11.1.4 棱锥与棱台（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 11.1.4棱锥与棱台 课程标准 素养解读 1.利用实物观察图形，认识棱锥、棱台的几何结构特征 通过利用实物归纳棱锥、棱台的结构特征及其 2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，进行 表面积的计算，培养学生的数学抽象素养，提升 简单计算，会求表面积 学生的直观想象、数学运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P41 [情境引入] 4.正棱锥的有关概念及其特征：如果棱锥的底面是正 金字塔在埃及和美洲等地均有分布，今天的苏丹和 多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底 埃及境内，也就是现在的尼罗河下游散布着约80 面，则称这个棱锥为正棱锥，可以看出，正棱锥的侧 座金字塔遗迹 面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形 底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高： 5,正棱锥中的直角三角形的应用 已知正棱锥如图（以正四棱锥为例），其高PO,底面 为正方形，作PE⊥CD于E,则PE为斜高. 问题从金字塔中可以看出怎样的几何体？ 提示棱锥. [知识梳理] [知识点一]棱锥 1.棱锥的定义：如果一个多面体有一个面是多边形， (1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC 其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个 (2)斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE. 多面体为棱锥.如图所示，棱锥可记作：棱锥S (3)侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC. ABCD或棱锥S-AC. 一顶点 2思考1.正棱锥有什么特点？ 高 [提示](1)正棱锥的侧棱都相等，底面是正多边 侧棱 侧面 形，侧面是全等的等腰三角形；(2)正棱锥的高、侧 D 棱和侧棱在底面上的射影组成一个直角三角形， 0 底面 斜高、侧棱、底边的一半组成一个直角三角形，高、 斜高和斜高在底面上的射影也组成一个直角三角 2.棱锥中的相关概念： 形 底面（底）：是多边形的那个面； [知识点二]棱台 侧面：有公共顶点的各个三角形； 1.棱台的定义：一般地，用平行于棱锥底面的平面去 侧棱：相邻两侧面的公共边； 截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台.如 顶点：各侧面的公共顶点； 图所示，棱台可记作：棱台ABCD一A'B'C'D'. 高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线 段（或它的长度）； 侧面积：所有侧面的面积之和. 3.棱锥的分类： 上底面 侧面 侧棱 ①依据：底面多边形的边数； D ②举例：三棱锥（底面是三角形）、四棱锥（底面是四 下底面 边形)… 顶点 ·76· 第十一章立体几何初步 2.棱台中的相关概念 [预习自测] (1)上底面：原棱锥的截面； 1.下列关于棱锥、棱台的说法正确的有 ( (2)下底面：原棱锥的底面； ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两 (3)侧面：其余各面； 个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且 (4)侧棱：相邻两侧面的公共边； 相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两 (5)顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点； 个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体 (6)高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个 是棱台 底面的垂线所得到的线段（或它的长度）： A.0个 B.1个C.2个D.3个 (7)侧面积：所有侧面的面积之和. 解析：A[①错误，由五个面围成的多面体可能是 3.棱台的分类： 三棱柱；②错误，仅有两个面互相平行的五面体可 ①依据：由几棱锥截得； 以是三棱柱；③④错误，棱台的侧棱延长线必须交 ②举例：三棱台（由三棱锥截得）、四棱台（由四棱锥 于一点.故选A.门 截得)… 2.给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全 4.正棱台的有关概念及其特征： 等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底 由正棱锥截得的棱台称为正棱台，不难看出，正棱 面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧 台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱 棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的 台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯 侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形.其中正确 形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高. 命题的序号有 ( 5正棱台中的直角梯形的应用 A.①②③④ B.①②③ 已知正棱台如图（以正四棱台为例），O,O分别为 C.②③ D.③ 上、下底面中心，作OE⊥BC,于E,OE⊥BC于 解析：D[对于①，棱柱的侧面不一定全等，故错 E,则EE为斜高， 误；对于②，由棱台的定义可知只有当截面与底面 平行时，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，故 错误；对于③，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其 三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相 邻平面，故正确；对于④，棱台的侧面不一定是等腰 梯形，故错误.故选D.门 (1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E,ECC1· 3.如图所示，下列关于这个几何体的说 (2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O,E,EO. 法正确有的 (3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O,OCC1· ①这是一个六面体；②这是一个四棱 ?思考2.如何判断一个几何体是棱台？ 台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截 去一个三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一 [提示]需具备两个特征：(1)上、下底面平行且 相似；(2)侧棱延长线交于一点.二者缺一不可. 个三棱柱得到. 解析：①正确，因为几何体有6个面，所以属于六面 3.正棱台有怎样的性质？ 体的范围；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一 [提示](1)正棱台的各侧棱都相等，侧面均为全 点，所以不正确；③正确，如果把几何体放倒就会发 等的等腰梯形； 现是一个四棱柱；④⑤都正确，如图所示. (2)两底面及平行于底面的截面是相似正多边形： (3)两底面中心连线、对应的两底面内切圆半径 斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和 两底面外接圆半径组成一个直角梯形；上下底面 相应边长的一半，侧棱和斜高也组成一个直角梯 形， 答案：①③④⑤ ·77· 数学B版·必修第四册 课堂。互动学案 对应学生用书P42 题型一棱锥和棱台的概念及结构特点 ◇[变式训练] [例1](1)下列说法正确的是 1.(1)以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把 一个三棱台分成三棱锥的个数为 ①棱锥的侧面不一定是三角形；②棱锥的各侧棱长 A.1 B.2 C.3 D.0 一定相等；③棱台的各侧棱的延长线交于一点； (2)(多选题)下列关于棱锥、棱台的说法正确的是 ④有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几 何体是棱台. A.棱台的侧面一定不会是平行四边形 (2)下列三个命题，其中不正确的是 B.棱锥的侧面只能是三角形 ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部 C由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 分是棱台： D.棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面 解析：(1)如图，三棱台ABC-A1B1C可分割成三 体是棱台； 棱锥A1一ABC,三棱锥B1-A,BC1,三棱锥C ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的 A1BC1,共3个. 六面体是棱台. 汇思路点拨]依据棱锥、棱台的结构特点逐一 判断： [解析](1)棱锥的侧面是有公共顶点的三角形， 但是各侧棱不一定相等，故①②不正确；棱台是由 平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各个侧棱 (2)A正确，棱台的侧面一定是梯形， 的延长线一定交于一点，③正确；棱台的各条侧棱 而不是平行四边形；B正确，由棱锥 必须交于一点，故④错误 的定义知棱锥的侧面只能是三角形； (2)必须用一个平行底面的平面去截棱锥，棱锥底 C正确，由四个平面围成的封闭图形 面和截面之间的部分才是棱台，故①不正确：两个 只能是三棱锥；D错误，如图所示四 底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体并不 棱锥被平面截成的两部分都是棱锥。 能说明各条侧棱是否交于一点，故不能判定②正 答案：(1)C(2)ABC 确：有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形 题型三 棱锥的有关计算 的六面体不一定是棱台，③不正确 [例2]已知正四棱锥的高为√，侧棱长为√7，求： [答案](1)③(2)①②③ (1)正四棱锥的底面边长和斜高； 规律方法 (2)正四棱锥的侧面积 判断棱锥、棱台形状的两个方法 [思路点拨]根据棱锥的结构特征，构造直角三 (1)举反例法： 角形求解. 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、 [解](1)如图，在正四棱锥S 棱台结构特征的某些说法不正确」 ABCD中，高OS=√5， (2)直接法： 侧棱SA=SB=SC=SD=√7， 棱锥 棱台 则△SOA为直角三角形 只有一个面是多 在Rt△SOA中，：OS=√3，SA 两个互相平行的面， 定底面 边形，此面即为 √7，.OA=2,.AC=4, 即为底面 底面 ,四边形ABCD为正方形， .AB=BC=CD=DA=2√2 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 作OE⊥AB交AB于E,则E为AB的中点，SO⊥ 78· 第十一章立体几何初步 OE.连接SE,则SE即为正四棱锥的斜高. [解]设棱台两底面的中心分别是O和O,B'C', 在R△s0E中，OE=2BC=E,S0=5, BC的中点分别是E',E,连接OO,E'E,OB,OB', OE',OE,则四边形OBB'O,OEEO'都是直角梯 ∴SE=√5，即正四棱锥的斜高为√5 形，且OO=17cm. 故正四棱锥的底面边长为2√2，斜高为√. 在正方形ABCD中，BC=16cm,则OB=8√2cm, (2)由1)知5u=号×22x5=. OE=8cm,在正方形A'B'C'D'中，B'C'=4cm,则 所以正四棱锥的侧面积为S=4XS△s4B=4√10. OB'=2√2cm,O'E'=2cm. 规律方法 在直角梯形OOBB'中，BB 正棱锥的高是顶点与底面中心 OO+(OB-OB)z=√172+(8√2-22)2= 的连线，在正棱锥的计算中需要 19(cm). 构造直角三角形，正棱锥的高、 在直角梯形OOEE'中，EE= 斜高和斜高在底面上的射影组 0 成一个直角三角形；正棱锥的 √OO+(OE-OE)=√17+(8-2)2=5√/13(cm). 高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角 故这个棱台的侧棱长为19cm,斜高为5√13cm. 三角形；正棱锥的侧棱、底面边长的一半和斜高也 D' 组成一个直角三角形.如图所示，△VOE,△VOB 和△VBE都是直角三角形，像这样的直角三角形 称为正棱锥的特征三角形. D ⊙[变式训练] 2.正四棱锥的底面边长为3，侧棱长为2√3，求正四 棱锥的高 规律方法 解析：作出正四棱锥如图，SO为其高，连接BO, 正棱台中两底面中心的连线、相应的边心距和斜 高组成一个直角梯形；两底面中心的连线、侧棱和 两底面外接圆相应的半径也组成一个直角梯形. ◇[变式训练] 3.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm 和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且 (注AD为虚线)则在Rt△SOB中，SB=2√5，OB 侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和 -产2S0=SB-0B-,故正四棱徐的 2 侧棱长 高为30 解：如图，在三棱台ABC一 2 A'BC'中，O,O分别为上、下 题型】 棱台的有关计算 底面的中心，D,D'分别是BC, [例3] 如图，正四棱台ABCD一A'B'C'D'的高是 B'C'的中点，连接OO,OD', 17cm,两底面的边长分别是4cm和16cm,求这 OD,DD',则DD'是等腰梯形 个棱台的侧棱长和斜高 D' BCCB的高，所以S=3X号×(20+30)XDD =75DD'.又A'B=20cm,AB=30cm,则上、下底面面 积之和为5.十5，=5×(202+30)=3255(m). D 由S%=S上十Sx,得75DD'=325√5，所以DD= [思路点拨]构造直角梯形OBB'O,OOEE在 是5em,又0n'-9×20=165(cm. 3 直角梯形中，利用平面几何知识求解. ·79· 数学B版·必修第四册 OD=5×30=55(cm),所以棱台的高为h=00 规律方法 6 多面体展开图问题的解题策略 =√D'D-(OD-OD)' (1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合 多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲 =4√5(cm). 手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体 的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后 在直角梯形BDD'B'中，B'D'=10cm,BD= 依次画出各侧面，便可得到其表面展开图. 15cm.DD=135BB=/5-10y+ 133 (2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面 3 3 展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把 2w√183 上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能 (cm).故棱台的高为4√3cm,侧棱长为 3 是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面 2√/183 展开图. cm. ⊙[变式训练] 题型四棱锥、棱合的展并图及其计算 4.如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几 何体？ [例4幻如图，在侧棱长为2√5的正 三棱锥V一ABC中，∠AVB= ∠BVC=∠CVA=40°，过点A作 截面△AEF,求截面△AEF周长 的最小值. ① ② 汇思路点拨]沿VA剪开，在平面图形中求解. 解：图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等 的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形， [解]沿着侧棱VA把正三棱 A'(A) 且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特 锥V一ABC展开在一个平面 23 点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一 内，如图 点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把表 则AA'的长即为截面△AEF 面展开图还原为原几何体，如图所示： 周长的最小值，且∠AVA'=3×40°=120°.在 △VAA'中，AA'=2X23×5 =6,故截面△AEF 周长的最小值为6. ① ② 所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台 随堂。步步夯实 对应学生用书P44 1.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是 解析：B[结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱 柱，②是棱锥，③是棱台，④不是棱锥，故B错误.] 2.具备下列条件的多面体是棱台的是 A.两底面是相似多边形的多面体 B.侧面是梯形的多面体 ② C.两底面平行的多面体 D.两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体 解析：D[棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体 要成为棱台应有两个条件：一是上、下底面平行；二 ④ 是各侧棱延长后必须交于一点，选项C只具备一个 A.①是棱柱 B.②不是棱锥 条件，选项A、B则两条件都不具备.] C.③不是棱锥 D.④是棱台 ·80· 第十一章立体几何初步 3.一个五棱台有 条对角线 5.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2√3，求正三 解析：五棱台ABCDE-A1B,C,DE1的对角线有 AC,AD,BD,BE,CE,CA,DA,DB;EB, 棱锥的高。 EC共10条. 解：作出正三棱锥如图，SO为其 答案：10 4.如图，三棱台ABC-A'B'C',沿A'BC截去三棱锥 高，连接AO,作OD⊥AB于，点 A'一ABC,则剩余部分是 D,则点D为AB的中点.在 R△AD0中，AD=号∠OAD 3 解析：在图中截去三棱锥A'一ABC后，剩余的是以 =30°，故AO= cos∠OAD =√3.故S0 BCCB'为底面，A'为顶，点的四棱锥。 答案：四棱锥A'一BCCB √SA-AO=3,故三棱锥的高为3. 课后。素养提升 对应学生课时P19 基础过关 5.(多选题)如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角 JI CHU GUO GUAN 1.下列几何体是棱台的是 形，那么这个棱锥可能是 ( ) A.正三棱锥 B.正四棱锥 C.正五棱锥 D.正六棱锥 解析：ABC[正六棱锥六个侧面等边三角形顶，点 处内角和为360°，在一个平面上，这是不可能的.] 6.某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱 解析：D[根据棱台的定义，只有D是棱台.] 锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形 2.若棱台上、下底面的对应边之比为1：2，则上、下 面上写上了“年”字，当灯顺时针旋转时，正好看到 底面的面积之比是 “新年快乐”的字样，则在①、②、③处可依次写上 A.1:2 B.1:4 C.2:1 D.4:1 解析：B[由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相 ① 似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B.] 3.一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与 ② 底面面积之比为4：9，则此棱锥的侧棱被分成的 ③ 上、下两部分长度之比为 A.4:9 B.2:1 A.乐、新、快 B.快、新、乐 D.2:√5 C.新、乐、快 D.乐、快、新 C.2:3 解析：B[截得截面与底面多边形相似，故边长比 解析：B[根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐” 为2：3，所以侧棱上、下两部分长度之比为2：1.] 的字样，可知顺序为②年①③，故选B.] 4.一个正三棱锥的底面边长为3，高为√6，则它的侧 7.下列说法中正确的说法的序号是 棱长为 ( ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何 A.2 B.2√5 体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台； C.3 D.4 ②棱台的任意两条侧棱所在直线一定相交： 解析：C[连接底面中心与底面三角形的一个顶 ③两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是梯 点，则长度为3X9=5,侧棱长为1 形的几何体不一定是棱台； ④两个互相平行的面是矩形，其余各面是梯形的几 √(5)2+（√6）2=3.] 何体是棱台 81· 数学B版·必修第四册 解析：侧棱不交于一点一定不是棱台，故①正确，② 11.如图所示，长方体的底面相邻边 正确，③④中还需判断侧棱是否相交，故③正确，④ 长分别为1cm和3cm,高为 不正确 6cm.如果用一根细线从点A开6cm 答案：①②③ 始经过4个侧面缠绕一圈到达点 8.一个正三棱锥的侧棱和底面边长都是4，则该正三 3 cm 1 cm 棱锥的高为 B,那么所用细线最短需要多长？ 解析：底面等边三角形的中心到顶，点的连线长为 解：将长方体展开，连接AB, 4×5=45,所以高 42-0 43 =46 3 3 3 3 苦案： 因为AA'=1+3+1+3=8(cm),A'B'=6cm, 9.（多空题)四棱台的上、下底面均为正方形，它们的 AB'=√82+62=10cm.根据两，点之间线段最短， 边长分别为1,2，侧棱长为√2，则该四棱台的高为 ,侧面积为 得所用细线最短需要10cm. 解析：设四棱台的上、下底面中 D' 107 能力提升 NENG LI TI SHENG 心分别为O,O,连接O0, 12.如果正四棱台两底面边长分别为3cm和5cm,则 A'O',AO,则四边形AOOA'为 直角梯形，OO为四棱台的高， 它的中截面（过侧棱中点）的截面面积是 AB=2,A'B'=1, AO-号，A0-E,又AA-E. 解析：正四棱台中截面边长为2(3+5)=4，且为 w=-a-99 正方形，所以面积为16cm. 答案：16cm 在侧面ABBA'中，A'B'=1,AB=2,AA'=√2， 13.给出两块正三角形纸片（如图所示），要求将其中 斜高为W2-一(-95=4x 一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型， 另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模 +2)×5=3元. 2 型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图 中，并作简要说明。 等案 37 10.如图所示，已知三棱台ABC -A'B'C'. (1)把它分成一个三棱柱和一个 解析：如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折 多面体，并用字母表示； 起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥 (2)把它分成三个三棱锥并用字 母表示. 解：(1)如图(1)所示，三棱柱是棱柱A'B'C' ABC”,多面体是B'C'BCC"B”. (2) (2)如图(2)所示：三个三棱锥分别是A'一ABC, 如图(2)所示，正三角形三个角上剪出三个相同的 B'-A'BC,C'-A'B'C. 四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的 子，有一组对商为直角，余下部分按虚线折成，可 成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而 剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正 三角形的棱柱的上底. (2) ·82·