11.1.6 祖暅原理与几何体的体积(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 1.已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥B1-ABC的体积为（　　） A. B. C. D. 2.一个圆柱形容器的底面半径为4 cm，高为8 cm，将该圆柱注满水，然后将一个半径为4 cm的实心球缓慢放入该容器内，当球沉到容器底部时，留在圆柱形容器内的水的体积为（　　） A.π cm3 B.π cm3 C.π cm3 D.π cm3 3.一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2，则此球的体积为（　　） A.π cm3 B.π cm3 C.π cm3 D.π cm3 4.如图，三棱柱ABC-A'B'C'的体积为1，则四棱锥C-AA'B'B的体积是（　　） A. B. C. D. 5.《算数书》竹筒于上世纪八十年代在湖北省荆州市江陵县张家山出土，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式V≈L2h中将圆锥体积公式中的π近似取为（　　） A.　　 　 B. C.　　　 D. 6.〔多选〕已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则（　　） A.三棱锥S-ABC的体积为 B.三棱锥S-ABC的体积为 C.三棱锥O-ABC的体积为 D.三棱锥O-ABC的体积为 7.已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝　　　　. 8.如图，五面体ABC-DEF中，AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1.AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为　　　　. 9.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是BB1的中点，则三棱锥A-C1D1E的体积为　　　. 10.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由. 11.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，AA1＝2，则直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为（　　） A.36π　　　　　　　 B.18π C.9π D.3π 12.〔多选〕如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝BC＝AD＝CD，CD＝4，则（　　） A.该圆台的高为1 B.该圆台轴截面面积为3 C.该圆台的体积为 D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 13.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm. （1）这种“浮球”的体积是多少立方厘米（结果精确到0.1）？ （2）要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？ 14.正四棱台侧棱长为5，上、下底面边长分别为3和4，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（　　） A.25π B.100π C. D.500π 15.如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C. （1）求球冠所在球的半径R（结果用h、r表示）； （2）已知球冠表面积公式为S＝2πRh，当S＝65 000π，C＝500π时，求的值及球冠所在球的表面积. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 1.D　V＝Sh＝××3＝. 2.B　根据题意可知留在容器内水的体积等于圆柱体积减去实心球的体积，即V＝π×42×8－π×43＝π cm3.故选B. 3.C　由题意，球的直径与正方体棱长相等，设正方体棱长为a，则6a2＝6，故a＝1 cm，所以V球＝π×＝π（cm）3. 4.C　VC-AA'B'B＝VABC-A'B'C'－VC-A'B'C'＝S△ABC·AA'－S△ABC·AA'＝S△ABC·AA'＝. 5.B　设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L＝2πr，所以r＝，所以V＝πr2h＝π×＝.若≈L2h，则π＝. 6.AC　 ∵三棱锥S-ABC与三棱锥O-ABC的底面都是△ABC，O是SC的中点，∴三棱锥S-ABC的高是三棱锥O-ABC高的2倍，∴三棱锥S-ABC的体积也是三棱锥O-ABC的体积的2倍.在三棱锥O-ABC中，其棱长都为1，如图所示，∴S△ABC＝，高OD＝＝＝，∴VO-ABC＝×S△ABC×OD＝××＝，∴VS-ABC＝2VO-ABC＝2×＝，故选A、C. 7.　 解析：由πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为. 8.　 解析：如图，用一个完全相同的五面体HIJ-LMN（顶点与五面体ABC-DEF一一对应）与该五面体组合形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，故VABC-DEF＝VABC-HIJ＝××1×1××4＝. 9.　 解析：连接BC1（图略），因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，故＝.所以＝＝＝＝××AB＝×AB××C1B1×EB＝. 10.解：不会溢出杯子，理由如下： 因为V半球＝×πR3＝×π×43＝π（cm3）， V圆锥＝πr2h＝π×42×10＝π（cm3）， 所以V半球＜V圆锥，所以冰淇淋融化了，不会溢出杯子. 11.C　取AC，A1C1的中点为D，D1，连接BD，D1D，取D1D的中点O，由于AB⊥BC，且三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，故O为外接球的球心，AC＝＝，R＝OA＝＝，故外接球的表面积为4πR2＝9π. 12.BCD　对于A，在梯形ABCD中，O1O2即代表圆台的高，利用勾股定理计算可得O1O2＝＝＝，所以A错误；对于B，轴截面梯形ABCD的面积为S＝（AB＋CD）·O1O2＝（2＋4）×＝3，因此B正确；对于C，易知下底面圆的面积为π×22＝4π，上底面圆的面积为π×12＝π，所以该圆台的体积为V＝（4π＋π＋）×＝，可得C正确；对于D，将圆台侧面沿直线BC处剪开，其侧面展开图如图所示， 易知圆弧，的长度分别为2π，4π，设扇形圆心为O，圆心角为θ，OB＝r，由弧长公式可知θr＝2π，θ（r＋2）＝4π，解得θ＝π，r＝2，所以∠AOB＝90°.设E为AD的中点，连接EC，当小虫从点C沿着EC爬行到AD的中点，所经过路程最短，易知OE＝3，OC＝4，且OE⊥OC，由勾股定理可知EC＝＝5，可知D正确. 13.解：（1）因为半球的直径是6 cm，可得半径R＝3 cm， 所以两个半球的体积之和为V球＝πR3＝π·27＝36π（cm3）. 又圆柱筒的体积为V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π（cm3）. 所以这种“浮球”的体积是V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6（cm3）. （2）根据题意，上下两个半球的表面积是S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π（cm2）. 又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π（cm2）， 所以1个“浮球”的表面积为S＝＝π（m2）. 因此，2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S＝2 500×π＝12 π（m2）. 因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为100×12π＝1 200π（克）. 14.B　如图所示，AB＝AD＝BC＝CD＝3，GH＝HE＝EF＝FG＝4.设O为外接球球心，外接球半径为R，M，N分别为上、下底面的中心，易知MA＝3，NE＝4，又侧棱长为5，则MN＝＝7.又易知OA＝OE＝R，设ON＝x，则OA2＝（7－x）2＋32，OE2＝x2＋42，故（7－x）2＋32＝x2＋42，解得x＝3，故R2＝32＋42＝25，所以球的表面积为4πR2＝100π. 15.解：（1）如图，点O是球冠所在球的球心，点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆周上一点，线段O1B是球冠的高， 依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B＝h，OO1＝R－h，O1A＝r， 在Rt△OO1A中，OA2＝O＋O1A2，即R2＝（R－h）2＋r2，化简整理得R＝，所以球冠所在球的半径R＝. （2）因球冠底面圆周长C＝500π，则r＝＝250， 又球冠表面积公式为S＝2πRh，且S＝65 000π，则h＝＝， 由（1）知R＝， 即65 000＝＋2502，解得R＝650， 于是得＝＝，球O的表面积为4πR2＝4π×6502＝1 690 000π， 所以的值是，球冠所在球的表面积是1 690 000π. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $