11.1.4 棱锥与棱台(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

11.1.4　棱锥与棱台 1.如图所示，不是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是（　　） A.①③ B.②④ C.③④ D.①② 2.下列说法中，正确的是（　　） A.有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 3.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（　　） A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4 B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1 4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA＝PB＝2，PC＝，则该四棱锥的高是（　　） A. B. C. D. 5.若棱长为1的正四面体ABCD中，M和N分别是边AB和CD的中点，则线段MN的长度为（　　） A. B. C. D.2 6.〔多选〕铜钱：古代铜质辅币，俗称铜钱，是指秦汉以后的各类方孔圆钱，方孔圆钱的铸期一直延伸到清末民国初年.请问铜钱形成的几何体中不包含下列那种几何体（　　） A.棱台 B.棱柱 C.棱锥 D.长方体 7.若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是　　　　棱台. 8.侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的表面积为　　　　. 9.棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为　　　　. 10.已知正三棱锥V-ABC的底面边长为6，高VO＝4，D为AB的中点，过点V，C，D作截面，求该截面的周长和面积. 11.〔多选〕对如图所示的几何体描述正确的为（　　） A.这是一个六面体 B.这是一个四棱台 C.这是一个四棱柱 D.此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到 12.已知一个正六棱台两底面的面积分别为，6，高为1，则该棱台的侧面积为　　　　　. 13.如图，在侧棱长为2的正三棱锥V-ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值. 14.如图，已知正六棱锥P-ABCDEF的侧棱长为6，底面边长为3，Q是底面上一个动点，PQ≤4，则点Q所形成区域的面积为（　　） A.4π B.5π C.6π D.7π 15.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问： （1）折起后形成的几何体是什么几何体？ （2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ （3）每个面的三角形面积为多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1.4　棱锥与棱台 1.C　可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面都不能折成正四面体. 2.A　B选项，截面与底面平行时才能得棱台；C选项，棱柱底面可能是平行四边形；D选项，棱柱侧面的平行四边形不一定全等，如长方体. 3.C　选项A中≠，故A不正确；选项B中≠，故B不正确；选项C中＝＝，故C正确；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台，故选C. 4.B　由题意，作PF⊥平面ABCD，垂足为F，在平面ABCD内，作FQ⊥BC，垂足为Q，取AB的中点为E，连接PE，EF，CF，如图所示.设PF＝h，在△PAB中，AP＝BP＝AB＝2，则PE⊥AB，AE＝BE＝1.在Rt△PEB中，PE＝＝.在Rt△PFE中，EF＝＝.在正方形ABCD中，易知EF＝BQ，FQ＝BE，则CQ＝2－.在Rt△CFQ中，CF2＝FQ2＋CQ2.在Rt△CFP中，PF2＋CF2＝CP2，则h2＋（2－）2＋1＝2，解得h＝. 5.A　如图，连接AN，BN，∵正四面体ABCD的棱长为1，N是CD的中点，∴BN＝AN＝.∵M是AB的中点，∴MN⊥AB，∴MN＝＝＝. 6.ACD　铜钱可以看成一个圆柱挖去一个底面为正方形的四棱柱所得的几何体，所以铜钱形成的几何体中不包含棱锥、棱台和长方体，故选A、C、D. 7.七　 解析：由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台. 8.a2　 解析：底面边长为a，则斜高为，故S侧＝3××a×a＝a2.而S底＝a2，故S表＝a2. 9.5　 解析：设截得的棱台的高为h（h＜9），由棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积与底面积的比等于截得锥体的高与原锥体高的平方比，得（ ）2＝，解得h＝5，所以截得的棱台的高为5. 10.解：由题意画出图形，如图所示， 其中VO＝4，AB＝BC＝CA＝6. ∵△ABC是等边三角形，O是中心， ∴CD＝3，OC＝2，OD＝. 在Rt△VOC和Rt△VOD中， 由勾股定理，得VC＝＝2，VD＝＝， ∴△VCD的周长为VC＋CD＋VD＝2＋3＋， 面积为CD·VO＝×3×4＝6. 11.ACD　A正确，该几何体有六个面，属于六面体；B错误，该几何体各侧棱的延长线不能交于一点；C正确，如果把几何体正面和背面作为底面就会发现是一个四棱柱；D正确，如图所示. 12.　 解析：如图，O1，O分别是上、下底面中心，N，M分别是棱A1B1，AB中点，由正棱台性质知，＝6×A1，6＝6×AB2，所以A1B1＝1，AB＝2.因为O1O＝1，MN是斜高，OM⊥AB，O1N⊥A1B1，又AB＝2，A1B1＝1，所以OM＝×2＝，O1N＝×1＝.在直角梯形OMNO1中，MN＝＝＝，所以侧面积为S＝×（AB＋A1B1）×MN×6＝×（2＋1）××6＝. 13.解：沿着侧棱VA把正三棱锥V-ABC展开在一个平面内，如图. 则AA'的长即为截面△AEF周长的最小值， 且∠AVA'＝3×40°＝120°. 在△VAA'中，AA'＝2×2×＝6， 故截面△AEF周长的最小值为6. 14.B　因为P-ABCDEF为正六棱锥，则顶点P在底面的投影为底面中心O，如图. 又因为底面边长为3，则OC＝3，可得PO＝＝3，且PQ≤4，则OQ＝≤，可知点Q所形成区域为以O为圆心，半径为的圆面，其面积为π×（）2＝5π.故选B. 15.解：（1）如图，折起后的几何体是三棱锥. （2）这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形. （3）S△PEF＝a2， S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2， S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝（2a）2－a2－a2－a2＝a2. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $