11.4.2 平面与平面垂直(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

11.4.2　平面与平面垂直 1.在空间四边形ABCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，那么下列结论正确的是（　　） A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ABC⊥平面ADB C.平面ABC⊥平面DBC D.平面ADC⊥平面DBC 2.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足.若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是（　　） A.60° B.120° C.60°或120° D.不确定 3.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（　　） A.m⊥n，m∥α，n∥β B.m⊥n，α∩β＝m，n⊂α C.m∥n，n⊥β，m⊂α D.m∥n，m⊥α，n⊥β 4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一点M，作ME⊥AB于点E，则（　　） A.ME⊥平面ABCD B.ME⊂平面ABCD C.ME∥平面ABCD D.以上都有可能 5.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点（不同于A，B）且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为（　　） A.60° B.30° C.45° D.15° 6.〔多选〕如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B任一点，则下列结论中正确的是（　　） A.PB⊥AC B.PC⊥BC C.AC⊥平面PBC D.平面PAC⊥平面PBC 7.平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是　　　　. 8.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为　　　　. 9.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝　　　　. 10.如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5. 求证：（1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC. 11.〔多选〕如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面结论成立的是（　　） A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDE⊥平面ABC 12.在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB＝AD＝BC＝CD＝1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB的中点，则线段CM的长为　　　　. 13.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M为BC的中点. （1）取PB的中点H，连接AH，若平面AHC⊥平面PAB，求证：PB⊥AC； （2）已知AB＝AC＝PA＝1，AD＝，求平面PBC与平面ABCD的夹角的余弦值. 14.《九章算术》中记载了一种名为“刍甍”的空间几何体.如图，几何体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，△ADE和△BCF都是正三角形，则平面BCF与平面ABCD夹角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 15.如图①，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图②，点E是线段AM的中点. （1）求四棱锥D-ABCM的体积； （2）求证：平面BDE⊥平面ABCM； （3）过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.请说明理由. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.4.2　平面与平面垂直 1.D　∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC. 2.C　若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°. 3.C　因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，所以α⊥β. 4.A　∵ME⊂平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD. 5.C　由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC.又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中，由PA＝AC，得∠PCA＝45°. 6.BD　因为PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，所以PA⊥BC，PA⊥AC，又点C是圆周上异于A，B任一点，所以AC⊥BC，对于A，若PB⊥AC，则可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与PA⊥AC矛盾，故A错误；对于B、D，可知BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC，由BC⊂平面PBC可得平面PAC⊥平面PBC，故B、D正确；对于C，由AC与PC不垂直可得AC⊥平面PBC不成立，故C错误.故选B、D. 7.平行　 解析：由题意知n⊥α，而m⊥α，所以m∥n. 8.3　 解析：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.所以平面ABC⊥平面BCD.在平行四边形ABCD中，因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对. 9.1　 解析：因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中，∠BDC＝90°，BD＝CD＝，所以BC＝ ＝1. 10.证明：（1）因为D，E分别为棱PC，AC的中点， 所以DE∥PA. 又PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF， 所以直线PA∥平面DEF. （2）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4. 因为DF＝5， 所以DF2＝DE2＋EF2， 所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF. 又PA⊥AC，DE∥PA， 所以DE⊥AC. 因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC， 所以DE⊥平面ABC. 又DE⊂平面BDE， 所以平面BDE⊥平面ABC. 11.ABC　由题意，知BC∥DF，所以BC∥平面PDF，故结论A成立；易证BC⊥平面PAE，又BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，所以平面PDF⊥平面PAE，故结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立. 12.　 解析：如图所示，取BD的中点O， 连接OA，OC，因为AB＝AD＝BC＝CD＝1，所以OA⊥BD，OC⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以OA⊥平面BCD，所以OA⊥OC.又AB⊥AD，所以DB＝.取OB中点N，连接MN，CN，所以MN∥OA，所以MN⊥平面BCD.因为CN⊂平面BCD，所以MN⊥CN.因为CN2＝ON2＋OC2＝，MN2＝（ AO）2＝，所以CM＝＝. 13.解：（1）证明：平面AHC⊥平面PAB，且交线为AH， 过B点作AH的垂线，垂足记为K，BK⊂平面PAB，则BK⊥平面AHC， 而AC⊂平面AHC，则BK⊥AC. 由PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，得PA⊥AC， 又BK，PA是平面PAB内的相交直线，则AC⊥平面PAB， 而PB⊂平面PAB，所以AC⊥PB. （2）连接AM，PM，在▱ABCD中，BC＝AD＝，又AB＝AC＝1， 则AB2＋AC2＝2＝BC2，即AB⊥AC，由M为BC的中点，得AM⊥BC，AM＝BC＝. 由PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，得PA⊥BC， 又PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，则BC⊥平面PAM， 而PM⊂平面PAM，则PM⊥BC， 故∠PMA是二面角P-BC-A的平面角， 又AM⊂平面ABCD，则PA⊥AM， 在Rt△PAM中，PM＝＝，cos∠PMA＝＝， 所以平面PBC与平面ABCD的夹角的余弦值为. 14.A　分别取AD，BC的中点为M，N，在平面EFNM内分别过E，F作MN的垂线，垂足分别为P，Q，如图. 因为四边形ABCD为矩形，则AD∥BC且AD＝BC.又因为M，N分别为AD，BC的中点，则AM∥BN且AM＝BN，所以四边形ABNM为平行四边形，则MN∥AB且MN＝AB＝2.因为AB⊥BC，则MN⊥BC.因为EF∥AB，则EF∥MN，故E，F，N，M四点共面，在等边三角形BCF中，N为BC的中点，则FN⊥BC，同理可得ME⊥AD，所以∠FNQ为二面角F-BC-M的平面角.由等边三角形ADE与等边三角形BCF的边长都为1，且M，N分别为AD，BC的中点，则EM＝FN＝＝＝.在等腰梯形EFNM中，因为EP⊥MN，FQ⊥MN，EF∥MN，则四边形EFQP为矩形，则PQ＝EF＝1，EP＝FQ，在Rt△FNQ和Rt△EMP中，EP＝FQ，EM＝FN，所以Rt△FNQ≌Rt△EMP，则NQ＝MP＝＝＝.在Rt△FNQ中，cos∠FNQ＝＝，所以平面BCF与平面ABCD的夹角的余弦值为. 15.解：（1）由已知DA＝DM，E是AM的中点， ∴DE⊥AM. ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，∴DE⊥平面ABCM. 四棱锥D-ABCM的体积V＝S四边形ABCM·DE＝×（1×3－×1×1）××＝. （2）证明：由（1）可得，DE⊥平面ABCM，DE⊂平面DEB， ∴平面BDE⊥平面ABCM. （3）过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件： ①l⊂平面ABCM；②l⊥AD. 理由如下： 在平面ABCM中，过点B作直线l（图略），使l⊥AM， ∵平面ADM⊥平面ABCM， 平面ABCM∩平面ADM＝AM， ∴l⊥平面ADM， ∴l⊥AD. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $