11.1.4 棱锥与棱台课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

11.1 空间几何体 11.1.4 棱锥与棱台 新授课 1. 了解棱锥和棱台的定义和结构特征； 2. 了解棱锥和棱台的表面积计算公式，并能用公式解决简单实际问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 观察：法国巴黎卢浮宫前有一座“玻璃金字塔”，其塔高 21 米，底宽 34 米，四个侧面由 673 块菱形玻璃拼组而成，总平面面积约一千平方米. 从这座“塔”中你可以抽象出什么几何体？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 1：棱锥 （1） （3） （2） （4） 问题 1：观察下列棱锥，说说它们在结构上有什么共同特征？ 如果一个多面体有一个面是多边形且其余各面都是有一个公共顶点的三角形则称这个多面体为棱锥． 新课讲授 学习目标 课堂总结 棱锥的基本特征： （1）棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的底面，有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面，各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点，相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱； （2）棱锥按底面形状分类，分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等； （3）棱锥可用顶点与底面各顶点的字母来表示； 如图所示的四棱锥可记作棱锥 P-ABCD 或棱锥 P-AC； （4）过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段 称为棱锥的高 (如图中线段PO)； （5）棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积． 新课讲授 学习目标 课堂总结 正棱锥的基本特征： （1）如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥； （2）正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形； （3）等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高． 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：如图是底面边长为 1 且侧棱长为 的正六棱锥 P-ABCDEF. （1）写出直线 PA 与直线 CD，直线 PA 与面 ABCDEF 之间的关系； （2）求棱锥的高与斜高； （3）求棱锥的侧面积. 解：（1）直线 PA 与直线 CD 异面； 直 PA ∩ 面ABCDEF = A； （2）作出棱锥的高PO，因为是正六棱锥， 所以O是底面的中心，连接OC，可知OC = 1； 在 Rt△POC 中，得 PO = = 1； 设 BC 的中点为 M，由 △PBC 是等腰三角形可知，PM⊥MC； 因此 PM 是斜高，从而 PM = = . 典例剖析 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：如图是底面边长为 1 且侧棱长为 的正六棱锥 P-ABCDEF. （3）求棱锥的侧面积. （3）因为△PBC 的面积为 ×BC×PM = ； 所以棱锥的侧面积为 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：棱台 问题 2：观察下列棱台，说说它们在结构上有什么共同特征？ 一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台. （1） （3） （2） 新课讲授 学习目标 课堂总结 棱台的基本特征： （1）原棱锥的底面与截面分别称为棱台的下底面与上底面，其余各面称为棱台的侧面，相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱； （2）棱台可用上底面与下底面的顶点表示： 如棱台 ABCD – A1B1C1D1； （3）过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个 底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高； （4）棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积 （5）棱台可按底面的形状分类，分为三棱台、四棱台等． 新课讲授 学习目标 课堂总结 正棱台的基本特征： （1）由正棱锥截得的棱台称为正棱台； （2）正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高； （3）正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形；这些等腰梯形的高都相等，称为棱台的斜高． 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长为 2，上底面边长和侧棱长都为 1．O，O´分别是下底面与上底面的中心． （1）求棱台的斜高； （2）求棱台的高． 解：（1）因为是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形； 在梯形 ACC´A´中，分别过A´，C´作AC的垂线 A´E 与 C´F， 则由 AC = 2，AA´ = A´C´ = C´C = 1 可知AE = FC = ， 从而 A´E = C´F = ，即斜高为 . 典例剖析 新课讲授 学习目标 课堂总结 已知：正三棱台，下底面边长 2，上底面边长和侧棱长 1. （2）求棱台的高． （2）因为O与O´分别是下底面与上底面的中心，且 由已知可得 BO = 2B´O´ = ； 如图所示，设正三棱台A´B´C´-ABC是由正棱锥V-ABC截去正棱锥V-A´B´C´得到的，则由已知可得VO是棱锥V-ABC的高，VO´是棱锥V-A´B´C的高，O´O是所求