11.3.1 平行直线与异面直线 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

11.3.1　平行直线与异面直线 [课时跟踪检测] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.在三棱锥P-ABC中,PB⊥BC,E,D,F分别是AB,PA,AC的中点,则∠DEF等于 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:选D　由题意可知DE∥PB,EF∥BC,所以∠DEF=∠PBC=90°. 2.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.存在与两条异面直线都平行的平面 B.过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行 C.过平面外一点可作无数条直线与该平面平行 D.过直线外一点可作无数个平面与该直线平行 解析:选ACD　将一个平面内的两条相交直线分别平移到平面外,且平移后不相交,则这两条直线异面且与该平面平行,故A正确;当该点在其中一条直线上时,B不正确;C正确;D正确.故选A、C、D. 3.在三棱台A1B1C1-ABC中,G,H分别是AB,AC的中点,则GH与B1C1的位置关系是 (　　) A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 解析:选C　如图所示,因为G,H分别是AB,AC的中点,所以GH∥BC,又由三棱台的性质得BC∥B1C1,所以GH∥B1C1. 4.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,射线OA与O1A1方向相同,则下列结论正确的是 (　　) A.OB∥O1B1且方向相同 B.OB∥O1B1,方向可能不同 C.OB与O1B1不平行 D.OB与O1B1不一定平行 解析:选D　当∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同时,OB与O1B1不一定平行,如图所示,故选D. 5.在学校手工课上,同学们分组研究正方体的表面展开图.某小组得到了如图所示表面展开图,则在正方体中,AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线中,异面直线有 (　　) A.1对 B.3对 C.5对 D.2对 解析:选B　作出正方体的图形如图所示, 则AB与CD,AB与GH,EF与GH是异面直线,共3对. 6.如图,设E,F,G,H依次是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上除端点外的点,==λ,==μ,则下列结论不正确的是 (　　) A.当λ=μ时,四边形EFGH是平行四边形 B.当λ≠μ时,四边形EFGH是梯形 C.当λ≠μ时,四边形EFGH一定不是平行四边形 D.当λ=μ时,四边形EFGH是梯形 解析:选D　连接BD(图略).因为==λ,==μ,所以EH∥BD,且EH=λBD,FG∥BD,且FG=μBD,所以若λ=μ,则EH􀰿FG,四边形EFGH是平行四边形;若λ≠μ,则EH∥FG,但EH≠FG,四边形EFGH是梯形.故选D. 7.(多选)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则下列结论正确的是 (　　) A.直线BN与MB1是异面直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线MN与AC是相交直线 D.平面BMN截正方体所得的截面面积为 解析:选AD　因为BN⊂平面BCC1B1,MB1∩平面BCC1B1=B1,B1∉BN,所以直线BN与MB1是异面直线,故A正确;因为AB⊂平面ABCD,MN∩平面ABCD=P,P∉AB,所以直线AB与MN是异面直线,即直线AM与BN是异面直线,故B错误;因为AC⊂平面ABCD,MN∩平面ABCD=P,P∉AC,所以直线MN与AC是异面直线,故C错误;明显MN∥A1B,故四边形A1BNM为平面BMN截正方体所得的截面,MN=,A1B=2,A1M==,BN==,四边形A1BNM是等腰梯形,则梯形的高是h==,所以梯形的面积S=×(+2)×=,故D正确. 8.(多选)如图,棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1上的一点且A1E=2EA,设过点D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线为EF,则下列结论正确的为 (　　) A.EF∥D1C 　　B.EF=a C.CF=a 　　D.三棱锥A-EFC的体积为a3 解析:选AD　如图,设BF=2FA,连接EF,A1B,CF,AC.因为A1E=2EA,所以EF∥A1B.又易知A1B∥D1C,所以EF∥D1C.故EF=A1B=a,CF==a,VA-EFC=VE-AFC=×a××a×a=a3.故选A、D. 9.(5分)直线a,b,c,d满足a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的位置关系是　　　　.  解析:∵a∥b,b∥c,c∥d,∴由空间平行线的传递性可知a∥d. 答案:平行 10.(5分)在四棱锥P-ABCD中,E,F,G,H分别是PA,PC,AB,BC的中点,若EF=2,则GH=　　　　.  解析:由题意知EF􀰿AC,GH􀰿AC,故EF􀰿GH,故GH=2. 答案:2 11.(5分)已知E,F,G,H分别为空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,若对角线BD=2,AC=4,则+=　　　　.  解析:如图所示,由三角形中位线的性质可得EF∥AC,EF=AC,HG∥AC,HG=AC.所以四边形EFGH是平行四边形,因为=+,=-,所以 +=+=2(+)=2(4+1)=10. 答案:10 12.(10分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1的中点.求证: (1)GB∥D1F;(4分) (2)∠BGC=∠FD1E.(6分) 证明:(1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,F,G分别是棱BB1,DD1的中点, 所以D1G=BF,且D1G∥BF. 所以四边形D1GBF是平行四边形. 所以GB∥D1F. (2)因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G分别是棱CC1,DD1的中点, 所以D1G=CE,且D1G∥CE. 所以四边形D1GCE是平行四边形. 所以GC∥ED1.由(1)知GB∥D1F, 由图形可知∠BGC,∠FD1E均为锐角, 所以∠BGC=∠FD1E. 13.(10分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,DN∥BC,DN与EF相交于点M.将平面DCEF沿EF翻折起来,使CD到C'D'的位置,G,H分别为AD'和BC'的中点,求证: (1)四边形EFGH为平行四边形;(5分) (2)∠C'EB=∠D'MN.(5分) 证明:(1)因为在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点, 所以EF∥AB,且EF=(AB+CD), 又C'D'∥EF,EF∥AB,所以C'D'∥AB. 因为G,H分别为AD',BC'的中点, 所以GH∥AB,且GH=(AB+C'D')=(AB+CD),所以GH􀰿EF, 所以四边形EFGH为平行四边形. (2)因为折叠前DN∥BC,且DM∥CE,MN∥EB, 所以折叠后D'M∥C'E,MN∥EB,所以∠C'EB与∠D'MN的对应边平行且方向相同. 所以∠C'EB=∠D'MN. 14.(15分)如图,一个高为8的三棱柱形容器中盛有水,若侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好过AC,BC,B1C1,A1C1的中点E,F,G,H. (1)直接写出直线FG与直线A1H的位置关系;(8分) (2)有人说有水的部分呈棱台形,你认为这种说法是否正确?并说明理由.(3分) (3)已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面ABC全等,若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中,则水恰好装满此三棱锥,求此三棱锥的高.(4分) 解:(1)直线FG与直线A1H是异面直线. 因为水面恰好过AC,BC,B1C1,A1C1的中点E,F,G,H, 所以HG∥A1B1,EF∥AB,HG=A1B1,EF=AB,又A1B1∥AB,且A1B1=AB, 所以HG∥EF,且HG=EF,所以四边形EFGH是平行四边形, 故FG∥EH,而A1H∩EH=H,所以直线FG与直线A1H不可能平行, 而平面EFGH∩平面A1B1C1=HG,所以直线FG与直线A1H不可能是相交直线, 所以直线FG与直线A1H是异面直线. (2)因为棱台各侧棱交于一点,易知AE∥A1H无交点,所以该几何体不是棱台. (3)设此三棱锥的高为h,底面面积为S, 容器中水的形状为棱柱,体积为×8=6S, 所以有Sh=6S,解得h=18,即三棱锥的高为18. 学科网（北京）股份有限公司 $