9.1.2 余弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.2 余弦定理 新授课 导入：如图所示，某高铁的路线规划经过一座小山丘，现需要挖一段隧道.开挖前需要测量出山脚的长度，但两山脚之间的距离无法直接测量. 若在点C 用测量仪已经测出 AC、BC 的距离及∠ACB 的大小，请问要如何才能知道山脚AB的长度呢？ A B C b a c = ？ 1. 能借助向量的运算，推导余弦定理； 2. 掌握余弦定理及其推论，能用余弦定理解三角形. 新课讲授 学习目标 课堂总结 3 知识点 1：余弦定理 问题 1：如图，情境导入中的问题可转化为已知 a，b 和角 C，如何求 c？ 如图，设 ，，<，> = C， 所以 · = cos <，> = abcos C， 而且 = − ，因此 2 = 2 = 2 − 2· + 2 = a2 – 2abcos C + b2， 又因为 = c，因此 c2 = a2 + b2 – 2abcos C . A B C b a c = ？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 余弦定理 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的 2 倍. 归纳总结 若已知三角形两边及其夹角，可用余弦定理求出该三角形的第三边. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1 ：已知 △ABC 中，a = 3，b = 6，C = 60°，求 c. 典例剖析 解：由余弦定理可知 c2 = a2 + b2 – 2abcos C = 32 + 62 – 2×3×6×cos 60° = 27， 因此 c = = 3. 小结 1：已知三角形的两边及其夹角时，三角形唯一确定，与三角形全等的判定定理 SAS 一致. 新课讲授 学习目标 课堂总结 回到导入中的问题：在△ABC中，已知 a = 300 m，b = 500 m，C = 120°，求 c． 练一练 解：由余弦定理，得 c² = a²+b² – 2abcos C = 300² + 500² – 2×300×500×cos 120° = 490000， 所以 c = 700 (m)． 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2 ：已知 △ABC 中，a = 6，b = 4，c = 2，求 C. 解：由 c2 = a2 + b2 – 2abcos C 可得 (2)2 = 62 + 42 – 2×6×4cos C，解得 cos C = ； 又因为 0°< C < 180°，所以 C = 60°. 小结 2：已知三角形的 3 条边时，可以求出该三角形的 3 个角，且该三角形也唯一确定，与三角形全等的判定定理 SSS 一致. 新课讲授 学习目标 课堂总结 余弦定理的推论 归纳总结 从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 3 ：已知 △ABC 中，已知 acos A = bcos B，试判断这个三角形的形状. 解：利用余弦定理可知 a× = b× 因此 a2(b2 + c2 – a2) = b2(a2 + c2 – b2)，即 a2c2 – b2c2 – a4 + b4 = 0， 从而 (a2 – b2)c2 – (a2 – b2)(a2 + b2) = 0， 所以 (a2 – b2)(c2 – a2 – b2) = 0， 因此 a2 – b2 = 0 或 c2 – a2 – b2 = 0. 当 a2 – b2 = 0 时，a = b，此时 △ABC 是等腰三角形； 当 c2 – a2 – b2 = 0 时，a2 + b2 = c2，此时 △ABC 是直角三角形； 故 △ABC 是等腰三角形或直角三角形. 新课讲授 学习目标 课堂总结 在△ABC 中，已知 b = 60 cm，c = 34 cm，A = 41°，解这个三角形 (角度精确到1°，边长精确到1 cm). 解：由余弦定理，得 由余弦定理的推论，得 利用计算器，可得 B ≈ 106°. 练一练 新课讲授 学习目标 课堂总结 B D A C 例 4：如图，平面四边形ABCD中，已知 B + D = 180°，AB = 2，BC = 4，CD = 4，AD = 2，求四边形 ABCD 的面积. 解：如图所示，连接点 A、C， 在△ABC与△ADC中分别使用余弦定