11.4.1 第1课时 直线与平面垂直及其判定定理(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

第一课时　直线与平面垂直及其判定定理 1.已知直线m⊥平面α，则“直线n⊥m”是“n∥α”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.如果一条直线垂直于一个平面内的下列情况： ①一个锐角的两条边；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边. 不能保证该直线与平面垂直的是（　　） A.①③　 　B.②③　 　C.②④　 　D.①④ 3.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是（　　） A.α∥β，且m⊂α B.m∥n，且n⊥β C.m⊥n，且n⊂β D.m⊥n，且n∥β 4.如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝（　　） A.2 B.3 C. D. 5.正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的正切值为（　　） A. B. C. D.2 6.〔多选〕如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（　　） A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFH C.HF⊥平面AEH D.HG⊥平面AEF 7.如图，若测得旗杆PO＝4，PA＝PB＝5，OA＝OB＝3，则旗杆PO和地面α所成的角是　　　　. 8.设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA，PB，PC的关系是　　　　. 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为　　　　. 10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长都相等，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，求异面直线DF与C1E所成角的余弦值. 11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线AD1垂直的平面是（　　） A.平面DD1C1C B.平面A1DCB1 C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB 12.如图，若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为　　　，异面直线BD1与AD所成角的正弦值是　　　　. 13.如图，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. （1）求证：AN⊥平面PBM； （2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：PB⊥平面ANQ. 14.〔多选〕如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（　　） A.直线CC1与直线B1E相交 B.CC1与AE共面 C.AE与B1C1是异面直线 D.AE与B1C1垂直 15.如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点. （1）求证：C1D⊥平面AA1B1B； （2）若点F为BB1上的动点，则当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.4　空间中的垂直关系 11.4.1　直线与平面垂直 第一课时　直线与平面垂直及其判定定理 1.B　若直线m⊥平面α，n⊥m，则直线n⊂平面α或n∥α；若直线m⊥平面α，直线n∥α，则n⊥m，所以“n⊥m”是“n∥α”的必要不充分条件. 2.C　梯形和正六边形中均有相互平行的两条边，故不能保证直线与平面垂直. 3.B　A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β，不符合题意；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C、D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意.故选B. 4.D　因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE.因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD，所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝＝＝.故选D. 5.C　设正四棱锥棱长为2.连接AC，取AC中点为O，连接OE.因为E，O分别为PC，AC的中点，则EO∥PA，则异面直线BE与PA所成角为∠OEB（或其补角）.又由题可得，OE＝1，EB＝，OB＝，EB2＝OE2＋OB2，则tan∠OEB＝＝. 6.BC　由题意可得AH⊥HE，AH⊥HF.∴AH⊥平面EFH，而AG与平面EFH不垂直，∴B正确，A不正确.又HF⊥HE，∴HF⊥平面AHE，C正确.HG与AG不垂直，因此HG与平面AEF不垂直，D不正确.故选B、C. 7.90°　 解析：∵PO＝4，OA＝OB＝3，PA＝PB＝5，∴PO2＋OA2＝PA2，PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OA，PO⊥OB，又OA∩OB＝O，∴PO⊥平面AOB，即PO与地面α所成的角是90°. 8.PA＝PB＝PC　 解析：因为H为AC的中点，∠ABC＝90°，所以AH＝BH＝CH，又PH⊥平面ABC，由勾股定理知PA＝PB＝PC. 9.4　 解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，∴△PAB，△PAD，△PBC，△PCD为直角三角形，故共有4个直角三角形. 10.解：连接BF，因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是棱BC，B1C1的中点， 故C1F∥BE，C1F＝BE，即四边形C1FBE为平行四边形，所以BF∥C1E， 则∠DFB即为异面直线DF与C1E所成角或其补角. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长都相等，设其棱长为2，连接EF，DE， 则EF＝2，EF∥BB1，BB1⊥平面ABC，故EF⊥平面ABC，DE⊂平面ABC， 故EF⊥DE，D是棱AB的中点，故DE＝AC＝1， 则DF＝＝，而BF＝＝， 又DB＝1，故在△DBF中，cos∠DFB＝＝＝， 由于异面直线所成角的范围为（ 0，），故异面直线DF与C1E所成角的余弦值是. 11.B　由ABCD-A1B1C1D1为正方体，可知AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D，故AD1⊥平面A1DCB1. 12.　　 解析：如图所示，∵AA1∥DD1，∴∠DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角，连接BD，在Rt△D1DB中， sin∠DD1B＝＝＝.∵AD∥BC，∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角（或其补角），连接D1C，在△D1BC中，D1B＝2，BC＝2，D1C＝2，∴D1B2＝BC2＋D1C2，∴∠D1CB＝90°，∴sin∠D1BC＝＝＝，故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是. 13.证明：（1）∵AB为☉O的直径，M为圆周上任意一点，∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM， ∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM， ∴BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN. ∵AN⊥PM，PM∩BM＝M，BM，PM⊂平面PBM， ∴AN⊥平面PBM. （2）由（1）知AN⊥平面PBM， ∵PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ. 14.ACD　因为CE∥B1C1且CE＝B1C1，所以四边形CEB1C1为梯形，所以CC1与B1E必相交，A正确；由几何图形可知B错误，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，选项D正确.故选A、C、D. 15.解：（1）证明：由题意知，A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°. ∵D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1， ∴AA1⊥C1D. ∵AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1⊂平面AA1B1B， ∴C1D⊥平面AA1B1B. （2）点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF. 证明如下： ∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B， ∴C1D⊥AB1. 易知A1B1＝，∵AA1＝， ∴四边形AA1B1B为正方形. 又D为A1B1的中点，F为BB1的中点， ∴AB1⊥DF， 又DF∩C1D＝D，DF，C1D⊂平面C1DF， ∴AB1⊥平面C1DF. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $