5.1.1 数列的概念-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

5.1.1　数列的概念 1 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图 象、通项公式），了解数列是一种特殊函数（数学运算、数学抽象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 拓视野　数列单调性的判断及应用 03 目录 课时作业 04 3 01 PART 基础落实 目 录 　　传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研 究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的 几何图形，于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现，当小石子的数目 是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如图①.他把这些数叫 作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正 方形，如图②.他把这些数叫作正方形数，等等.每一系列有形状的数按顺 序排列出来就称为数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【问题】　（1）数列的有关概念是什么？ （2）数列可分为哪几类？ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点一　数列的概念及分类 1. 数列的概念 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 数列的分类 类别 含义 有穷数列 ⁠的数列 无穷数列 ⁠的数列 项数有限　 项数无限　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【想一想】 1.2，3，4，5和5，4，3，2是相同的数列吗？ 提示：不是. 2. 一列由小到大排序的偶数是否可以构成一个数列，这个数列是有穷数 列，还是无穷数列？ 提示：可以构成数列，且是无穷数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 下列说法正确的是（　　） A. 数列4，7，3，4的首项是4 B. 数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C. 数列3，6，8可以表示为{3，6，8} D. a，－3，－1，1，b，5，7，9，11一定能构成数列 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　对于A，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；对 于B，同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；对于C，数列和数 的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误；对于D，当a，b都代表 数（数列的各项都是数）时，能构成数列，当a，b中至少有一个不代表 数时，不能构成数列，因为数列是按照一定次序排列的一列数，故D错误. 故选A. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 数列 ，2 ， ，3 ，…，则该数列的第6项是 　2 　. 解析：数列中每一项的被开方数均比前一项大5，故第6项为 ＝2 . 2 　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点二　数列的通项公式 1. 数列的通项及表示 因为数列从首项起，每一项都与 对应，所以数列的一般形式可 以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an表示数列的第 项（也称n 为an的序号，其中n为正整数，即n∈N＋），称为数列的通项，一般将整 个数列简记为{an}. 2. 数列的通项公式 如果数列的第n项an与 之间的关系可以用an＝f（n）来表示，其中 f（n）是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列 的一个通项公式. 正整数　 n　 n　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【想一想】 1. 是否所有的数列都有通项公式？ 提示：并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似 值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它 没有通项公式. 2. 如果数列的每一项均为常数k，则数列的通项公式该如何表示？ 提示：an＝k. 3. 若数列{an}有通项公式，那么它的通项公式唯一吗？ 提示：一般不唯一.如数列1，－1，1，－1，…，的通项公式为an＝ 或an＝ cos （n－1）π. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 数列{an}的通项公式为an＝ 则a2·a3＝ ⁠. 解析：由an＝ 得a2＝2，a3＝10， 所以a2·a3＝20. 2. 在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x，48，63，…中，x的值 是 ⁠. 解析：由题意可发现：0＝12－1，3＝22－1，8＝32－1，15＝42－1，…， 63＝82－1，总结规律，该数列第n项为n2－1，所以x＝62－1＝35. 20　 35　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点三　数列与函数 1. 数列与函数的关系 数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变 量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相 应函数的解析式. 2. 数列的分类 类别 定义 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【想一想】 1. 数列的表示方法有哪些？ 提示：数列的表示方法有解析法、列表法和图象法. 2. 作出一个数列的图象，其图象有什么特点？ 提示：其图象是一些离散的点. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（　　） A. 1， ， ， ，… B. sin ， sin ， sin ， sin ，… C. －1，－ ，－ ，－ ，… D. 1，2，3，4，…，30 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　数列1， ， ， ，…是无穷数列，但它不是递增数列， 而是递减数列；数列 sin ， sin ， sin ， sin ，…是无穷数 列，但它既不是递增数列，也不是递减数列；数列－1，－ ，－ ，－ ，…是无穷数列，也是递增数列；数列1，2，3，4，…，30是递增数 列，但不是无穷数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 给出以下数列： ①1，－1，1，－1，…； ②2，4，6，8，…，1 000； ③8，8，8，8，…； ④0.8，0.82，0.83，0.84，…，0.810. 其中，有穷数列为 ；无穷数列为 ；递增数列为 ⁠； 递减数列为 ；常数列为 .（填序号） ②④　 ①③　 ②　 ④　 ③　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜数列的概念及分类 【例1】　已知下列数列： ①2 021，2 022，2 023，2 024，2 025，2026； ②1， ， ，…， ，…； ③1，－ ， ，…， ，…； ④1，0，－1，…， sin ，…； ⑤2，4，8，16，32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列是 ⁠ ，递减数列是 ，常数列是 ，摆动数列是 .（填 序号） 解析：①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆 动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递 增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列. ①⑥　 ②③④⑤　 ① ⑤　 ②　 ⑥　 ③④　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 　　判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于递 增、递减、摆动和常数列要从项的变化趋势来分析，而有穷和无穷数列则 看项的个数是有限还是无限. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 〔多选〕下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（　　） A. 1， ， ， ，…， ，… B. －1，－ ，－ ，－ ，…，－ ，… C. sin ， sin ， sin ，…， sin ，… D. 1， ， ，…， ，… √ √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　对于A，1， ， ， ，…， ，…为递减数列，故A错误；对 于B，－1，－ ，－ ，－ ，…，－ ，…为递增数列，且是无穷数 列，故B正确；对于C， sin ， sin ， sin ，…， sin ，…中， sin ＞ sin ，故不是递增数列，故C错误；对于D，1， ， ，…， ，…既是无穷数列又是递增数列，故D正确.故选B、D. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型二｜数列的通项公式 角度1　由数列的前几项求通项公式 【例2】　（1）数列 ， ， ， ，…的一个通项公式是 　an＝ 　； 解析：数列可写为 ， ， ， ，…， 分子满足3＝1＋2，4＝2＋2，5＝3＋2，6＝4＋2，…， 分母满足5＝3×1＋2，8＝3×2＋2，11＝3×3＋2，14＝3×4＋2，…，因 此它的一个通项公式为an＝ . an＝ 　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ① ， ， ， ，…； ②－3，7，－15，31，…； ③2，6，2，6，…. （2）根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式： 解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数 加上1，第二个因数比第一个因数大2， 因此数列的一个通项公式为an＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ②正负相间，且负号在奇数项，故可用（－1）n来表示符号，各项的绝对 值恰是2的整数次幂减1， 因此数列的一个通项公式为an＝（－1）n（2n＋1－1）. ③为摆动数列，一般求两数的平均数 ＝4， 而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用（－1）n来表示. 因此它的一个通项公式为an＝4＋（－1）n·2或an＝ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 由数列的前几项求通项公式的解题策略 （1）分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分 子、分母的关系； （2）若n和n＋1项正负交错，那么符号用（－1）n或（－1）n＋1或（－ 1）n－1来调控； （3）熟悉一些常见数列的通项公式； （4）对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要 将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对 应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 数列1， ， ， ，…的一个通项公式是an＝（　　） A. 1－ B. C. D. 解析： 　依题意，1＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，…，所以an＝ . 故选C. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的通项公式为（　　） A. an＝ （10n－1） B. an＝ （10n－1） C. an＝ D. an＝ （10n－1） 解析： 　因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为1－ ，而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应 项的 .故通项公式为an＝ . √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 角度2　通项公式的应用 【例3】　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. （1）写出数列的第4项和第6项； 解： a4＝3×16－28×4＝－64， a6＝3×36－28×6＝－60. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的 一项呢？ 解： 令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝ （舍去）， 所以n＝7，即－49是该数列的第7项. 令3n2－28n＝68，解得n＝ 或n＝－2. 因为 ∉N＋，－2∉N＋， 所以68不是该数列的项. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【母题探究】 1. （变设问）若本例条件不变，试探究数列{an}中有多少个负数项？ 解：an＝n（3n－28），令an＜0，又n∈N＋，解得n＝1，2，3，4，5， 6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项. 2. （变条件，变设问）若本例中的条件“an＝3n2－28n”变为“an＝ ＋2n”，问253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解：假设253是这个数列中的项，则253＝ ＋2n，解得n＝121.所以253 是这个数列的第121项. 假设153是这个数列中的项，则153＝ ＋2n，解得n＝72 ，这与n是正 整数矛盾，所以153不是这个数列中的项. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 求数列的项或判断某数是否为数列的项的方法 （1）如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以 写出数列中的指定项； （2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中， 求出n的值.若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数 列的项. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　已知两个数列的前5项如下： {an}：25，37，49，61，73，…； {bn}：1，4，9，16，25，…. （1）根据两个数列前5项的特征，分别写出它们的一个通项公式； 解： an＝12n＋13，bn＝n2. （2）根据（1）的两个通项公式，判断这两个数列是否有序号与项都相同 的项.如果没有，请说明理由；如果有，指明它们是第几项. 解：令an＝bn，得12n＋13＝n2，可解得n1＝13，n2＝－1（舍去）， 所以这两个数列存在序号与项都相同的项，它是第13项. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型三｜数列单调性的判断及应用 【例4】　（1）已知函数f（x） ＝ 若数列 {an}满足an＝f（n），n∈N＋，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围 是（　C　） A. （1，3） B. （1，2] C. （2，3） D. C 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析：　由题意知an＝ 因为数列{an}是递增数列，所以 当n≤10时，3－a＞0，即a＜3； 当n＞10时，a＞1. 且a10＜a11，所以（3－a）×10－6＜a11－9， 即a2＋10a－24＞0， 即（a＋12）（a－2）＞0，所以a＜－12或a＞2. 综上可得a的取值范围为（2，3）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ①求证：0＜an＜1； ②判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由. 解：①证明：因为n∈N＋，所以an＝ ＜ ＜ ＝1，所以0＜an ＜1. ②因为an＋1－an＝ － （2）已知数列{an}的通项公式an＝ （n∈N＋）， 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ＝ ＝ . 又因为n∈N＋，且n≥1， 所以n＋ ≥ ， ≥ ，－ ≤－ . 故－ ＋ ≤－ ＋ ＝－1＜0， 所以an＋1－an＜0，即an＋1＜an，故该数列为递减数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 1. 判断数列{an}单调性的常用方法 （1）图象法：利用数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而 判断数列的单调性； （2）作差法：将an＋1－an与0进行比较； （3）作商法：将 与1进行比较（在作商时，要注意an＜0还是an＞ 0）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 利用数列的单调性确定变量的取值范围 数列{an}递增⇔an＋1＞an（n∈N＋）； 数列{an}递减⇔an＋1＜an（n∈N＋）. 进而转化为不等式成立（恒成立），通过分离变量转化为代数式的最值来 解决；或由数列的函数特征，通过构建变量的不等关系，解不等式（组） 来确定变量的取值范围. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知数列 是递减数列，则λ的取值范围为（　　） A. （0，＋∞） B. （1，＋∞） C. [1，＋∞） D. [0，＋∞） 解析： 　数列 是递减数列，故 ＞ ，即2n＋2λ＞n＋1 ＋λ，λ＞1－n，且n∈N＋，故λ＞0.故选A. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知数列{an}满足an＝n2＋λn（n∈N＋），且对任意n∈N＋，an＜an ＋1恒成立，则实数λ满足（　　） A. λ＞0 B. λ＜0 C. λ≥－2 D. λ＞－3 解析： 　因为对任意n∈N＋，an＜an＋1恒成立，所以数列{an}是递增数 列.由an＝n2＋λn知（n，an）（n∈N＋）是函数f（x）＝x2＋λx图象 上的点，而函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－ ，事实上，数列 {an}是递增数列，满足a1＜a2＜…＜an即可.欲满足上述不等关系，需－ ＜ ，解得λ＞－3. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 03 PART 拓视野　数列单调性的判断及应用 能力提升 目 录 　已知函数f（x）＝ ，设数列{an}的通项公式为an＝f（n），其中 n∈N＋. （1）求证：0≤an＜1； （2）判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【问题探究】 函数的单调性在研究函数性质时有着重要的作用，而数列作为一种特殊的 函数，也具有单调性，且单调性是数列的一个重要性质.数列的单调性在 研究数列的最值、数列不等式以及在判断某一项是否为已知数列中的项等 问题时，都有重要的作用. 如何利用数列单调性定义去判断数列的单调性？ 提示：①作差法：即作差an＋1－an后与0进行比较. 若an＋1－an＞0对于任意n（n∈N＋）恒成立，则数列{an}是递增数列； 若an＋1－an＜0对于任意n（n∈N＋）恒成立，则数列{an}是递减数列； 若an＋1－an＝0对于任意n（n∈N＋）恒成立，则数列{an}是常数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ②作商法：即作商 （务必要确定an的符号）后与1进行比较. 对于任意n（n∈N＋），若an＞0，则当 ＞1时，数列{an}是递增数 列；当 ＜1时，数列{an}是递减数列. 对于任意n（n∈N＋），若an＜0，则当 ＜1时，数列{an}是递增数 列；当 ＞1时，数列{an}是递减数列. 对于任意n（n∈N＋），若an≠0，则当 ＝1时，数列{an}是常数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【迁移应用】 　已知数列{an}，其通项公式为an＝3n2－n（n∈N＋），判断数列{an} 的单调性. 解：法一　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），则an＋1－an＝3 （n＋1）2－（n＋1）－（3n2－n）＝6n＋2＞0，即an＋1＞an（n∈N ＋），故数列{an}是递增数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 法二　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），则 ＝ ＝ · ＞1. 又因为an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列. （注：这里要确定an的符号，否则无法判断an＋1与an的大小） 法三　令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的拋物线，其对称轴为直 线x＝ ， ＜1，则函数y＝3x2－x在 上单调递增，故数列{an} 是递增数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 有下面四个结论： ①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数； ②数列的项数一定是无限的； ③数列的通项公式的形式是唯一的； ④数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式. 其中正确的是（　　） A. ① B. ①② C. ③④ D. ②④ √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数 就是有限的，②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列 1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…的一个通项公式为an＝ ④错误.故选A. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋1，则2 026是该数列的（　　） A. 第44项 B. 第45项 C. 第46项 D. 第47项 解析： 　令an＝n2＋1＝2 026，解得n＝45，则2 026是该数列的第45项， 故选B. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 〔多选〕下列有关数列的说法正确的是（　　） A. 数列－2 026，0，6与数列6，0，－2 026是同一个数列 B. 数列{an}的通项公式为an＝n（n－1），则110是该数列的第11项 C. 数列1， ， ，2， ，…的第8项是2 D. 数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n＋1 √ √ √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　对于A，数列中的项与顺序有关，故数列－2 026，0，6与数 列6，0，－2 026是两个不同的数列，故A错误；对于B，令an＝n（n－ 1）＝110，解得n＝11或n＝－10（舍去），故110是该数列的第11项，故 B正确；对于C，数列1， ， ，2， ，…的一个通项公式是 ，故 第8项是 ＝2 ，故C正确；对于D，3＝21＋1，5＝22＋1，9＝23＋ 1，…，总结规律，数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n＋ 1，故D正确. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 已知数列{an}满足 －an－3＝0，则数列{an}是（　　） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 不能确定 解析： 由条件得 －an＝3＞0，可知 ＞an，所以数列{an}是 递增数列. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 根据下面所给数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： （1）数列 ， ， ， ，…的一个通项公式为an ＝ ⁠； 解析： ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，…，总结规律可得an＝ . （2）数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的一个通项公式是an ＝ ⁠. 解析： 数列的奇数项都是0，偶数项都是1，所以an＝ 　 　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是（　　） A. an＝（－1）n2n B. an＝（－1）n2n C. an＝（－1）n－12n D. an＝（－1）n＋12n 解析： 　对于A，a1＝（－1）1×2×1＝－2，不符合题意，故A错误； 对于B，a1＝（－1）1×21＝－2，不符合题意，故B错误；对于C，a3＝ （－1）2×23＝8，不符合题意，故C错误；对于D，a1＝（－1）2×2＝ 2，a2＝（－1）3×4＝－4，a3＝（－1）4×6＝6，a4＝（－1）5×8＝－ 8，符合题意，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 数列{an}中，若an＝ ，则a4＝（　　） A. B. C. 2 D. 8 解析： 因为数列{an}中，an＝ ，所以a4＝ ＝ ，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 已知数列{an}的通项公式an＝log（n＋1）（n＋2），则它的前30项之积 是（　　） A. B. 5 C. 6 D. 解析： 　a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝ log225＝5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 在数列{an}中，若an＝ 则a4＋a5的值为（　　） A. 17 B. 23 C. 25 D. 41 解析： 　依题意，a4＋a5＝23＋（2×5－1）＝17.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 若一数列为1，37，314，321，…，则398（　　） A. 不在此数列中 B. 是这个数列的第13项 C. 是这个数列的第14项 D. 是这个数列的第15项 解析： 　因为1＝37×0，37＝37×1，314＝37×2，321＝37×3，所以符合题意 的一个通项公式为an＝37（n－1）.由37（n－1）＝398，解得n＝15，所以398是 这个数列的第15项.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 6. 〔多选〕满足下列条件的数列{an}（n∈N＋）是递增数列的为 （　　） A. an＝ B. an＝n2＋n C. an＝1－2n D. an＝2n＋1 解析： 　A项，因为an＋1－an＝ － ＝－ ＜0，所以是递减 数列；B项，因为an＋1－an＝ －（n2＋n）＝2n＋2＞ 0，所以是递增数列；C项，因为an＋1－an＝[1－2（n＋1）]－（1－2n） ＝－2＜0，所以是递减数列；D项，因为an＋1－an＝（2n＋1＋1）－（2n＋ 1）＝2n＞0，所以是递增数列.故选B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 7. 数列－1，1，－2，2，－3，3，…的一个通项公式为 ⁠ ⁠. 解析：注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得 an＝ an＝ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 8. 已知递增数列{an}的各项均是正整数，且满足 ＝3n，则a1 ＝ ，a4＋a5＝ ⁠. 解析：由已知 ＝3，若a1＝1，将有a1＝3，矛盾；若a1＝k≥3，则ak ＝ ＝3≤a1，与{an}单调性矛盾；故a1＝2.由a1＝2，有a2＝ ＝3， a3＝ ＝6，所以a6＝ ＝9.又a3＜a4＜a5＜a6，则6＜a4＜a5＜9，所 以a4＝7，a5＝8，故a4＋a5＝15. 2　 15　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 9. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图①②③④为最简单的四个图案， 这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多，刺绣越漂亮.现按同样的 规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正 方形，则f（n）＝ ⁠. 2n2－2n＋1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析：f（1）＝1＝2×1×0＋1， f（2）＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f（3）＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f（4）＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1， 故f（n）＝2n（n－1）＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 10. 根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来： （1）an＝（－1）n＋2； 解： a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图①. （2）an＝ . 解： a1＝2，a2＝ ，a3＝ ，a4＝ ，a5＝ .图象如图②. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 11. 设函数f（x）＝ an＝f（n）（n∈N＋），若数 列{an}是递减数列，则实数k的取值范围为（　　） A. （－∞，2） B. C. D. 解析： 　因为数列{an}是递减数列，所以只需k－2＜0且a1＞a2，即k＜ 2且k＜ ，故实数k的取值范围为 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 12. 数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn（n＝1，2，…）.若{an}为递增 数列，则λ的取值范围为 ⁠. 解析：∵数列{an}是递增数列，∴an＋1＞an，∴（n＋1）2－2λ（n＋1） ＞n2－2λn，即2λ＜2n＋1恒成立.∵n≥1且n∈Z，则2n＋1≥3， ∴2λ＜3，即λ＜ . （ －∞， ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 13. 已知在数列{an}中，an＝1＋ （n∈N＋，a∈R且a≠0）. （1）若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； 解： ∵an＝1＋ （n∈N＋，a∈R且a≠0），a＝－7， ∴an＝1＋ .结合函数f（x）＝1＋ 的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3 ＞a4；a5＞a6＞a7＞…＞an＞1（n∈N＋）. ∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）若对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，求实数a的取值范围. 解： an＝1＋ ＝1＋ . 由对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立及函数f（x）＝1＋ 的单调性可 得5＜ ＜6，∴－10＜a＜－8. 即实数a的取值范围为（－10，－8）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 14. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要 用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极 衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的 世界数学史上第一道数列题目.该数列从第一项起依次是0，2，4，8， 12，18，24，32，40，50，…，则（　　） A. 该数列的第16项为144 B. 该数列的第16项为128 C. 200是该数列的第18项 D. 200不是该数列中的项 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由此数项的前10项的规律可知，当n为偶数时，an＝ ，当n 为奇数时，an＝ .对于A、B，a16＝ ＝128，所以A错误，B正 确；对于C，a18＝ ＝162≠200，所以C错误；对于D，若200是此数 列的偶数项，则 ＝200，得n＝20，所以200是此数列的第20项，所 以D错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 15. 已知函数f（x）＝ （x≥1），构造数列an＝f（n）（n∈N＋）. （1）求证：an＞－2； 解： 证明：因为f（x）＝ ＝ ＝－2＋ ，所以an＝ －2＋ .因为n∈N＋，所以an＞－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ 解： 数列{an}为递减数列. 因为an＝－2＋ ，所以an＋1－an＝ － ＝ － ＝ ＜0， 即an＋1＜an，所以数列{an}为递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 $