9.1.2 余弦定理(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

9.1.2　余弦定理 1.A　在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝，所以A＝45°. 2.C　由a2＝c2＋b2－2cbcos A，得13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1（舍去），故选C. 3.B　由b2＝ac，又∵c＝2a，∴b＝a，由余弦定理，得cos B＝＝＝. 4.C　由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ＝2＋9－2××3×＝5，∴AC＝.由正弦定理，得＝，∴sin A＝＝＝. 5.C　由＝及正弦定理，得＝，所以b＝c.因为（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝，又0＜A＜π，所以A＝.所以△ABC是等边三角形.故选C. 6.BC　对于B，由C为锐角，且sin C＝，得cos C＝＝，B正确；对于A、C，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋16－2×3×4×＝19，得c＝，则a＋b＋c＝7＋，A错误，C正确；对于D，由余弦定理得cos B＝＝＝，D错误. 7.　 解析：由余弦定理cos C＝可得＝，解得c＝3，所以cos B＝＝＝. 8.　 解析：∵ccos B＝bcos C，∴sin Ccos B＝sin Bcos C，∴sin（B－C）＝0，∴B＝C，又∵cos A＝，∴A＝60°，∴B＝60°，∴sin B＝. 9.　 解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝. 10.解：（1）由题设a＋c×＝b＋a×，整理可得ab＝b2＋a2－c2， 所以cos C＝＝，又0＜C＜π，故C＝. （2）由题意absin C＝⇒ab＝4，又c2＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab， 所以（a＋b）2＝16⇒a＋b＝4，故△ABC的周长为a＋b＋c＝6. 11.BC　对于A，由acos A＝bcos B及正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，△ABC是等腰三角形或直角三角形，A错误；对于B，由a3＋b3＝c3，得0＜a＜c，0＜b＜c，则C是△ABC的最大内角，又c2＝·a2＋·b2＜a2＋b2，则cos C＝＞0，C为锐角，△ABC是锐角三角形，B正确；对于C，由A＝60°，a＝6及余弦定理得36＝a2＝b2＋c2－2bc· cos 60°≥2bc－bc＝bc，因此S△ABC＝bcsin A＝bc≤9，当且仅当b＝c时取等号，C正确；对于D，取a＝b＝2，c＝1，满足＋＜，而C＜A＝B，则3C＜C＋A＋B＝π，即C＜，D错误.故选B、C. 12.2　　 解析：法一　由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·AB·cos B＝4＋64－2×8×2×＝52，所以AC＝2，所以在△AMC中，由余弦定理得cos ∠MAC＝＝＝. 法二　由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，则BD＝4，AD＝2，CD＝4.所以在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝48＋4＝52，得AC＝2.在△AMC中，由余弦定理得cos ∠MAC＝＝＝. 13.解：（1）∵sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C， ∴由正弦定理，得b2＋c2＝a2＋bc. ∴由余弦定理，得cos A＝＝＝， 又∵0＜A＜π，∴A＝. （2）由2sin Bsin C＋cos 2A＝1及cos 2A＝1－2sin2 A， 得sin Bsin C＝sin2A，由正弦定理，得bc＝a2， ① 易知a2＝b2＋c2－2bccos ， ② 由①②，得（b－c）2＝0，∴b＝c，∴△ABC为等边三角形. 14.D　因为m∥n，所以（a＋b）（sin B－sin A）＝sin C（a＋c）.由正弦定理，得（a＋b）（b－a）＝c（a＋c），即a2＋c2－b2＝－ac，由余弦定理，得cos B＝－，所以B＝.故选D. 15.解：（1）依题意S1＝a2sin 60°＝a2，S2＝b2sin 60°＝b2，S3＝c2sin 60°＝c2， 则S1＋S3－S2＝ac＝a2＋c2－b2，即ac＝a2＋c2－b2. 由余弦定理得cos B＝＝. 因为B∈（0，π），所以B＝. （2）因为a＝4，B＝，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝16＋c2－4c， 所以＝c＋－4≥2－4＝6，当且仅当c＝，即c＝5时等号成立， 此时b2＝16＋c2－4c＝21，所以b＝， 则S△ABC＝acsin B＝×4×5×＝5. 设△ABC内切圆的半径为r，则S△ABC＝（a＋b＋c）r，所以r＝＝， 所以△ABC内切圆的半径为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1.2　余弦定理 1.在△ABC中，若a＝2，b＝，c＝＋1，则A＝（　　） A.45° B.30° C.135° D.150° 2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，A＝60°，则c＝（　　） A.1 B.2 C.4 D.6 3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝（　　） A. B. C. D. 4.在△ABC中，若B＝，AB＝，BC＝3，则sin A＝（　　） A. B. C. D. 5.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，若＝，（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，则△ABC的形状为（　　） A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 6.〔多选〕已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝4，锐角C满足sin C＝，则（　　） A.△ABC的周长为12 B.cos C＝ C.c＝ D.cos B＝ 7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C＝，a＝3，b＝4，则cos B＝　　　　. 8.在△ABC中，ccos B＝bcos C且cos A＝，则sin B＝　　　　. 9.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝　　　　. 10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋ccos A＝b＋acos C. （1）求角C的大小； （2）若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长. 11.〔多选〕已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（　　） A.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形 B.若a3＋b3＝c3，则△ABC是锐角三角形 C.若A＝60°，a＝6，则△ABC面积的最大值为9 D.若＋＜，则C＞ 12.在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝　　　　；cos ∠MAC＝　　　　. 13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C. （1）求角A的大小； （2）若2sin Bsin C＋cos 2A＝1，判断△ABC的形状. 14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，已知向量m＝（a＋b，sin C），n＝（a＋c，sin B－sin A），若m∥n，则角B＝（　　） A. B. C. D. 15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1＋S3－S2＝ac. （1）求角B； （2）已知a＝4，当取最小值时，求△ABC内切圆的半径. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $