11.3.1 平行直线与异面直线(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

11.3.1　平行直线与异面直线 1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（　　） A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面 2.若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是（　　） A.OB∥O1B1，且方向相同 B.OB∥O1B1 C.OB与O1B1不平行 D.OB与O1B1不一定平行 3.下列说法中正确的是（　　） A.若两直线无公共点，则两直线平行 B.若两直线不是平行直线，则必相交或异面 C.过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线 D.和两条异面直线都相交的两条直线必是异面直线 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与直线BD（　　） A.异面 B.平行 C.相交且垂直 D.相交但不垂直 5.已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β＝l，则l（　　） A.与m，n都相交 B.与m，n中至少一条相交 C.与m，n都不相交 D.至多与m，n中的一条相交 6.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有（　　） A.直线AM与CC1相交 B.直线BN与MB1是异面直线 C.AM与BN平行 D.直线A1M与BN共面 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱所在直线中，与直线A1B异面的共有　　　 　条. 8.空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝　　　　. 9.如图所示，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件　　　　时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件　　　　时，四边形EFGH是正方形. 10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证： （1）四边形BB1M1M为平行四边形； （2）∠BMC＝∠B1M1C1. 11.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1与B1D1相交于点O，E，F分别是B1O，C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（　　） A.3条　　　　　　　 B.4条 C.5条　　　　　　　 D.6条 12.如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论错误的有　　　　. ①GH和MN是平行直线；GH和EF是相交直线； ②GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线； ③GH和MN是相交直线；GH和EF是异面直线； ④GH和EF是异面直线；MN和EF也是异面直线. 13.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点，问： （1）AM和CN是不是异面直线？并说明理由； （2）D1B和CC1是不是异面直线？并说明理由. 14.〔多选〕如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是（　　） A.M，N，P，Q四点共面 B.∠QME＝∠CBD C.△BCD∽△MEQ D.四边形MNPQ为梯形 15.如图所示，设E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，且＝＝λ，＝＝μ. 求证：（1）当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形； （2）当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3　空间中的平行关系 11.3.1　平行直线与异面直线 1.D　可能相交也可能异面，但一定不平行（否则与条件矛盾）. 2.D　等角定理的实质是角的平移，其逆命题不成立，OB与O1B1有可能平行，也可能相交，还可能异面，位置关系不确定. 3.B　对于A，空间两直线无公共点，则两直线可能平行，可能异面，故A不正确；对于C，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线，故C不正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线，如图三棱锥A-BCD中，l1与l2为异面直线，BC与AC均与l1，l2相交，但BC与AC也相交，故D不正确. 4.A　法一　由图形可知，直线AB1与直线BD不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线. 法二　（反证法）假设直线AB1与直线BD共面，设直线AB1与直线BD确定平面α，又A，B1，B不共线，所以确定平面AB1B，所以平面α与平面AB1B重合，从而可得D∈平面AB1B，与D∉平面AB1B矛盾，所以直线AB1与直线BD异面. 5.B　对于A，因为已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β＝l，所以直线l与m共面于平面α，与n共面于平面β，如果l与m平行，则l与n必相交；如果与n平行与m必相交，故排除A；对于B，直线l不能与m，n都不相交，否则l与m，n分别平行，进而n∥m，与m，n为异面直线相矛盾，再结合A得到B正确，对于C，直线l不能与m，n都不相交，否则l与m，n分别平行，进而n∥m，与m，n为异面直线相矛盾，由此能排除选项C；对于D，如果l与m不平行只有相交，同理，与n不平行必相交，所以直线l可以同时与n，m都相交，但是交点不重合，由此能排除选项D. 6.BD　对于A，M，C，C1三点在平面CDD1C1内，M点不在直线CC1上，A点不在平面CDD1C1内，可得直线AM与CC1是异面直线，故A错误；对于B，B，N，B1三点在平面BCC1B1内，B1不在直线BN上，M点不在平面BCC1B1内，可得直线BN与MB1是异面直线，故B正确；对于C，取DD1的中点E，连接AE，EN，又N为C1C的中点，则有EN∥CD∥AB，AB＝CD＝EN，所以四边形ABNE是平行四边形，所以AE∥BN，AM∩AE＝A，则AM与BN不平行，故C错误；对于D，连接MN，BA1，CD1，因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN∥D1C，由正方体的性质可知BA1∥D1C，所以MN∥A1B，则有A1，B，M，N四点共面，所以直线A1M与BN共面，故D正确. 7.6　 解析：与直线A1B有公共点的棱均与直线A1B不异面，有BC，BB1，AB，A1D1，AA1，A1B1共6条，与直线A1B异面的棱有DC，AD，DD1，CC1，C1B1，C1D1，共6条. 8.70°或110°　 解析：∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°. 9.AC＝BD　AC⊥BD且AC＝BD 10.证明：（1）在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点， 所以A1M1∥AM，且A1M1＝AM， 所以四边形AMM1A1是平行四边形， 所以A1A∥M1M，且A1A＝M1M. 又因为A1A∥B1B，且A1A＝B1B， 所以M1M∥B1B，且M1M＝B1B， 所以四边形BB1M1M为平行四边形. （2）由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，所以B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，所以C1M1∥CM. 由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角. 所以∠BMC＝∠B1M1C1. 11.B　由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱有AD，BC，A1D1，所以符合题意的棱共有4条. 12.①③④　 解析：对于①，GH和MN是平行直线；但GH和EF是异面直线，不是相交直线，∴①错误；对于②，GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线，并且它们的交点在直线DC上，∴②正确；对于③，GH和MN是平行直线，不是相交直线；GH和EF是异面直线，∴③错误；对于④，GH和EF是异面直线；但MN和EF是相交直线，不是异面直线，∴④错误.综上，错误的命题序号是①③④. 13.解：（1）AM和CN不是异面直线.理由如下： 如图，连接A1C1，AC，MN， ∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点， ∴MN∥A1C1.又A1A􀰿C1C， ∴四边形A1ACC1为平行四边形， ∴A1C1∥AC，∴MN∥AC， ∴A，M，N，C在同一个平面内. 故AM和CN不是异面直线. （2）D1B和CC1是异面直线，理由如下： 假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1， ∴BC⊂平面CC1D1， 这与几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体相矛盾， ∴假设不成立. 故D1B和CC1是异面直线. 14.ABC　由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD，对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；对于B，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确；对于D，由三角形的中位线定理，知MQ􀰿BD，NP􀰿BD，所以MQ􀰿NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确. 15.证明：（1）在△ABD中，因为＝＝λ， 所以EH∥BD，且EH＝λBD. 在△CBD中，因为＝＝μ， 所以FG∥BD，且FG＝μBD， 所以EH∥FG， 所以点E，F，G，H在由EH和FG确定的平面内. 当λ＝μ时，EH＝FG，故四边形EFGH为平行四边形. （2）由（1）知当λ≠μ时，EH≠FG，故四边形EFGH是梯形. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $