11.1.6 祖暅原理与几何体的体积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

11.1 空间几何体 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 新授课 1. 了解祖暅原理，将空间问题转化为平面问题； 2. 理解柱、锥、台、球的体积公式的推导方法； 3. 掌握柱、锥、台和球的体积公式，会用体积公式求简单几何体的体积. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：祖暅原理 问题 1：同一摞书，当改变摆放书的形状时(如图所示)，这摞书的总体积是否会改变？由此能得到有关体积的什么结论？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 祖暅原理：幂势既同，则积不容异. 水平截面面积 高 如图所示，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等. 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：柱体、椎体、台体与圆的体积 1. 柱体的体积： 棱柱与圆柱统称为柱体. 柱体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面全等，因此截面面积一定等于底面面积；由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个柱体，体积相等；则柱体的体积计算公式为 V柱体 = Sh （S为柱体的底面积，h为高） 新课讲授 学习目标 课堂总结 2. 椎体的体积： 棱椎与圆椎统称为椎体. 如图所示，当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面相似，即 △A´B´C´∽△ABC，而且相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比，因此截面与底面的面积之比 = ()2， 由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个锥体，体积相等. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：如图所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，所得到的3个三棱锥的体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？ 一般地，如果锥体的底面积为 S，高为 h，则锥体的体积计算公式为 V椎体 = Sh 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：将长方体看成直四棱柱 ADD´A´-BCC´B´， 设它的底面 ADD1A1 面积为 S，高为 h， 则长方体的体积为 VADD´A´-BCC´B´ = Sh； 棱锥 D´-A´CD 可看成棱锥 C-A´DD´，且△A´DD´的面积为 S，棱锥 C-A´DD´的高是h，所以VD´-A´CD = VC-A´DD´ = ×Sh = Sh； 因此所求体积之比为 1 : 6. 例 1：如图所示，在长方体 ABCD – A´B´C´D´ 中，求棱锥 D´–A´CD 的体积与长方体的体积之比 典例剖析 A B C D A´ B´ C´ D´ 新课讲授 学习目标 课堂总结 3. 台体的体积： 棱台与圆台统称为台体. 台体可看成锥体截去一个小锥体得到，故台体的体积可以通过计算锥体的体积之差来得到. 设台体的上、下底面面积分别为S1，S2，且大、小椎体的高分别为H，h则有： V台体 = V大椎体 – V小椎体= S2H – S1h 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：如图，四棱台可看成从棱锥P-ABCD中截去棱锥 P-A1B1C1D1所得，且设两个棱锥的高分别为PO与PO1； 由已知有 = ，再由 PO – PO1= OO1 = h， 因此可得 PO1 = h，PO = h. 例 2：已知四棱台上、下底面面积分别为 S1，S2 ，而且高为 h，求这个棱台的体积. B1 A B C D D1 A1 C1 O1 O P 故棱台的体积为 V = ×S2×PO – ×S1×PO1= (S2 – S1) = (– ) = (– )(S2 ++ S1) = (S2 + + S1). 新课讲授 学习目标 课堂总结 B1 A B C D D1 A1 C1 O1 O P V台体 = (S2 + + S1)h 一般地，如果台体的上、下底面面积分别为 S1，S2，高为 h，则台体的体积计算公式为： 归纳总结 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 3：如图所示是底面积和高都相等的两个几何体，右边是半球，左边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，所得截面分别是什么形状？两个截面面积大小关系怎样？由此你能得到球的体积公式吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 4. 球的体积： 一般地，如果球的半径为 R，那么球的体积计算公式为： V球 = πR3 R O 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：如图，某铁制零件由一个正四棱柱和一个球组成，已知正四棱柱底面边长与球的直径均为 1 cm，正四棱柱的高为 2 cm，现有这种零件一盒共 50 kg，取铁的密度为 7.8 g/cm3，π ≈ 3.14. （1）估计有多少个这样的零件； （