11.2 平面的基本事实与推论(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

11.2　平面的基本事实与推论 1.当我们停放共享单车时，只要将单车的撑脚放下，单车就稳了，这用到了（　　） A.三点确定一个平面 B.不共线的三点确定一个平面 C.两条相交直线确定一个平面 D.两条平行直线确定一个平面 2.两个平面若有三个公共点，则这两个平面（　　） A.相交 B.重合 C.相交或重合 D.以上都不对 3.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是（　　） A.A，B，C，D四点中必有三点共线 B.A，B，C，D四点中不存在三点共线 C.直线AB与CD相交 D.直线AB与CD平行 4.如图，平面α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ是（　　） A.直线AC B.直线BC C.直线CR D.以上都不对 5.如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ与β的交线必过（　　） A.点A B.点B C.点C，但不过点D D.点C和点D 6.〔多选〕设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题正确的是（　　） A.若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α B.α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB C.若l不在α内，A∈l，则A∉α D.若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合 7.用符号语言表示以下点、直线、平面之间的位置关系： ①点A，B在直线a上　　　　； ②直线a在平面α内　　　　； ③点D在直线b上，点C在平面α内　　　　. 8.平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定　　　　个平面. 9.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是　　　　. 10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点. （1）画出平面PAC与平面ABCD的交线； （2）画出平面PA1C与平面ABCD的交线. 11.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.三个平面最多可以把空间分成八部分 B.若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价 C.若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l D.若n条直线中任意两条共面，则它们共面 12.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上. （1）如果EH∩FG＝P，那么点P在直线　　　　上； （2）如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线　　　　上. 13.如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC. 求证：（1）E，F，H，G四点共面（提示：平行于同一条直线的两条直线互相平行）； （2）直线FH，EG，AC共点. 14.〔多选〕如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则（　　） A.A，C，O1，D1四点共面 B.D，E，G，F四点共面 C.A，E，F，D1四点共面 D.G，E，O1，O2四点共面 15.正方体是常见的并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题： （1）直线EF，GH，CD能交于一点吗？ （2）若E，F，G，H四点共面，怎样才能画出过四点E，F，G，H的平面与正方体的截面？ （3）若正方体的棱长为a，那么（2）中的截面面积是多少？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2　平面的基本事实与推论 1.B　单车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上，所以可以确定一个平面，从而使得单车在地面上稳定，故选B. 2.C　若三个点在同一直线上，则两平面相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合. 3.B　两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面. 4.C　由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR. 5.D　根据基本事实3判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上.故选D. 6.ABD　α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点.若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α，由平面的基本事实2，可得A正确；α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB，由平面的基本事实3，可得B正确；若l不在α内，A∈l，则A∈α或A∉α，可得C不正确；若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合，由平面的基本事实1，可得D正确. 7.①A∈a，B∈a　②a⊂α　③D∈b，C∈α　 解析：根据点、线、面位置关系及其表示方法可知：①A∈a，B∈a，②a⊂α，③D∈b，C∈α. 8.1或4　 解析：（1）当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；（2）当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点. 9.P∈直线DE　 解析：因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE. 10.解：（1）平面PAC与平面ABCD的交线为AC，如图1. （2）延长A1P，AB交于点E，连接CE， 则CE为平面PA1C与平面ABCD的交线，如图2. 11.AC　对于A，正确；对于B，“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于C，正确；对于D，正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错. 12.（1）BD　（2）AC　 解析：（1）若EH∩FG＝P， 则点P∈平面ABD，点P∈平面BCD， 因为平面ABD∩平面BCD＝BD， 所以点P∈BD. （2）若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，点Q∈平面ACD，因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以点Q∈AC. 13.证明：（1）如图，连接EF，GH， ∵E，F分别是AB，AD的中点，∴EF∥BD. ∵CG＝BC，CH＝DC， ∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，H，G四点共面. （2）易知FH与直线AC不平行，但共面， 设FH∩AC＝M（图略），则M∈平面EFHG，M∈平面ABC. ∵平面EFHG∩平面ABC＝EG， ∴M∈EG， ∴直线FH，EG，AC共点. 14.ACD　因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别为四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O1是AD1的中点，所以O1在平面ACD1内，故A正确；因为E，G，F在平面BCC1B1内，D不在平面BCC1B1内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误；由已知可知EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，故C正确；连接GO2并延长，交A1D1于点H（图略），则H为A1D1的中点，连接HO1，则HO1∥GE，所以G，E，O1，O2四点共面，故D正确. 15.解：（1）直线EF，GH，DC能交于一点.理由如下：如图①，因为E，F分别为棱AB，BC的中点，易得E，F∈平面ABCD，且EF与CD相交，设交点为P.由△EBF≌△PCF，可得PC＝BE＝AB.同理，GH与CD相交，设交点为P1，同样可得P1C＝C1G＝C1D1＝AB. 所以点P1与点P重合.因此直线EF，GH，CD能交于一点. （2）如图②，延长HG交DD1的延长线于点R，延长FE交DA的延长线于点Q，则点R，Q是截面所在平面与平面ADD1A1的公共点，连接RQ，与A1D1，A1A分别交于点M，T，连接GM，TE，FH，可得截面所在平面与正方体各面的交线分别为EF，FH，HG，GM，MT，TE.截面如图中的阴影部分所示. （3）截面为正六边形，其面积为6××＝a2. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $