11.4.1 第2课时 直线与平面垂直的性质(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

第二课时　直线与平面垂直的性质 1.C　由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.故选C. 2.B　∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°.故选B. 3.B　若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A错误；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，n∥α，则m⊥n，故C错误；若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n与α相交或n⊂α，故D错误. 4.B　由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC.所以△ABC是直角三角形，故选B. 5.D　正六棱锥的底面为正六边形ABCDEF，每个内角为120°，AD是∠FAB的角平分线，AD与AB不垂直，而AB是PB在底面上的射影，所以PB与AD不垂直，故A不正确；因为∠ABC＝120°，所以AB与BC不垂直，所以AB与平面PBC不垂直，B不正确；BC与AE在平面ABCDEF内相交，故C不正确；PD在底面ABC内的射影是AD，且AD＝2AB，又PA＝2AB，所以AD＝PA，又PA⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，所以PA⊥AD，所以△PAD为等腰直角三角形，所以直线PD与平面ABC所成的角为∠PDA＝45°，故D正确. 6.D　连接EB（图略），由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成的角.在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝，则tan ∠FEB＝＝. 7.60°　解析：由已知，易得点P在底面ABC上的射影为Rt△ABC斜边BC的中点，易得直线PA与底面ABC所成的角为60°. 8.2　解析：如图，因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD.连接OD，所以＝.因为OA＝AB，所以＝.因为AC＝1，所以BD＝2. 9.A1C1⊥B1C1　 解析：当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1.理由如下：∵AA1⊥平面ABC，CC1∥AA1，∴CC1⊥平面ABC.∵BC，AC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，CC1⊥AC.∵BC＝CC1，∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C.∵A1C1⊥C1C，A1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，∴A1C1⊥平面BCC1B1.∵AC∥A1C1，∴AC⊥平面BCC1B1.∵BC1⊂平面BCC1B1，∴BC1⊥AC.∵AC，B1C⊂平面ACB1，AC∩B1C＝C，∴BC1⊥平面ACB1.∵AB1⊂平面ACB1，∴BC1⊥AB1.∴当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1. 10.解：（1）证明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝a， ∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC. 同理可证PD⊥AD. ∵AD，DC⊂平面ABCD，且AD∩DC＝D， ∴PD⊥平面ABCD. （2）由（1）知PD⊥平面ABCD，∴BD是PB在平面ABCD上的射影， ∴∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角. ∵BD＝a，∴tan ∠PBD＝＝＝. 11.ABC　对于A、C，因为PA⊥平面ABC，故PA⊥BC，又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，从而BC⊥AF，又AF⊥PC，故AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，AF⊥BC，故A、C正确；对于B，由选项A知AF⊥PB，而AE⊥PB，从而PB⊥平面AEF，故EF⊥PB，故B正确；对于D，由上面过程可知，AE与平面PBC不垂直，故D不正确. 12.60°　 解析：在正四棱锥P-ABCD中，根据底面积为6，可得BC＝.如图，连接BD，AC交于点O，连接PO，则PO为正四棱锥P-ABCD的高.根据棱锥的体积公式，可得PO＝1.因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD.又BD⊥AC，PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC.连接EO，则∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角.在Rt△POC中，因为PO＝1，OC＝，所以PC＝2，OE＝PC＝1.在Rt△BOE中，因为BO＝，所以tan∠BEO＝＝，所以∠BEO＝60°，即直线BE与平面PAC所成角为60°. 13.解：（1）证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，所以AB1⊥BA1. 由AA1⊥平面A1B1C1，得AA1⊥A1C1. 又因为A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1， 所以A1C1⊥平面AA1B1B， 又因为AB1⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥AB1. 又因为BA1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1BC1. （2）如图，连接A1D. 设AB＝AC＝AA1＝1， 因为AA1⊥平面A1B1C1， 所以∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角. 在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的中点. 所以A1D＝×B1C1＝. 在Rt△A1DA中，AD＝＝. 所以sin∠A1DA＝＝， 即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为. 14.A1C1⊥B1C1（答案不唯一）　 解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可（或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等）. 15.解：（1）证明：如图，设AB的中点为D，连接DV，DC. 因为△VAB和△ABC均为等边三角形，所以VD⊥AB，CD⊥AB. 又因为VD∩CD＝D，VD⊂平面VCD，CD⊂平面VCD， 所以AB⊥平面VCD. 又因为VC⊂平面VCD，所以AB⊥VC. （2）因为VA∥α，AC∥α，VA∩AC＝A，且VA，AC⊂平面VAC， 所以平面α∥平面VAC. 又平面α∩平面VBC＝l，平面VAC∩平面VBC＝VC，所以VC∥l， 所以直线l与平面ABC所成角等于直线VC与平面ABC所成的角. 在平面VCD内作VO⊥CD于点O，则由（1）知，AB⊥平面VCD， 又VO⊂平面VCD，所以VO⊥AB. 又因为AB∩CD＝D，AB⊂平面ABC，CD⊂平面ABC， 所以VO⊥平面ABC，所以∠VCD是直线VC与平面ABC所成的角. 因为△VAB和△ABC均是边长为4的等边三角形，所以VD＝CD＝2. 又因为VC＝2，在等腰三角形VCD中，cos∠VCD＝＝， 所以sin∠VCD＝＝，所以直线l与平面ABC所成角的正弦值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　直线与平面垂直的性质 1.已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是（　　） A.b∥α B.b⊂α C.b⊥α D.b与α相交 2.直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（　　） A.20° B.70° C.90° D.110° 3.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是（　　） A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C.若m⊥α，n∥α，则m∥n D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α 4.如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 5.如图所示，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是（　　） A.PB⊥AD B.AB⊥平面PBC C.直线BC∥平面PAE D.直线PD与平面ABC所成的角为45° 6.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成的角的正切值为（　　） A.2　　　B.1 C.　　　D. 7.在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，AB＝AC且∠BAC＝90°，则直线PA与底面ABC所成的角为　　　　. 8.已知直线l∩平面α＝点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝　　　　. 9.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件　　　　时，有AB1⊥BC1. 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a. （1）求证：PD⊥平面ABCD； （2）求出直线PB与平面ABCD所成的角的正切值. 11.〔多选〕如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上异于AB的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的投影，则（　　） A.AF⊥PB B.EF⊥PB C.AF⊥BC D.AE⊥平面PBC 12.已知正四棱锥P-ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为　　　　. 13.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1. （1）求证：AB1⊥平面A1BC1； （2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值. 14.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件　　　　时，有AB1⊥BC1（答案不唯一，填上你认为正确的一种条件即可）. 15.如图，在三棱锥V-ABC中，△VAB和△ABC均是边长为4的等边三角形，VC＝2. （1）证明：AB⊥VC； （2）已知平面α满足VA∥α，AC∥α，且平面α∩平面VBC＝l，求直线l与平面ABC所成角的正弦值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $