11.1.6 第2课时 台体与球的体积（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十一章立体几何初步 A.3x B.4x 13.如图所示，正方体ABCD一A,B,C,D1的棱长为 C.9π D.12元 a,过顶点B,D,A1截下一个三棱锥. 解析：B[如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为 C 点D, B 设球的半径为R,则4R=32,可得R=2, 3 3 因为圆锥AD和圆锥BD的高之比为3：1， D 即AD=3BD, (1)求剩余部分的体积： (2)求三棱锥A一A1BD的高. 解：(1)由题意，正方体ABCD一A1B1C,D1的棱 长为a,则正方体的体积为V正方你=a,根据三棱 1 锥的体积公式，可得V三段能A,-AD=3·S△ABD· AA=子7AB:AD:A,A=C 所以，AB=AD+BD=4BD=4, 所以剩余部分的体积V=V正方体一V三枝A,ABD 所以，BD=1,AD=3, 因为CD⊥AB,则∠CAD十∠ACD=∠BCD+ ∠ACD=90°，所以，∠CAD=∠BCD, 1 (2)由(1)知V三校整A-AD=V三技维A,-ABD=6Q, 又因为∠ADC=∠BDC,所以，△ACD∽△CBD, 所以品器cDa0而， 设三棱锥A一A1BD的高为h,则V三校维A-AD= 因此，这两个国维的体积之和为了xXCD·(AD +BD)=3X3X4=4红. 1 6 6 故选：B.] 第二课时 台体与球的体积 课程标准 素养解读 1.掌握台体和球的体积公式 运用台体、球的体积公式进行计算，培养学生的 2.会计算台体、球的体积，利用体积公式解决有关组合体 直观想象素养和逻辑推理素养，提升学生的数 问题 学运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P53 [情境引入] 问题如何计算球的体积？ 街道旁，随时能见到用大理石磨成的光滑的大球。 提示 Ve香R [知识梳理] [知识点一] 1.台体的体积 棱台与圆台统称为台体，台体的体积的计算公式是 V=3(S+5SS+S),其中，S,S分别是台体 上、下底面的面积，h为台体的高 ·99· 数学B版·必修第四册 2.球的体积 解析：C[由题意，球的直径与正方体棱长相等，设 球的半径为R,则V=号 正方体棱长为a,则6a2=6,故a=1,所以V= 3.组合体 由几个柱、锥、台、球等组合而成的几何体称为组合 专r(2)'=gem).] 体，求组合体的体积（表面积）时，只需要算出其中 每个几何体的体积（表面积），然后再处理即可， 2.若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该 ?思考1.组合体的体积是各个几何体的体积之 棱台的体积为 和吗？ [提示]不一定，要看这几个几何体如何组合，也 解析：V。=子(S十V53+S)=3×3(4十 可能为体积的差. 2.柱体、锥体、台体的体积之间有何联系？ √/4×16+16)=28. [提示]V=sMV=÷S+Ss+ShS=9V=号M 柱体 台体 锥体 答案：28 所以柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的 3.一个球的表面积是16π，则它的体积是 特例. [预习自测] 解析：设球的半径为R,则由题意可知4πR=16π， 1.一个球的外切正方体的全面积等于6cm,则此球 的体积为 ( ) 故R=2.所以球的体积V= 3R=32 元 4 A.x cm B.6 元cm3 答案号 1 C.cm D.6 cm 课堂。互动学案 对应学生用书P54 题型一 台体的体积 ∴.O1O=√/E1E2-(OE-O1E1)2=12, [例1]已知正四棱台两底面边长分别为20cm和 V正四台 ×12X(102+202+10×20) 3 10cm,侧面积是780cm.求正四棱台的体积. 汇思路点拨]求出棱台的高，利用台体的体积公 =2800(cm3), 故正四棱台的体积为2800cm3. 式求解 [解]如图所示，正四 规律方法 D C 棱台 ABCD 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台 0 A A1B1C1D1中，AB1= 体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆 10 cm,AB=20 cm. 台的轴截面寻求相关量之间的关系 取A1B1的中点E1,AB ◇[变式训练] 的中点E,连接EE, 1.圆台上底的面积为16πcm2,下底半径为6cm,母 则E1E是侧面ABB1A1 线长为10cm,那么，圆台的侧面积和体积各是 的高 多少？ 设O,O分别是上、下底面的中心，连接OE1, 解析：如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为 OO,OE, 4 cm, 则四边形EOO,E,是直角梯形， 由Sw=4×210+20)·EE=780,得EE,=13. 在直角梯形E0OE中，OE,=之A1B1=5, 0E=2AB=10, 于是S国台%=元(r+r')l=100π(cm2). ·100· 第十一章立体几何初步 圆台的高h=BC=√JBD-(OD-AB) 汇思路点拨]先判断由哪些几何体组合得到的组 √102-(6-4)=4√6(cm), 合体，分别求出各几何体的体积（表面积），再结合 V圆台三 (5+5+S)= 三×4√6×(16元+ 图形进行计算。 [解]在梯形ABCD中，∠ABC=90°， AD∥BC,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°， √16πX36元+36π) 3046(cm2). ..CD=BC-AD 题型二 球的体积 cos 60 二2a [例2] 已知球的直径为6cm,求它的表面积和 AB=CDsin60°=√3a, 体积. .DD'=AA'-2AD=2BC-2AD=2a, [思路点拨]直接利用球的体积公式求解。 ∴D0=3DD'=a. [解析]：直径为6cm,.半径R=3cm, 由于以I为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几 .表面积S缘=4πR=36π(cm2), 何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥. 体积V.=音R=36xem. 由上述计算知，圆柱母线长√3a,底面半径2a; 规律方法 圆锥的母线长2a,底面半径a. 球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球 .圆柱的侧面积S1=2π·2a·√3a=4√3πa2, 半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的 圆锥的侧面积S2=元·a·2a=2ra2, 直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要 圆柱的底面积S3=π(2a)2=4πa2, 方法 圆锥的底面积S4=πa2, ◇[变式训练] .组合体上底面积S=S,一S4=3πa2,.旋转体 2.(1)若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积 的表面积S=S1十S2十S,+S=(4W3+9)πa2. 扩大为原来的 ( ) 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体 A.8倍B.4倍C.2√2倍 D.2倍 积减去一个圆锥的体积. (2)三个球的半径之比为1：2：3，那么最大的球 V#=Sh=元·(2a)2·√3a=4√3πa3. 的体积是其他两个球的体积和的 ) A.1倍B.2倍C.3倍 D.4倍 V.=日5%=x·公·。-9w 解析：(1)大圆的面积扩大为原来的2倍，半径扩大为 w=v。。=4w-9a"w 3a3. 原来的√2倍，所以球的体积扩大为原来的2√2倍 (2)设三个球的半径分别为1,2,3，则大球的体积 规律方法 求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成， V=4 π×3=36π，两个小球的体积和V,十V, 其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然 πX13+2)=12x.则最大球的体积是其他两个 4 后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相 减，求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体 球的体积和的3倍， 的体积，然后再相加或相减。 答案：(1)C(2)C ◇[变式训练] 题型 组合体体积（表面积） 3.(1)如图，有一个水平放置的无盖正 [例3]如图，梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC= 方体容器，容器高8cm,将一个球放 90°，AD=a,BC=2a,∠DCB=60°，在平面ABCD 在容器口，再向容器内注水，当球面 内过点C作（⊥CB,以1为轴旋转一周.求旋转体 恰好接触水面时测得水深为6cm, 的表面积和体积。 若不计容器的厚度，则球的体积为 ( A.500x 3 cm3 B.866z cm 3 C.1372x 3 cm' D.2048x 3 m ·101· 数学B版·必修第四册 (2)如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体 (2)设内切球的半径为r,即圆O1的半径为r, 木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的 ,△SAB的周长为2X(12√2+4√2)=32√2， 底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心)， 则该器皿的表面积S为 rX32E-号×8EX16,解得=4. 32-256 故圆锥内切球的体积V。= 规律方法 球与几何体的切、接问题的解题思路 1.球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面 上，解题时要认真分析图形，一般需依据球和几 A.54 B.54+2元 何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几 C.54十元 D.54+3元 何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并 解析：(1)设球的半径为Rcm,根据已知条件知正 作出合适的截面进行求解. 方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm, 2.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当 球心到截面圆的距离为(R一2)cm,所以由42+(R 的截面（一般作出多面体的对角面所在的截 面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且 3R= -2)=R,得R=5,所以球的体积为V= 能反映出几何体与球的位置关系和数量关系。 xX5=50r(em). 4 ◇[变式训练] 3 4.半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为√6， (2)器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减 则这个半球的体积为 去半径为1的圆的面积，再加上半径为1的半球的 解析：过正方体对角面作截面如 表面积，即器皿的表面积S=6×(3×3)一π×1十 图所示，设半球的半径为R,因为 分×(4rX1')=54-x+2x=54寸网 正方体的棱长为√6，所以CC' 答案：(1)A(2)C 5,00号x6-5 题型四 球的切、接问题 在Rt△CCO中，由勾股定理，得 [例4幻一个高为16的圆锥内接于一个体积为972 的球，在圆锥里又有一个内切球.求： CC2+OC2=OC2,即（√6）2+（√3）2=R2, (1)圆锥的侧面积； 所以R=3.故Va=2×号R=18 (2)圆锥内切球的体积. 答案：18元 [思路点拨]选取适当的截面，找出球的半径，利 5.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为α，顶 用平面九何知识解决问题， 点在一个球面上，则该球的表面积为 () [解析](1)如图所示，作出轴 A.元a2 截面，则等腰三角形SAB内接 B. 于圆O,而圆O,内切 0 C.H D.5πa2 于△SAB. 解析：B[如图所示，设O,OA 设圆O的半径为R,则有 0 分别为上、下底面的中心，连接 3元R3=972x,∴R=9, OO1,则球心O2为OO1的中 03 ∴.SE=2R=18. 点，连接AO并延长交BC于 .SD=16,.ED=2. D点，连接AO2. 连接AE,又SE是圆O的直径，.SA⊥AE, :AD-9,A0=号AD-号 3 .SA2=SD×SE=16×18=288,SA=12√2. ,AB⊥SD,D为AB中点， ,0,=号A0=2+=,故孩球的 .AD2=SD·DE=16×2=32,AD=4V2 ∴.S圆锥侧=π×ADXSA=πX4√2X12V2=96π. ·102 第十一章立体几何初步 随堂。步步夯实 对应学生用书P55 1.一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球 的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为() A.4:9 B.9:4 C.4:27 D.27:4 解析：C[设球的半径为r,则圆锥的底面半径是 解析：水面高度上升r,则圆柱体积增加xR2·r, 3,设园维的高为么，则学x=了x(3r),解得力 恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此得号 = ，所以国维的高与底面丰径之比为务】 4 2.圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是 =R2·r,.R-23 31 6π，这个圆台的体积是 ( A.23x 答案 3 B.2√3元 5.如图所示，在三棱柱ABC一A1B1C中，E,F分别 C.78x D.73 为AB,AC的中点，平面EB,C1F将三棱柱分成两 6 3 部分，求这两部分的体积之比. 解析：D[设上、下底面半径为r',r,母线长为l, r=1, 则{r2=4π， ∴{r=2, x(r'+r)·l=6π，l=2. 圆台的高h=√-(r-r)=3, V.-() 3 3.圆柱形容器的内壁底半径是10cm,有一个实心铁 解：截面EB,CF将三棱柱分成两部分，一部分是 球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器 三棱台AEF-AB,C1,另一部分是一个不规则几 的水面下降了？cm,则这个铁球的表面积为 何体，故可以用棱柱的体积减去棱台的体积求得. cm. 设棱柱的底面积为S,高为h,则△AEF的面积为 解析：设该铁球的半径为，则由题意得 青X=xX10×号，解得r==5 s ∴.这个铁球的表面积S=4π×52=100π(cm2) 答案：100π 剩余的不规则几何体的体积为 4.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中，装 7 有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水 V=VV=ASAS=S,所以两年分的体 面高度恰好升高，则尽 积之比为V1:V2=7:5. ● 课后。素养提升 对应学生课时P26 基础过关 解析：C[设气球原来的半径为r,体积为V,则V JI CHU GUO GUAN 4 1.若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增 3,当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体 大到原来的 ( ) 积变为原来的2=8倍.] A.2倍 B.4倍 2.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的 C.8倍 D.16倍 体积为誓，则正方体的棱长为 ·103· 数学B版·必修第四册 A.⑥ B③ C.在台体的体积公式中令S'=0,即可得锥体的体 2 积公式V-号S:A C.3 D.1 解析：C[设正方体棱长为a,球半径为R, D.若圆台的上、下底面半径分别为r,R,高为h,则 则号R-号，R-2a=3a=点.] VR台=3a(R+R+) 解析：ACD[球的体积与球的半径的立方成正比， 3.(2021·新高考Ⅱ卷，5)正四棱台的上、下底面的边 半径越大，体积越大，A、C、D正确.] 长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为 ( 6.(多选题)若一个球的直径为d,体积为V球，一个正 A.20+12√3 B.28√2 方体的棱长为a,体积为V正，且它们的表面积相 c. D. 同，则有 () A.da B.V球<V正 解析：D[考查棱台体积的计算。 C.d<a D.V球>V正 如图，高h=√22-（√2）2=√2， 解析：AD[球直径为d,则表面积S=πd.正方体 V=3(S+5S+S,h= 棱长为a,则表面积为6a2.由πd=6a2,.d>a2, 即d>a,又Vg= d 8 =a2·d,Ve= 号×E(4+4X2+2)=282] 3 a3,.V>V正.] 4.球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积 7.圆台的高是4，母线长是5，侧面积是45π，则它的体 与圆台的侧面积之比为3：4，则球的体积与圆台 积是 的体积之比为 解析：作圆台的轴截面。 A'r0' A.6:13 B.5:14 设上底面半径为r,则下底面 C.3:4 D.7:15 半径为r十3， 则侧面积45π=π(r十r十3)A 解析：A[如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形 ×5, ABCD,球的大圆O内切于梯形ABCD,设球的半 径为R,圆台的上、下底面半径分别为r,r2,由平 r=3,Va6-号×4(9+36x+18x)=84x 面几何知识知，圆台的高为2R,母线长为r十r2 答案：84π 01 8.若一个三棱棱台的上、下底面面积分别为8,18，高 为5，则该棱台的体积为 解析：V。=专(S十5S+S)= 3×5(8+ √8×18+25)=75. 02 答案：75 :∠AOB=90°，OE⊥AB(E为切.点)， 9.(多空题)正三棱锥的高为1，底面边长为2√6，内 ∴.R2=OE2=AE·BE=r1·r2 有一个球与它的四个面都相切，则内切球的表面积 由已知S球：S国台%=4πR2：π(r1十r2)2=3：4, 为 ,体积为 t)-. 解析：，正三棱锥的高为1，底面边长为2√6，.V 号××(2,6X1=2,设内切球的丰轻为 V球：V国台 手R r,以球心O为顶，点，棱锥的四个面为底面把正三棱 3π(+rn十r)·2R 1 锥分割为四个小棱锥.又正三棱锥的斜高为 2R2 2R2 r+r2)2-r1r216R2-R213·] h+(3×9×2=3×9×(26 3 5.(多选题)下列命题正确的是 r+3·号×2×26X6·r=2,r=6 A.台体的体积公式中令S=S',则得到柱体的体积 公式V=S·h 2.∴S#=46-2)元，体积V=号6-2)元 B.球的体积与球的半径成正比，球的体积越大，半 答案：4(6-2)元专6-2)元 径越大 ·104· 第十一章立体几何初步 10.三棱台ABC-AB,C中，AB: 由Rt△AO,DpRt△DOE, AB,=1:2,求三棱锥A1 得O,D=AO1·O,E,解得a=2√2. ABC,三棱锥B-A1B1C,三棱 锥C-ABC的体积之比. 故V= 5w·A0=××。- 3 解：设三棱台的高为h,S△ABC= 能力提升 NENG LI TI SHENG S,则S△AB,S=4S.所以VA,-Ae=3S△ABc·h 12.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的 号50，VcA45=号5a45·h=号5h.又因为 1 高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的 体积之比为 。=号A(S+4S+2S)=号S,所以V。4c 3 3 号5弘，所以体积比为1：2：4。 解析：设球的半径为R,则V#=πR2·2R=2πR, 11.已知正四面体ABCD的外接球的体积为4√3π， V=3R·2R=号R,Ve=者R,故Va 求正四面体的体积 解：法一：将正四面体ABCD置于 V。V=2R:号R:告R=31:2 正方体中，如图所示， 答案：3：1：2 则正四面体的外接球即为正方体 13.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径 的外接球，正方体的对角线即为球 为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的 的直径. 圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直 设外接球的半径为R, 径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢 由V-R=4元得R=5, 出杯子，怎样设计最省材料？ 所以正方体的棱长为2，所以AB=2√2， 所以5m=3×2EX22×-25 因为点A到平面BCD的距离L=号X2R=4YE 3 所以V=子SmXM= 解：设圆锥形杯子的高为hcm, 法二：如图所示，设正三角形 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子， BCD的中心为O1,O为球心，正 则必须V国维≥V半球， 四面体ABCD外接球的半径为 0 R,连接OD. 由已知得号xR-45x, 故R=√3 依题意：号××≥×管X4, 因为AE为球的直径， 解得h≥8， 所以AD⊥DE,AE⊥O,D. 即当圆锥形杯子杯口直径为8cm,高大于或等于 成An=a,期0n=号× 3a, 8cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子 故A0,=√AD-O,D- 又因为S国锥侧=元rl=元r√h十r, 34. 当圆锥高取最小值8时，S圆维侧最小， 所以OE=2R-A0,=25- 所以高为8cm时，制造的杯子最省材料. 3. ·105·