5.2.1 第2课时 等差数列的性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦等差数列的性质，涵盖等差中项定义及应用、等差数列通项公式推广与项的性质等核心知识点。通过“球的层数”情境导入，以问题引导学生观察不同间隔层数球数规律，衔接等差数列定义，搭建从基础概念到性质应用的学习支架。 其亮点在于以数学抽象、数学运算、数学建模为核心素养导向，通过情境问题抽象数量关系，典型案例结合利润亏损、木梯横梁等实际问题培养建模能力，跟踪训练与分层作业（A级到C级）强化运算与推理。助力学生深化性质理解，教师可借案例与分层练习提升教学效率。

第二课时　等差数列的性质 1 1.掌握等差中项的定义，会利用等差中项解决相关的问题（数学抽象）. 2.理解并掌握等差数列的性质及数列在实际问题中的应用（数学运算、 数学建模）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　如图，第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球. 【问题】　（1）每隔一层的球数有什么规律？ （2）每隔二层呢？每隔三层呢？ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点一　等差中项 　如果x，A，y是等差数列，那么称 为x与y的等差中项，根据等 差中项与等差数列的定义可知，A＝ ⁠. A　 　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【想一想】 1. 任何两个实数都有等差中项吗？ 提示：任何两个实数都有等差中项. 2. 若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列吗？ 提示：若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差 数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 已知三个数19，5x，31是等差数列，则x＝ ⁠. 解析：因为三个数19，5x，31成等差数列，所以10x＝19＋31＝50⇒x ＝5. 2. 已知数列{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项 为2，则公差d＝ ⁠. 解析：∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝d，a3－a2＝d，两式相加得a3－a1 ＝2d，又a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，∴a1＋a2＝2， a2＋a3＝4，两式相减可得a3－a1＝4－2，则2d＝4－2，解得d＝1. 5　 1　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点二　等差数列的性质 1. 等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1＋（n－1）d （揭示首末两项的关系） an＝am＋（n－m）d （揭示任意两项之间的关系） 2. 等差数列的性质 （1）如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q， 则as＋at＝ ⁠. ①特别地，当p＋q＝2s时，ap＋aq＝ ⁠； ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的 和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. ap＋aq　 2as　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}（c为任一常数）是公差为 的等差数列； ②{can}（c为任一常数）是公差为 的等差数列； ③{an＋an＋k}（k为常数，k∈N＋）是公差为 的等差数列. d　 cd　 2d　 （3）若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn} （p，q为常数）是公差为 的等差数列. pd1＋qd2　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【想一想】 　下列说法是否正确？并说明理由. （1）若{an}是等差数列，则{｜an｜}也是等差数列； 提示： 错误.如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对值就不是 等差数列. （2）若{｜an｜}是等差数列，则{an}也是等差数列； 提示： 错误.如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差数列，但 其本身不是等差数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （3）若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2； 提示： 正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋，都有2an＋1 ＝an＋an＋2成立. （4）数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x ＋5的图象的斜率相等. 提示： 正确.因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率 也是3. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a4＋a9＝（　　） A. 32 B. 21 C. －33 D. 29 解析： 　由等差数列的性质知a4＋a9＝a5＋a8＝21. 2. 若数列{an}为等差数列，且a3＋a9＝4，则a2＋a4＋a6＋a8＋a10 ＝ ⁠. 解析：因为数列{an}为等差数列，由a3＋a9＝2a6＝4，解得a6＝2，则a2 ＋a4＋a6＋a8＋a10＝（a2＋a10）＋（a4＋a8）＋a6＝5a6＝10. 10　 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值 为 ⁠. 解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120， ∴a8＝30.∴2a9－a10＝（a8＋a10）－a10＝a8＝30. 30　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜等差中项的应用 【例1】　（1）在△ABC中，若角B是A与C的等差中项，则 cos B＝ （　A　） A. B. － C. D. － 解析：　∵角B是A与C的等差中项，∴2B＝A＋C，又∵A＋C＋B＝ π，∴3B＝π，即B＝ .∴ cos B＝ . A 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）若 是 与 的等差中项，求证： ， ， 成等差数列. 证明：∵ 是 与 的等差中项， ∴ ＝ ＋ ，即2ac＝b（a＋c）. ∵ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴ 是 与 的等差中项， ∴ ， ， 成等差数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 　　a，b，c成等差数列的充要条件是b＝ （或2b＝a＋c），可利 用此关系进行等差数列的判断或有关等差中项的计算.如若证{an}为等差 数列，可证2an＋1＝an＋an＋2（n∈N＋）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差 中项是（　　） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 解析： 　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中 项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.所以m 和n的等差中项为 ＝3. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 若 ， ， 是等差数列，求证：b2是a2与c2的等差中项. 证明：由已知得 ＋ ＝ ，通分有 ＝ . 进一步变形有2（b＋c）（a＋b）＝（2b＋a＋c）（a＋c），整理得 a2＋c2＝2b2，所以b2是a2与c2的等差中项. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型二｜等差数列性质的应用 【例2】　（1）已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5 ＝（　B　） A. 30 B. 15 C. 5 D. 10 解析： ∵数列{an}为等差数列，∴a2＋a4＝2a3＝6，∴a3＝3.∴a1 ＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝15. B 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是 等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴{cn}的公 差d＝c2－c1＝0，∴c37＝100，即a37＋b37＝100. （2）设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则 a37＋b37＝（　C　） A. 0 B. 37 C. 100 D. －37 C 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【母题探究】 1. （变条件）若本例（1）中的条件“a2＋a4＝6”变为“a1＋a5＝6”， 其他条件不变，结论又如何呢？ 解：由等差数列的性质知， a1＋a5＝2a3，∴a3＝ ＝ ＝3， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝（a1＋a5）＋（a2＋a4）＋a3＝2a3＋2a3＋a3＝ 5a3＝15. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. （变设问）若本例（2）条件不变，令cn＝an＋bn，求数列{cn}的通项 公式. 解：由等差数列的性质知{cn}也是等差数列， 且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100， ∴公差d＝c2－c1＝0，∴cn＝c1＋（n－1）d＝100. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 1. 本例（1）的求解主要用到了等差数列的性质：若s＋t＝p＋q，则as ＋at＝ap＋aq. 对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立. 例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11. 2. 本例（2）应用了等差数列的性质：若{an}，{bn}是等差数列，则{an ＋bn}也是等差数列.灵活运用等差数列的某些性质，可以提高我们分析、 解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的训练. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为（　　） A. 10 B. －10 C. 15 D. －15 解析： 　法一　设等差数列{an}的公差为d，则30＝（a1＋3d）＋（a1 ＋6d）＋（a1＋9d）＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10.a3－2a5＝（a1＋2d） －2（a1＋4d）＝－a1－6d＝－10. √ 法二　由等差数列的性质知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，则a7＝10.a3－2a5＝ a3－（a3＋a7）＝－a7＝－10. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8 ＝ ⁠. 解析：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴（a3＋a7）＋（a4＋a6）＋a5＝5a5＝ 450，解得a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180. 180　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型三｜等差数列的实际应用 【例3】　某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起 由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规 律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经 销这一产品将亏损？ 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1＝200，an＋1－an＝－20（n∈N＋）， ∴每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an＝a1＋（n－1）d＝200＋（n－1）×（－20）＝220－20n. 若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损. ∴由an＝220－20n＜0，得n＞11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点 （1）解决等差数列实际应用问题的基本步骤：①将已知条件翻译成数学 语言，将实际问题转化成数学问题；②构建等差数列模型，由条件确定 a1，d，n，an（或其中两个）；③利用通项公式或等差数列的性质求解等 差数列问题；④将所求结果还原到实际问题中. （2）在解决与等差数列有关的实际问题时，一定要弄清首项、项数等关 键点. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有 长为1.5 m的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为2 m的一根木 杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是 ⁠ ⁠. 解析：记7根横梁的长度从上到下构成等差数列{an}（1≤n≤7， n∈N）， 由题意得a1＋a2＋a3＝1.5，a5＋a6＋a7＝2，∴3a2＝1.5，3a6 ＝2，故a2＝ ，a6＝ .∵2a4＝a2＋a6，∴a4＝ ，即正中间的一根横梁 的长度是 m. m　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为（　　） A. 1 B. 6 C. －6 D. －3 解析： 设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所 以方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为 ＝－3.故选D. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 解析： 　因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为（　　） A. 26 B. 29 C. 39 D. 52 解析： 　因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项， 也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z ＝26，所以x＋y＋z＝39. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某 一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则4 km高度的气温是 ℃. 解析：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5 ＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15 －6.5n.∴a4＝－11. －11　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项 公式. 解：设公差为d，∵a1＋a7＝2a4， ∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15. ∴a4＝5. 又∵a2a4a6＝45， ∴a2a6＝9， 即（a4－2d）（a4＋2d）＝9，亦即（5－2d）（5＋2d）＝9， 解得d＝±2. 若d＝2，an＝a4＋（n－4）d＝2n－3； 若d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝13－2n. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 已知数列{an}为等差数列，a3，a11是方程x2－6x＋8＝0的两个实数 根，则a7＝（　　） A. 3 B. ±3 C. 4 D. ±4 解析： 　 由题意可得a3＋a11＝2a7＝6，解得a7＝3.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知等差数列{an}：1，0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0，20， 40，60，…，则数列{an＋bn}是（　　） A. 公差为－1的等差数列 B. 公差为20的等差数列 C. 公差为－20的等差数列 D. 公差为19的等差数列 解析： 　（a2＋b2）－（a1＋b1）＝（a2－a1）＋（b2－b1）＝－1＋20 ＝19. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的 容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节 的容积为（　　） A. 1升 B. 升 C. 升 D. 升 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有 即 化简得 解 得 则a5＝a1＋4d＝ ，故第5节的容积为 升. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 已知数列{an}为递增的等差数列，若a3＋a12＝13，a5a10＝36，则{an} 的公差为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 解析： 　 因为a5＋a10＝a3＋a12＝13，a5a10＝36，所以a5，a10为方程x2 －13x＋36＝0的两根.又因为{an}为递增的等差数列，所以a5＝4，a10＝ 9，故公差为 ＝1.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 〔多选〕设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b 的关系正确的是（　　） A. a＝－b B. a＝3b C. a＝－3b D. a＝b 解析： 　由等差中项的定义知：x＝ ，x2＝ ，∴ ＝ ，即a2－2ab－3b2＝0. 故a＝－b或a＝3b. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 6. 〔多选〕已知各项均为正数的等差数列{an}是递增数列，且a5＝2，则 （　　） A. 公差d的取值范围是（ －∞， ） B. 2a7＝a9＋2 C. a8＋a4＞a6＋a5 D. a1＋a9＝4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由题意得d＞0，a1＞0，a5＝2，所以a1＝2－4d＞0，解得d ＜ ，所以d∈（ 0， ），故A错误；由2a7－a9＝（a5＋a9）－a9＝a5＝ 2，故B正确；由a8＋a4－（a6＋a5）＝a8－a6－（a5－a4）＝2d－d＝d ＞0，故a8＋a4＞a6＋a5，故C正确；由等差数列性质得a1＋a9＝2a5＝4， 故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 7. 在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则 －a5＝ ⁠. 解析：∵在等差数列{an}中，a2＋a8＝8，∴a2＋a8＝2a5＝8，解得a5＝ 4， －a5＝ －a5＝64－4＝60. 60　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 8. 如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a4＝ ；a1＋a2＋… ＋a7＝ ⁠. 解析：由a3＋a4＋a5＝3a4＝12，所以a4＝4，a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28. 4　 28　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 9. 已知数列{an}满足①∀k∈N＋，ak＋1＞ak；②∀k∈N＋，｜ak＋1－ak｜ ≤2，请写出一个满足条件的数列的通项公式 （答 案不唯一）. 解析：∀k∈N＋，ak＋1＞ak，说明数列是递增数列，由∀k∈N＋，｜ak＋1 －ak｜＜2，不妨设该数列为等差数列，公差为1，首项为1，所以an＝n. an＝n（n∈N＋）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 10. 有一批豆浆机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销 售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760 元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价 不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位购买一批此类豆 浆机，问去哪家商场买花费较少. 解：设单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价 依台数n成等差数列.设该数列为{an}. an＝780＋（n－1）（－20）＝800－20n， 解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 当购买台数小于等于18台时，每台售价为（800－20n）元，当台数大于18 台时，每台售价为440元. 到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600（元）. 作差（800－20n）n－600n＝20n（10－n）， 当n＜10时，600n＜（800－20n）n， 当n＝10时，600n＝（800－20n）n， 当10＜n≤18时，（800－20n）n＜600n， 当n＞18时，440n＜600n. 即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费 相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 11. 〔多选〕已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相 邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数 列{bn}，以下说法正确的有（　　） A. an＝8n－6 B. 当k＝7时，数列{bn}的公差为2 C. 当k＝3时，b29是数列{an}中的项 D. 若b9是数列{an}的项，则正整数k的取值为1，3，7 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由题意得：插入k（k∈N＋）个数，则a1＝b1，a2＝bk＋2， a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4，…，所以等差数列{an}中的项在新的等差数列 {bn}中间隔排列，且下角标是以1为首项，k＋1为公差的等差数列，所以 an＝b1＋（n－1）（k＋1），因为b9是数列{an}的项，所以令1＋（n－1）（k ＋1）＝9，n∈N＋，k∈N＋，当n＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k ＝3，当n＝5时，解得k＝1，故k的值可能为1，3，7，故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 12. 已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12 ＋a13＋a14＝77，则a7＋a9＝ ，若ak＝13，则k＝ ⁠. 解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝ .∵a4＋a5＋…＋a14＝11a9＝ 77，∴a9＝7，∴a7＋a9＝ ，设公差为d，则d＝ .∴ak－a9＝（k－ 9）d，即13－7＝（k－9）× ，解得k＝18. 　 18　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 13. 已知等差数列{an}的公差大于零，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 因为数列{an}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22. 又a3·a4＝117，所以得 解得 或 又公差d＞0，所以a3＜a4， 所以 所以 解得 所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）若数列{bn}满足bn＝ ，是否存在非零实数c，使数列{bn}为等 差数列？若存在，求出实数c的值；若不存在，请说明理由. 解： 若bn＝ 为等差数列，则必有2b2＝b1＋b3， 又b1＝ ，b2＝ ，b3＝ ，其中c≠0， 所以 ×2＝ ＋ ，所以2c2＋c＝0，所以c＝－ 或c＝0（舍去）. 将c＝－ 代入bn＝ ，得bn＝2n，此时{bn}为等差数列，即存在非零 实数c＝－ ，使数列{bn}为等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 14. 已知{an}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a1·a2·a3＝80， 则a11＋a12＋a13的值为（　　） A. 105 B. 120 C. 90 D. 75 解析： 　由等差数列的性质得a1＋a2＋a3＝3a2＝15，所以a2＝5，又因 为a1·a2·a3＝80，所以a1·a3＝16，所以（a2－d）·（a2＋d）＝16，即（5 －d）（5＋d）＝16，所以d2＝9，又因为d＞0，所以d＝3.所以a11＋a12 ＋a13＝3a12＝3（a2＋10d）＝3×（5＋10×3）＝105. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 15. 已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号 能被4除余3的项组成数列{bn}. （1）求b1和b2； （1）因为a1＝3，d＝－5， 所以an＝3＋（n－1）×（－5）＝8－5n. 数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…， 所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27. 解：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差 的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）求{bn}的通项公式； 解： 设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am， 则m＝3＋4（n－1）＝4n－1， 所以bn＝am＝a4n－1＝8－5×（4n－1）＝13－20n， 即{bn}的通项公式为bn＝13－20n（n∈N＋）. （3）{bn}中的第503项是{an}中的第几项？ 解： b503＝13－20×503＝－10 047， 设它是{an}中的第m项，则－10 047＝8－5m， 解得m＝2 011， 即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 $