10.3 复数的三角形式及其运算(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

10.3　复数的三角形式及其运算 1.C　因为a＜0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a（cos π＋isin π）.故选C. 2.D　依题意得r＝＝，复数z＝1－i对应的点在第四象限，且cos θ＝，因此arg z＝315°，结合选项知D正确，故选D. 3.B　由题设，z＝＝＝－＋i＝cos＋isin，故A、C、D错误，B正确. 4.B　＝＝cos（0°－60°）＋isin（0°－60°）＝cos（－60°）＋isin（－60°）＝－i.故选B. 5.A　（3＋4i）·i＝5（cos θ＋isin θ）·（cos＋isin）＝5［cos（θ＋）＋isin（θ＋）］，因为3＋4i的辐角主值为θ，所以θ∈（0，），则（3＋4i）·i的辐角主值是＋θ. 6.ABD　因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ，所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1，所以θ＝＋kπ（k∈Z）.可知选A、B、D. 7.1＋i　 解析：由题意知，z＝2（cos＋isin）＝1＋i. 8.　 解析：∵z＝1＋i＝2（ cos＋isin），∴将复数1＋i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数为z1＝2（ cos＋isin）·（cos θ＋isin θ）＝2［cos（ θ＋）＋isin（ θ＋）］＝－2i，∴θ＋＝＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，θ取得最小正值，∴θ＝. 9.75°　 解析：由＝1＋i，可得＝（cos 45°＋isin 45°），即z＝，z＝，z＝，z＝（cos 75°＋isin 75°），所以复数z的辐角主值是75°. 10.解：（1）（ cos＋isin）2·（ cos＋isin） ＝（ cos＋isin）·（ cos＋isin）＝［cos（ ＋）＋isin（ ＋）］ ＝（ cos＋isin）＝（ －－i）＝－－i. （2） ＝ ＝（ cos＋isin）·（ cos＋isin） ＝［cos（ ＋）＋isin（ ＋）］ ＝（ cos＋isin）＝（ －＋i）＝－＋i. 11.BD　设z＝r（cos θ＋isin θ），其中r＞0，则z5＝r5（cos θ＋isin θ）5＝r5（cos 5θ＋isin 5θ）＝32，故r5cos 5θ＝32，sin 5θ＝0.∵r＞0，∴cos 5θ＞0，故5θ＝2kπ，k∈Z，则cos 5θ＝1，故r5＝32，则r＝2，故z＝2（ cos＋isin），k∈Z，故B、D正确，A、C错误. 12.1－i　 解析：将z＝1＋i代入，得原式＝＝＝1－i＝. 13.解：由已知，得＝（cos＋isin）， ∴1－＝＋i， ∴＝－i， ∴z＝＝ ＝＝（＋i） ＝（＋i）＝（cos＋isin）， ∴z的辐角主值arg z＝. 14.B　设复数z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），由于⊥，所以＝＝[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]＝[cos（±90°）＋isin（±90°）]＝±i，即为纯虚数.故选B. 15.解：（1）｜z｜＝ ＝ ＝ 2 . 所以当cos＝1，即θ＝2kπ－（k∈Z）时， ｜z｜取最大值2. （2）设arg z＝α， 由z＝cos θ－sin θ＋＋i（cos θ＋sin θ） ＝， 所以tan α＝＝tan. 因为θ∈（π，2π）， 所以z的实部为 ［1＋cos（θ＋）］＞0， z的虚部为 sin. 当θ∈时， sin＜0， z所对应的点位于第四象限， 由于＜＋＜π， 所以arg z＝α＝＋π＝＋. 当θ∈时，sin≥0， z所对应的点位于第一象限（或x轴非负半轴）， 由于π＜＋＜， 所以arg z＝α＝－π＝－. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3　复数的三角形式及其运算 1.若a＜0，则a的三角形式为（　　） A.a（cos 0＋isin 0） B.a（cos π＋isin π） C.－a（cos π＋isin π） D.－a（cos π－isin π） 2.复数z＝1－i（i为虚数单位）的三角形式为（　　） A.z＝（sin 45°－icos 45°） B.z＝（cos 45°－isin 45°） C.z＝[cos（－45°）－isin（－45°）] D.z＝[cos（－45°）＋isin（－45°）] 3.下列复数与复数z＝相等的是（　　） A.cos＋isin B.cos＋isin C.－－i D.－1＋i 4.＝（　　） A.＋i B.－i C.＋i D.－i 5.设3＋4i的辐角主值为θ，则（3＋4i）·i的辐角主值是（　　） A.＋θ B.－θ C.θ－ D.－θ 6.〔多选〕若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值可能为（　　） A. B. C.－ D.－ 7.若｜z｜＝2，arg z＝，则复数z＝　　　　. 8.将复数1＋i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数是－2i，则θ角的最小正值是　　　　. 9.已知复数z满足＝1＋i，则复数z的辐角主值是　　　　. 10.计算，并将结果用复数的代数形式表示： （1）（ cos＋isin）2·（ cos＋isin）； （2）. 11.〔多选〕设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都可以表示为三角形式r（cos θ＋isin θ），其中r为复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为z的辐角）.利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫弗发现[r（cos θ＋isin θ）]n＝rn[cos （nθ）＋isin （nθ）]（n∈N）.根据以上信息，若复数z满足z5＝32，则z可能的取值为（　　） A.2（ cos＋isin） B.2（ cos＋isin） C.2（ cos＋isin） D.2（ cos＋isin） 12.设z＝1＋i，则复数的代数形式为　　　　，三角形式是　　　　. 13.设复数z满足＝，arg＝，求z的辐角主值. 14.向量，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是（　　） A.负实数 B.纯虚数 C.正实数 D.虚数a＋bi（a，b∈R，a≠0） 15.已知z＝cos θ－sin θ＋＋i（cos θ＋sin θ）. （1）当θ为何值时，｜z｜取得最大值，并求此最大值； （2）若θ∈（π，2π），求arg z（用θ表示）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $