q（q为常数且q≠0）或 ＝q（q为常数且 q≠0，n≥2）⇔数列{an}为等比数列； （2）通项法：an＝a1qn－1（其中a1，q为非零常数，n∈N＋）⇔数列{an} 是等比数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3， a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等 比数列. 证明：由已知，有2a2＝a1＋a3，　① ＝ ，　② ＝ ＋ .　③ 由③得 ＝ ，所以a4＝ .　④ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 将④⑤代入②，得 ＝ · . 所以a3＝ ，即a3（a3＋a5）＝a5（a1＋a3）. 化简得 ＝a1·a5， 因为a1，a3，a5均不为0，所以 ＝ ，故a1，a3，a5成等比数列. 由①得a2＝ .　⑤ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝3an＋2n－1. （1）求a2，a3； 解： a2＝3a1＋1＝4，a3＝3a2＋3＝15. （2）证明：数列{an＋n}为等比数列； 解： 证明：由an＋1＝3an＋2n－1得an＋1＋（n＋1）＝3（an＋n）， 且a1＋1＝2≠0，所以数列{an＋n}是首项为2，公比为3的等比数列. （3）求数列{an}的通项公式. 解： 由（2）知数列{an＋n}是首项为2，公比为3的等比数列， 所以an＋n＝2×3n－1， 即an＝2×3n－1－n. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型二｜等比数列的通项公式及其应用 【例2】　在等比数列{an}中. （1）a4＝2，a7＝8，求an； 解：设等比数列的首项为a1，公比为q. （1）法一　因为 所以 由 得q3＝4，从而q＝ ，而a1q3＝2， 于是a1＝ ＝ ，所以an＝a1qn－1＝ . 法二　因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝ . 所以an＝a4qn－4＝2×（ ）n－4＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解： 法一　因为 由 得q＝ ，从而a1＝32. 又因为an＝1，所以32× ＝1， 即26－n＝20，所以n＝6. 法二　因为a3＋a6＝q（a2＋a5），所以q＝ . 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，知n＝6. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【母题探究】 1. （变设问）本例（1）条件不变，试问128是不是该数列中的项？如果 是，求出是第几项；如果不是，说明理由. 解：由本例（1）知an＝ .令an＝128， 得 ＝7，即n＝13. 故128是该数列中的第13项. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. （变条件）本例（2）中的条件“a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1”若 换为“a1＝ ，q＝ ，an＝ ”，其他条件不变，试求n. 解：因为an＝a1qn－1，所以 × ＝ ， 即 ＝ ，解得n＝5. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 求等比数列通项公式的常用方法 （1）根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这 是常规方法； （2）充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种 方法带有一定的技巧性，能简化运算. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 在等比数列{an}中，a1＝12，a2＝24，则a3＝（　　） A. 36 B. 48 C. 60 D. 72 解析： 　∵a2＝a1q＝12q＝24，∴q＝2，∴a3＝a1q2＝12×22＝48. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知等比数列{an}的公比q＝－ ，则 ＝（　　） A. B. C. 2 D. 4 解析： 　由题意可得 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型三｜灵活设元求解等比数列 【例3】　（1）有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13 成等差数列，则这四个数的和是 ⁠； 45　 解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列. 即 整理得 解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3，6， 12，24，其和为45. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数 成等差数列，且它们之和为12，求这四个数. 解：设前三个数为 ，a，aq，则 ·a·aq＝216， 所以a3＝216，所以a＝6. 因此前三个数为 ，6，6q. 由题意知第4个数为12q－6， 所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝ . 故所求的四个数为9，6，4，2. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 几个数成等比数列的设法 （1）三个数成等比数列设为 ，a，aq； 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…， ， ，a，aq，aq2，…. （2）四个符号相同的数成等比数列设为 ， ，aq，aq3； 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…， ， ， ，aq， aq3，aq5，…. （3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为a，aq， aq2，aq3. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　一个等比数列前三项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则 该数列有（　　） A. 13项 B. 12项 C. 11项 D. 10项 解析： 设数列的通项公式为an＝a1qn－1，则前三项分别为a1，a1q， a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.由题意得 q3＝2， q3n－6 ＝4，两式相乘得 q3（n－1）＝8，即 qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1 ＝64，∴ ＝64，即（ qn－1）n＝642，∴2n＝642＝212，解得 n＝12. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 03 PART 拓视野　 等比数列的单调性 能力提升 目 录 在等比数列的通项公式中，an与n的关系与以前学过的什么函数有关？ 提示：因为an＝a1qn－1＝ ×qn，所以如果记f（x）＝ ×qx，则可以 看出an＝f（n），而且： （1）当公比q＝1时，f（x）是常数函数，此时数列{an}是常数列； （2）当公比q≠1时，f（x）是 与y＝qx的乘积，此时，f（x）的增减 性既与a1有关，也与q有关. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【问题探究】 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q. （1）若 则数列{an}是递增，还是递减数列？ 提示：数列{an}是递增数列，证明如下： ∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＞0， ∴an＋1＞an，∴{an}是递增数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）若 则数列{an}是递增，还是递减数列？ 提示：数列{an}是递减数列，证明如下： ∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0， 即an＋1＜an，∴{an}是递减数列. （3）若 则数列{an}是递增，还是递减数列？ 提示：数列{an}是递减数列，证明如下： ∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0， ∴an＋1＜an，∴{an}是递减数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （4）若 则数列{an}是递增，还是递减数列？ 提示：数列{an}是递增数列，证明如下： ∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0， ∴an＋1＞an，∴{an}是递增数列. （5）若q＝1，则数列{an}的单调性如何？q＜0呢？ 提示：当q＝1时，{an}是常数列，不具有单调性；当q＜0时，{an}是一 个摆动数列，也不具有单调性. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【迁移应用】 1. 在等比数列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，则数列{an}为（　　） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 无法确定单调性 解析： 　由8a2－a5＝0，可知 ＝q3＝8，解得q＝2.又因为a1＞0，所 以数列{an}为递增数列. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 数列{an}是各项均为正数的等比数列，且an－an－1＞0（n≥2），则该 数列的公比q的取值范围是（　　） A. q＝1 B. q＜0 C. q＞1 D. 0＜q＜1 解析： 由an－an－1＞0（n≥2）可知，数列{an}是递增的等比数列.又 因为数列{an}的各项均为正数，所以q＞1. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 设等比数列{an}的公比为q，则“q＞1”是“等比数列{an}为递增数 列”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　假设q＞1，对于等比数列{an}，其通项公式为an＝a1qn－1.当q ＝2，a1＝－2时，根据通项公式可得a2＝a1q＝－2×2＝－4.此时a2＜ a1，等比数列{an}不是递增数列.这说明仅仅q＞1不能保证等比数列{an} 一定是递增数列，所以“q＞1”不是“等比数列{an}为递增数列”的充分 条件.假设等比数列{an}为递增数列，那么an＋1＞an.由通项公式可得an＝ a1qn－1，an＋1＝a1qn，所以a1qn＞a1qn－1.当a1＜0时，不等式两边同时除 以a1，得到qn＜qn－1.例如当n＝2时，q2＜q，解得0＜q＜1.这说明等比 数列{an}为递增数列时，不一定有q＞1，所以“q＞1”不是“等比数列 {an}为递增数列”的必要条件.则“q＞1”是“等比数列{an}为递增数 列”的既不充分也不必要条件.故选D. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 若数列{an}是公比为 的正项等比数列，则{ ·a2n}是（　　） A. 公比为2 的等比数列 B. 公比为 的等比数列 C. 公差为2 的等差数列 D. 公差为 的等差数列 解析： 　数列{an}是公比为 的正项等比数列，则 ＝ （n≥2， n∈N＋），设bn＝ ·a2n，则 ＝ ＝ ·（ ）2＝2 （n≥2，n∈N＋）. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于 （　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析： 因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝ 6，解得n＝7. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 已知等比数列{an}满足a2 025－a1＝8，a2 026－a2＝24，则公比q＝ （　　） A. 1 B. －1 C. 3 D. －3 解析： 　 因为a2 025－a1＝8，a2 026－a2＝24，a2 026＝a2 025·q，a2＝ a1·q，所以 ＝ ＝q＝ ＝3.故选C. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 在等比数列{an}中，已知a1＝ ，a5＝3，则a3＝（　　） A. 1 B. 3 C. ±1 D. ±3 解析： 　由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝ ×3＝1. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 设{an}是公比不为1的等比数列，且 a1＝2，a2＋a3＝4，则{an}的通项 公式为an＝ ⁠. 解析：设等比数列{an}的公比为q（q≠1），因为a1＝2，a2＋a3＝4，所 以2q＋2q2＝4，即q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1（舍去），所以an ＝a1qn－1＝2×（－2）n－1＝－（－2）n. －（－2）n　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 若等比数列的前三项分别为5，－15，45，则第5项是（　　） A. 405 B. －405 C. 135 D. －135 解析： 　∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝ ＝－3，∴a5＝405. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 公比为q的等比数列{an}满足an＞0，a4＝2a3＋3a2，则q＝（　　） A. －1 B. 1 C. 3 D. －1或3 解析： 　由an＞0，知a1＞0，q＞0，又a4＝2a3＋3a2，则a1q3＝2a1q2＋ 3a1q，所以q2＝2q＋3，解得q＝－1（舍去）或q＝3.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 已知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则log3a2 026＝（　　） A. 2 022 B. 2 023 C. 2 024 D. 2 025 解析： 　由已知可得a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－ 1＝3n－1，则log3a2 026＝log332 025＝2 025. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则an＝（　　） A. 3n－1 B. 3n C. 3n＋1 D. 2·3n 解析： 　根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝ 3an＋1－3an，即an＋1＝3an.当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3.所以数 列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3·3n－1＝3n.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 〔多选〕已知数列{an}是等比数列，给出以下数列，其中一定是等比数 列的是（　　） A. {｜an｜} B. {an－an＋1} C. D. {kan} √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　设等比数列{an}的公比为q，∵ ＝｜q｜，∴{｜ an｜}是等比数列.当{an}为常数列时，an－an＋1＝0，∴{an－an＋1}不是 等比数列.∵ ＝ ＝ ，∴ 是等比数列.当k＝0时，kan＝0， ∴{kan}不是等比数列.故只有A、C一定是等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 6. 〔多选〕已知等比数列{an}的各项均为正数，且3a1， a3，2a2成等差 数列，则下列说法正确的是（　　） A. a1＞0 B. q＞0 C. ＝3或 ＝－1 D. ＝9 解析： 　设等比数列{an}的公比为q，因为数列{an}的各项均为正 数，所以a1＞0，且q＞0，故A、B正确；由题意得2× a3＝3a1＋2a2，即 a1q2＝3a1＋2a1q.两边除以a1得q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1（舍 去），所以 ＝q＝3， ＝q2＝9，故C错误，D正确.故选A、B、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 7. 在等比数列{an}中，若a5－a2＝14，a4－a1＝7，则q＝ ⁠. 解析：设等比数列{an}的公比为q，由a5－a2＝14，a4－a1＝7，得a1q （q3－1）＝14，a1（q3－1）＝7，所以q＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 8. 已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，则数列{an}中能构成等比数列 的三项可以为 .（只需写出一组） 解析：因为数列{an}的通项公式为an＝3n－1， 所以数列{an}中的项依次为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29， 32，35，…，显然 ＝ ，所以2，8，32能构成等比数列. 2，8，32（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 9. 已知{an}是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1 ＋a2＝1，则a1＝ ，d＝ ⁠. 解析：由题意可得 ＝ ， 即（a1＋2d）2＝（a1＋d）（a1＋6d）， 故有3a1＋2d＝0，　① 由2a1＋a2＝1，得3a1＋d＝1，　② 联立①②解得d＝－1，a1＝ . 　 －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 10. 已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1＝2，2a2＋a3＝30. （1）求an； 解： 设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30， 所以4q＋2q2＝30，所以q2＋2q－15＝0， 所以q＝3或－5.因为an＞0，所以q＝3. 所以an＝a1qn－1＝2×3n－1（n∈N＋）. （2）若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5. 解：因为b1＝a2，所以b1＝6.又bn＋1＝bn＋an，所以bn＋1＝bn＋2·3n－1. 所以b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8，b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14， b4＝b2＋2×32＝14＋18＝32，b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 11. 在正项数列{an}中，ln an＋1＝ln an＋1，且a1a2＝e3，则数列{an}的通 项公式为（　　） A. an＝en B. an＝en－1 C. an＝en＋1 D. an＝en－2 解析： 　因为ln an＋1＝ln an＋1，所以ln an＋1－ln an＝ln ＝1，即 ＝e，则数列{an}是等比数列，公比q＝e.又因为a1a2＝ q＝ e＝e3， 所以a1＝e或a1＝－e（舍去），则数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝en. 故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 12. 已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b， 公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3，对于任意 的n∈N＋，总存在m∈N＋，使得am＋3＝bn成立，则a＝ ，an ＝ ⁠. 2　 5n－3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析：∵a1＜b1，b2＜a3，∴ ∴b（a－2）＜a＜b，∴a ＜3，又∵a＞1，且a∈N＋，∴a＝2.∵对于任意的n∈N＋，总存在 m∈N＋，使得am＋3＝bn成立，∴令n＝1，得2＋（m－1）b＋3＝b， ∴b（2－m）＝5，又∵2－m＜2，且2－m∈N＋，∴ ∴an ＝a＋（n－1）b＝5n－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 13. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. （1）设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； 解： 证明：由已知，有a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝3a1＋2＝5，故b1 ＝a2－2a1＝3. 又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－（4an＋2）＝4an＋1－4an，于是an＋2－ 2an＋1＝2（an＋1－2an），即bn＋1＝2bn. 因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）求数列{an}的通项公式. 解： 由（1）知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2， 所以an＋1－2an＝3×2n－1.于是 － ＝ ， 因此数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， ＝ ＋（n－1）× ＝ n－ . 所以an＝（3n－1）·2n－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 14. 〔多选〕已知数列{an}，{bn}都是正项等比数列，则（　　） A. 数列{an＋bn}是等比数列 B. 数列{an·bn}是等比数列 C. 数列 是等比数列 D. 数列 是等比数列 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　因为数列{an}，{bn}都是正项等比数列，所以设数列{an}， {bn}的公比分别为q1，q2，且q1＞0，q2＞0，且对任意的正整数n有an＞ 0，bn＞0成立.对于A，不妨设an＝2n， bn＝3n，满足{an}，{bn}都是正 项等比数列，此时an＋bn＝2n＋3n，因为 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，所以 ≠ ，此时{an＋bn}不是等比数列，故A不正 确；对于B，因为 ＝ · ＝q1·q2，所以数列{an·bn}是等比数 列，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 对于C，因为 ÷ ＝ × ＝ × ＝ ，所以数列 是等 比数列，故C正确；对于D，设an＝2n，bn＝3n，满足{an}，{bn}都是正 项等比数列，此时 ＝23＝8， ＝49＝218， ＝827＝281，所以 ＝ ＝215， ＝ ＝263，所以 ≠ ，此时数列{ }不是等比数列， 故D不正确.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 15. 设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列. （1）证明： ， ， ， 依次构成等比数列； 解： 证明：因为 ＝ ＝2d（n＝1，2，3）是同一个常 数，所以 ， ， ， 依次构成等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）是否存在a1，d，使得a1， ， ， 依次构成等比数列？并说明 理由. 解： 令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a ＋2d（a＞d，a＞－2d，d≠0）. 假设存在a1，d，使得a1， ， ， 依次构成等比数列， 则 ＝ ，即a4＝（a－d）（a＋d）3， 同理得（a＋d）6＝a2（a＋2d）4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 令t＝ ，则1＝（1－t）（1＋t）3，且（1＋t）6＝（1＋2t）4 ，化简得t3＋2t2－2＝0 （*），且t2＝t＋1. 将t2＝t＋1代入（*）式，得t（t＋1）＋2（t＋1）－2＝t2＋3t＝t＋1＋ 3t＝4t＋1＝0，则t＝－ . 显然t＝－ 不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在a1，d，使得a1， ， ， 依次构成等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 $