11.1.6 第1课时 祖暅原理与柱体、锥体的体积（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 11.1.6祖暅原理与几何体的体积 第一课时 祖暅原理与柱体、锥体的体积 课程标准 素养解读 1.了解祖暅原理 通过求柱体、锥体的体积，培养学生的直观想象 2.掌握柱体、锥体的体积公式，会利用它们求有关几何体的 素养，提升学生的数学运算素养 体积 课前。预习学案 对应学生用书P51 [情境引入] 2.锥体中平行于底面的截面具有哪些性质？ 如图1所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以 [提示]在锥体与平行于底面的截面所构成的小 看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱 S小丝庭=S小作全=S小丝 组成的简单几何体.当这个几何体如图2所示水平 锥体中，有知下比例关系：S大一S天#安S大做 放置时，液面高度为20cm;当这个几何体如图3所 =对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之 示水平放置时，液面高度为28cm,如何求这个简 单几何体的总高度 ,儿=对应线段（如高、斜高、底面边长等）的 比了头静 立方之比 [预习自测] 20 1.一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，那么 图1 图2 图3 这个正三棱锥的体积是 ( [知识梳理] A.9 B号 C.7 [知识点一]祖暅原理 解析：A [设正三棱锥高为h,则有h= 1.祖暅原理的概念：“幂势既同，则积不容异”，即“夹 2 在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这 (15)2- =5,所以v-×× 两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相 等，那么这两个几何体的体积相等”。 62×√5=9.] 2.祖暅原理的应用：等底面积、等高的两个柱体或锥 2.若圆柱的侧面展开图是长12cm、宽8cm的矩形， 体的体积相等. 则这个圆柱的体积为 [知识点二]柱体、锥体的体积公式 解析：设圆柱的底面半径为rcm,高为hcm,则 1.柱体、锥体的体积公式： 名称 体积(V) h=8, {h=12,“{h=8M=12. 棱柱 Sh(S为底面面积，h为高) 柱体 V=mr2h=288cm或192cm. 元 圆柱 πrh(r为底面半径) 答案.288或192 1 元 棱锥 S(S为底面面积，h为高) 3.三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,PA=3,底面 锥体 ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P一ABC 圆锥 3rh(r为底面半径) 的体积为 解析：由棱锥的体积公式，得三棱锥P一ABC的体 2思考1.当几何体的形状不规则时，如何求体积？ [提示]当几何体形状不规则时，常用分割或补 积为号×要×2X3= 、4 形的方法将其变为一个或几个规则的、体积易求 答案：W 的几何体，再求其体积 ·94· 第十一章立体几何初步 课堂。互动学案 对应学生用书P51 题型一 柱体的体积 [例1]已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的 表面积为S,求其内接正四棱柱的体积 汇思路点拔直接利用柱体的体积公式求解. [解]如图所示，设圆柱 OO,为等边圆柱，正四棱 D [思路点拨]直接利用锥体的体积公式求解. 柱ABCD-A,BC1D1是 [解]在△PAD中，PA=AD=1,PD=√2 圆柱OO,的内接正四 ..PA2+AD=PD. 棱柱. .PA⊥AD,又PA⊥CD,且AD∩CD=D, 设圆柱的底面半径为r,则 0 .PA⊥平面ABCD,从而PA是底面ABCD上 高h=2r. D B 的高， :S表=S%十2S底=2πrh .Vg校维三 SwPA=号X1X1= 3 +2xr2=6πr2=5,.r√6 ,又正四棱柱ABCD 规律方法 A,B1C,D,的底边边长为AB=2rsin45°=√2r, (1)求锥体体积常利用锥体体积的计算公式V= ∴.正四棱柱ABCD-A,B,C,D1的体积V=S底·h 名S:么直接计第。 =82r=r=4/得-s (2)当锥体不易直接计算时，注意应用间接法求 9π 解 L-- 故该圆柱的内接正四棱柱的体积为SV6西 9π ◇[变式训练] 2.(1)用半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积 规律方法 为 棱柱和圆柱都是柱体，V体=S·h,关键是找出 相应的底面面积和高· 绵 ◇[变式训练] 1.底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条对角线长 C n 为2，且与该侧面内的底边所成的角为45°，求此三 (2)如图所示，已知ABCD-A,B,C1D1是棱长为Q 棱柱的体积。 的正方体，E,F分别为AA1,CC1的中点，则四棱锥 解：如图所示，由条件知此三棱柱为正三棱柱。 A,一EBFD1的体积为 D D ,正三棱柱的面对角线AB1=2,∠B1AB=45° ∴.AB=2Xsin45°=√2=BB1. V:t=Se·BB,=5×2)X2=⑤ 解析：(1)设圆锥的底面圆的半径为r,高为h, 4 2 则2πr=R,所以r= 题型二 锥体的体积 [例2]如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的 R,所以圆维的体积 2 正方形，PA⊥CD,PA=1,PD=√2，求此四棱锥的 体积。 2 ·95· 数学B版·必修第四册 (2)因为EB=BF=FD,=DEa+() [思路点拨]等积变换法也称等积变形法或等积 转换法，它是通过变换合适的底面来求几何体体 D1F∥EB 积的一种方法.求三棱锥的体积时常采用此方法： 所以四边形EBFD,是菱形. [解]：V三校维B-再DE=V三技绿形，一BDE, 连接EF,则△EFB≌△EFD1, 在△A,BC1中，D,E分别是A1B,BC1的中点， 易知三棱锥A1一EFB与三棱锥A1一EFD,的高 V三粒锥B,一BDE 相等， .DEL2AC心V=装，-A配， S△DE=1 S△A,C1 D :V三技继月-AC,=V三技B-A瓦G=3 4 得m 5。,即V 3 48 48 规律方法 0 等积变换法：利用三棱锥的“等积性”，即体积计算 时可以以任意一个面作为三棱锥的底面，在求三 棱锥体积或点到面的距离时，可选择容易计算的 故VA-BFD,=2VA,-FB=2Vr-mA,’ 方式. 又因为5am,=EA·AB=, ◇[变式训练] 3.如图所示的正方体ABCD 1 则VF-EA,=12a, A,B,C1D1的棱长为a,则三 B 棱锥A1一AB,D1的高为 所以V=2Vm=2VA=4 :体积为 解析：设三棱锥A1一AB,D, 答案：(1)A (26d 的高为h, 1 题型 等积变换法求锥体的体积 则V4名Ax9XEa4 41 6 [例3]如图所示，直三棱柱ABC 因为V,4=V与43aX分0 1 2a2、a 6 一AB,C1的侧棱和底面边长都 是a,截面AB,C和截面A1BC 所以g-晋所以。 6 , 相交于DE,求三棱锥B一B,DE 的体积. 所以三棱锥A一AB,D,的高为 3a. 答案。告 。6 随堂。步步夯实 对应学生用书P52 1.下列命题中正确的是 A.夹在两条平行线间的两个平面图形，被截得的 2.在梯形ABCD中，∠ABC=乏，AD∥BC,BC=2AD= 线段总相等，则这两个平面图形的面积相等 2AB=2,将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形 B.经过长方体相对的两个面的中心的任意平面，把 成的曲面所围成的几何体的体积为 长方体分成体积相等的两个柱体 A.R经 c D.2x C.夹在两个平行平面间的棱柱和圆柱，若轴截面的 解析：C[如图所示，此几何体是底 面积相等，则这两个几何体的体积相等 面半径为1，高为2的圆柱挖去一个 D.夹在两个平行平面间的任意几何体，只要截面 底面半径为1，高为1的圆锥，故所求 面积相等，则体积相等 解析：B[根据祖啦原理进行判断，故选B.] 体我V-2吾-经] ·96· 第十一章立体几何初步 3.如图，ABC-A'B'C'是体积为1的棱柱，则四棱锥 C-AA'B'B的体积是 解析：PB,=子AB,=1,V=子·SA匹·PB A 号×16X1= 答案：9 5.在Rt△ABC中，AB=3,BC=4,∠ABC=90°，把 △ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形 解析：Ve4c=Vc-C 3 成的几何体的体积是多少？ 12 解：如图所示，两个圆锥的底面 .Ve-AB=1-3=3 半径为斜边上的高BD, 答案：号 且BD=AB·BC_12 AC =5 4.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD一AB,C,D, 两个圆锥的高分别为AD和 中，P是AB,上一点，且PB,=A,B,则四棱锥P DC,所以V=V1+V2= 一BCC,B1的体积为 子BD·AD+子BD·CD D 号xBD·AD+CD)=子BD·AC=号元X (得)×5-s 故所形成的几何体的体积是8， 课后。素养提升 对应学生课时P24 ● 基础过关 解析：B[由题意知，以正方体各个面的中心为顶 JI CHU GUO GUAN 点的凸多面体是正八面体（即由两个同底等高的正 1.正方体的表面积为96，则正方体的体积为( 四棱锥组成)，所有棱长均为1，其中每个正四棱锥 A.48√6 B.64 C.16 D.96 的高均为 ，故正八面体的体积V=2V0地=2X 解析：B[设正方体的棱长为a,则6a2=96,∴.a= 4,故V=a3=43=64.] 专×1×号-号战选R] 2.将两个棱长为10cm的正方体铜块熔化后铸成一 4.(2021·北京卷，8)定义：24小时内降水在平地上积水 个底面边长为5cm的正四棱柱，则该正四棱柱的 厚度(mm)来判断降雨程度，其中小雨(<10mm),中 高为 ( 雨(10mm-25mm),大雨(25mm一50mm),暴雨 A.8 cm B.80 cm (50mm一100mm),小明用一个圆锥形容器接了 24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级 C.40 cm D.cm ( 解析：B[设正四棱柱的高为hcm,根据题意，得5 200mm ×5×h=2×10°3，解得h=80.故选B.] 3.若正方体的棱长为√2，则以该正方体各个面的中心 300mm 为顶点的凸多面体的体积为 ) A号 B号 150mm n号 A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨 ·97· 数学B版·必修第四册 解析：设底面边长为acm,高为hcm,则3ah=54, 解析：B[按相似，小圆锥的底面半径r= 2 mm 且h=45,解得a=10A=号 1 =50mm,故V小#=3×元X502×150mm=502, 答案：号 10 xmm,积水厚度=Y整=50·元 S大国元·1002 mm=12.5 10.如图，已知ABCD一A,B,C1D1是棱长为a的正 方体，E为AA,的中点，F为CC1上一点，求三棱 mm,属于中雨，选B.] 锥A一D1EF的体积. 5.(多选题)一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边 D 长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积分别 为 () A.2xa B. 2a2 D子 解析：BD [5.=2(号)+2x·号 a= 解：V三段A,-D,F=V三技FADE,因为S△AE= 3 3 2EA·AD=0,又三棱维F-A,DE的商 6.圆柱的侧面展开图是长12cm、宽8cm的矩形，则 为CD-a,所以VFA4E=子×aX子4=0， 1、 这个圆柱的体积为 cm ( ) 13 A.288元 B.192元 所以V三技你A,-D你=12· C.288 11.如图，直三棱柱ABC-A,B,C,的高为6cm,底面 元 D.192 三角形的边长分别为3cm,4cm,5cm.以上、下 解析：CD[设圆柱的底面半径为rcm,高为 底的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形 12πr=12, 或 2πr=8, hcm,则 成的几何体的表面积和体积. h=8 h=12, 6 (h=8, (h=12 V==cm2成1cm.】 7.正三棱柱底面边长为2，高为1，则其体积为 C 解：因为3+4=5，所以底面是直角三角形.所 解析：底面积S×2=B,所以V=月 以上，下底面内切圆半径，=3十45=1(cm.所 2 答案：√3 8.如图所示，三棱锥的顶点为P,PA, 以5=(3+4+5)×6+2×(2×3×4-2x×1 PB,PC为三条侧棱，且PA,PB, +2π×1×6=72+12-2π+12x=(84+10π) PC两两互相垂直，已知PA=2, (cm),V=2×3×4X6-xX12X6=(36-6x) PB=3,PC=4,三棱锥P-ABC的B 体积V= (cm3).故剩余部分形成几何体的表面积是(84十 10π)(cm2),体积是(36-6π)(cm3). 1 1 解析：V=3·S·h=3·Sac·PB= 1 ×2 能力提升 NENG LI TI SHENG 2×4×3=4. 12.(2021·天津卷，6)两个圆锥的底面是一个球的同 答案：4 9.(多空题)正三棱柱的侧面积为54cm,体积为 一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个 45√3cm3,则此棱柱的高为 cm,底面边 圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和 长为 cm. 为 () ·98· 第十一章立体几何初步 A.3x B.4x 13.如图所示，正方体ABCD一A,B,C,D1的棱长为 C.9π D.12元 a,过顶点B,D,A1截下一个三棱锥. 解析：B[如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为 C 点D, B 设球的半径为R,则4R=32,可得R=2, 3 3 因为圆锥AD和圆锥BD的高之比为3：1， D 即AD=3BD, (1)求剩余部分的体积： (2)求三棱锥A一A1BD的高. 解：(1)由题意，正方体ABCD一A1B1C,D1的棱 长为a,则正方体的体积为V正方你=a,根据三棱 1 锥的体积公式，可得V三段能A,-AD=3·S△ABD· AA=子7AB:AD:A,A=C 所以，AB=AD+BD=4BD=4, 所以剩余部分的体积V=V正方体一V三枝A,ABD 所以，BD=1,AD=3, 因为CD⊥AB,则∠CAD十∠ACD=∠BCD+ ∠ACD=90°，所以，∠CAD=∠BCD, 1 (2)由(1)知V三校整A-AD=V三技维A,-ABD=6Q, 又因为∠ADC=∠BDC,所以，△ACD∽△CBD, 所以品器cDa0而， 设三棱锥A一A1BD的高为h,则V三校维A-AD= 因此，这两个国维的体积之和为了xXCD·(AD +BD)=3X3X4=4红. 1 6 6 故选：B.] 第二课时 台体与球的体积 课程标准 素养解读 1.掌握台体和球的体积公式 运用台体、球的体积公式进行计算，培养学生的 2.会计算台体、球的体积，利用体积公式解决有关组合体 直观想象素养和逻辑推理素养，提升学生的数 问题 学运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P53 [情境引入] 问题如何计算球的体积？ 街道旁，随时能见到用大理石磨成的光滑的大球。 提示 Ve香R [知识梳理] [知识点一] 1.台体的体积 棱台与圆台统称为台体，台体的体积的计算公式是 V=3(S+5SS+S),其中，S,S分别是台体 上、下底面的面积，h为台体的高 ·99·