11.1.6 祖暅原理与几何体的体积(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本高中数学讲义核心围绕祖暅原理及柱、锥、台、球的体积公式展开，先通过“幂势既同，则积不容异”理解原理，再推导体积公式，结合例题与练习形成“原理-公式-应用”的学习支架。 以正八面体钻石体积问题导入，激发探究兴趣，体现数学眼光观察现实世界。通过祖暅原理抽象推导公式培养数学抽象与直观想象，分层例题强化数学运算，课中辅助教学，课后助学生查漏补缺。

11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 1.理解祖暅原理的内容（数学抽象、直观想象）. 2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导，并会利用它们求有关几何体的体积（数学运算）. 金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石.如图就是一块正八面体的钻石. 【问题】　如果已知该钻石的棱长，你能求出它的体积吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 知识点一　祖暅原理 1.内容：幂势既同，则积不容异. 2.含义：夹在　　　　　　　　的两个几何体，如果被平行于这两个平面的　　　　　所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等. 3.应用：　　　　　　　　的两个柱体或锥体的体积相等. 知识点二　柱、锥、台、球的体积公式 名称 体积（V） 柱体 棱柱 V＝Sh 圆柱 V＝πr2h 锥体 棱锥 V＝Sh 圆锥 V＝πr2h 台体 棱台 V＝h（S1＋＋S2）（其中S1，S2分别表示上、下底面的面积，h表示高） 圆台 V＝πh（＋r1r2＋）（其中r1和r2分别表示上、下底面的半径，h表示高） 球 V＝πR3（R表示球的半径） 　　提醒：对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识：①等底、等高的两个柱体的体积相同；②等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍；③柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系. V＝ShV＝（S'＋＋S）hV＝Sh. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）锥体的体积等于底面面积与高之积.（　　） （2）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.（　　） （3）两个球的半径之比为1∶3，则其体积之比为1∶9.（　　） （4）体积相等的棱柱与圆柱，其表面积也相等.（　　） 2.直径为1的球的体积是（　　） A.1　　 　B.　 　　C.　　 　D.π 3.已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为（　　） A.2 B.4 C.6 D.12 4.若圆柱的侧面展开图是边长为4 cm的正方形，则圆柱的体积为　　　　cm3. 题型一｜柱体的体积 【例1】　如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积. 尝试解答 通性通法 　　求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高.棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长.具体问题中要能准确应用“底面”和“高”的定义去求解相关元素. 【跟踪训练】 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面BC1D是面积为6的直角三角形，则此正三棱柱的体积为　　　　. 题型二｜锥体的体积 【例2】　（1）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为　　　　； （2）圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 cm，则该圆锥的体积为　　　　cm3. 尝试解答 通性通法 常见的求几何体体积的方法 （1）公式法：直接代入公式求解； （2）等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可； （3）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积； （4）补形法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. 【跟踪训练】 一个内角为30°且斜边长为2的直角三角形，绕斜边旋转一周所得几何体的体积为（　　） A. B. C. D. 题型三｜台体的体积 【例3】　已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积为780 cm2.求正四棱台的体积. 尝试解答 通性通法 　　求解台体的体积问题的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过计算两个锥体的体积差得到. 【跟踪训练】 已知圆台O1O2的上、下底面半径分别为r1，r2（r1＜r2），高为，母线与下底面所成的角为，上底面上的动点和下底面上的动点距离的最大值为，则圆台的体积为（　　） A.π B.π C.π D.π 题型四｜与球有关的体积问题 【例4】　（1）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为（　　） A.　　　　　　　　B. C. D. （2）在半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为　　　　. 尝试解答 通性通法 球与几何体的切、接问题的解题思路 （1）球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解； （2）解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系. 【跟踪训练】 1.已知一圆柱的底面半径为2，体积为16π，若该圆柱的底面圆周都在球O的表面上，则球O的表面积为（　　） A.32π B.40π C.64π D.80π 2.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为　　　　. 1.若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积之比为（　　） A.1∶3∶4 B.1∶3∶2 C.1∶2∶4 D.1∶4∶2 2.已知圆锥的轴截面为正三角形，该圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，则该圆锥的底面半径为（　　） A. B.12π C.2 D.2π 3.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周后得到的几何体的体积. 提示：完成课后作业　第十一章　11.1　11.1.6 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 【基础落实】 新知初探 知识点一 2.两个平行平面间　任意平面　3.等底面积、等高 知识点二 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）× 2.B　R＝，故V＝πR3＝×π×＝. 3.B　正四棱锥的底面积为2×2＝4，则体积为×4×3＝4. 4.　 解析：设圆柱的底面半径为r，由题意可知2πr＝4，所以r＝cm.故圆柱的体积V＝π×4＝（cm3）. 【典例研析】 【例1】　解：V六棱柱＝×42×6×2＝48（cm3）， V圆柱＝π×32×3＝27π（cm3）， V挖去圆柱＝π×12×（3＋2）＝5π（cm3）， ∴此几何体的体积V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝（48＋22π）（cm3）. 跟踪训练 8　解析：设AC＝a，CC1＝b，由题意易知△BC1D为等腰直角三角形，则×2＝a2＋b2，解得b2＝2a2，又△BC1D是面积为6的直角三角形，则＝×a2＝6，所以a2＝8，故此正三棱柱的体积为a2×b＝×8×＝8. 【例2】　（1）　（2）　 解析：（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，∴＝，点F到面D1ED的距离为1，∴＝＝××1＝. （2）由题意知圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 cm，则圆锥的底面半径为1 cm，高为1 cm，则圆锥的体积V＝×π×12×1＝（cm3）. 跟踪训练 D　如图，在直角三角形ABC中，AB＝2，∠CAB＝30°，则AC＝2cos 30°＝.将直角三角形ABC沿斜边AB旋转一周，旋转形成的几何体为两个同底的圆锥，如图所示，有CO＝ACsin 30°＝，所以所求几何体的体积V＝S圆O·AB＝π·OC2·AB＝π×（ ）2×2＝. 【例3】　解：如图所示，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，由题意知A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E，则E1E是等腰梯形ABB1A1的高.设O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1E1，OE，OO1，则四边形EOO1E1是直角梯形. 由题意知S侧＝4××（10＋20）×E1E＝780（cm2）， 解得EE1＝13 cm. 在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5 cm，OE＝AB＝10 cm， ∴O1O＝＝12 cm， ∴V正四棱台＝×12×（102＋202＋）＝2 800（cm3）. 故正四棱台的体积为2 800 cm3. 跟踪训练 A　设上、下底面的动点分别为P1，P2.过点P1作下底面的垂线，垂足为P'1，如图所示，有P1＝P'1＋（）2，由几何关系可知当P1，P2位于圆台轴截面上、下底边相对的顶点时，距离最大.因此，由已知可得方程组解得则圆台的体积V＝πh（＋＋r1r2）＝π. 【例4】　（1）A　（2）π∶2　 解析：（1）如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，则OO1⊥面ABC，OO1＝＝＝，所以三棱锥O-ABC的体积V＝S△ABC×OO1＝××1×1×＝. （2）作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC'＝a，OC＝a.在Rt△C'CO中，由勾股定理，得CC'2＋OC2＝OC'2，即a2＋＝R2，∴R＝a.从而V半球＝πR3＝π＝πa3，V正方体＝a3.因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2. 跟踪训练 1.A　由题意，圆柱的轴截面是球O的大圆的内接矩形，矩形的对角线是球的直径.设圆柱的高为h，球的半径为R，圆柱底面半径为r＝2，由π×22h＝16π得h＝4，所以2R＝＝＝4，R＝2，球O的表面积为S＝4πR2＝4π×（2）2＝32π. 2.3∶1∶2　 解析：设球的半径为R，则V柱＝πR2·2R＝2πR3，V锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，故V柱∶V锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2. 随堂检测 1.B　设球的半径为R，则V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V球＝πR3.所以V圆锥∶V圆柱∶V球＝∶2∶＝1∶3∶2. 2.C　如图所示，因为轴截面△PAB是正三角形，所以l＝2r，h＝r，圆锥的侧面积等于πrl＝2πr2，圆锥的体积等于πr2h＝πr3.由圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，得2πr2＝πr3，得r＝2. 3.解：如图，过C作CE垂直于AD，交AD的延长线于E， 则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE所在直线旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE所在直线旋转一周所得的圆锥的体积. 由题意可得CD＝2，AD＝2，CE＝ED＝2，AB＝5，AE＝4， 所以所求几何体的体积V＝V圆台－V圆锥＝π×（52＋5×2＋22）×4－π×22×2＝π. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $