11.1.4 棱锥与棱台(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦棱锥与棱台的结构特征这一核心知识点，系统梳理棱锥的定义、底面侧面侧棱等概念、正棱锥性质，以及棱台的形成（由平行于棱锥底面的平面截得）、上下底面侧棱等特征，通过实物观察、概念辨析题、计算例题构建学习支架。 以卢浮宫玻璃金字塔为情境引入，通过扫描问题培养直观想象，借助结构特征辨析（如反例判断）发展数学抽象，结合正棱锥高、侧面积计算提升数学运算。课中助力教师情境教学与概念深化，课后分层练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

11.1.4　棱锥与棱台 课标要求 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱锥、棱台的结构特征（直观想象）. 2.理解棱锥、棱台之间的关系（数学抽象）. 3.能运用棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算（数学运算）. 　　法国卢浮宫玻璃金字塔，塔高21米，底宽30米，四个侧面由六百七十三块菱形玻璃拼组而成，总面积约二千平方米.塔身总重量为200吨，其中玻璃净重105吨，金属支架仅有95吨.换而言之，支架的负荷超过了它自身的重量，因此行家们认为，这座玻璃金字塔不仅是体现现代艺术风格的佳作，也是运用现代科学技术的独特尝试. 【问题】　（1）若用平面扫描成像技术对玻璃金字塔进行水平方向的扫描，则扫描所成的图象的形状是什么？ （2）若进行竖直方向的扫描，则扫描所成的图象的形状是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　棱锥的结构特征 1.棱锥的概念 定义 相关概念 有一个面是　多边形　，其余各面都是有一个公共顶点的　三角形　，由这些面所围成的多面体称为棱锥 底面（底）：　多边形　面； 侧面：有公共顶点的各　三角形面　； 侧棱：相邻两侧面的　公共边　； 顶点：各侧面的　公共顶点　； 高：过棱锥的顶点作棱锥底面的　垂线　，所得到的线段（或它的长度） 图形及表示 分类 如图可记作：棱锥P-ABCD或棱锥P-AC 按底面多边形的形状分：三棱锥、四棱锥 …… 2.特殊的棱锥 正棱锥 正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为正棱锥的斜高. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）由五个平面围成的多面体只能是四棱锥.（　×　） （2）底面是正多边形的棱锥称为正棱锥.（　×　） （3）棱锥的所有面都可以是三角形.（　√　） 2.下列棱锥有6个面的是（　　） A.三棱锥　B.四棱锥　C.五棱锥　D.六棱锥 解析：C　由棱锥的结构特征可知，五棱锥有6个面，故选C. 3.棱长都是1的三棱锥的表面积为（　　） A. B.2 C.3 D.4 解析：A　棱长都是1的三棱锥的表面都是边长为1的正三角形，共4个，所以其表面积为S＝4××1×1×sin 60°＝. 知识点二　棱台的结构特征 1.棱台的概念 定义 图形及表示 用　平行于棱锥底面　的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 如图可记作：棱台ABCD-A'B'C'D' 相关概念 分类 上底面：平行于棱锥底面的　截面　； 下底面：原棱锥的　底面　； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻两侧面的公共边； 顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点； 高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一底面的　垂线　所得到的线段（或它的长度） 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别称为三棱台、四棱台、五棱台…… 2.特殊的棱台 正棱台：由　正棱锥　截得的棱台. 正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为正棱台的斜高. 　　提醒：棱锥、棱台的“高”与“斜高”的区别：如图，棱锥、棱台的“高”是指几何体的高；棱锥、棱台的“斜高”是指几何体侧面三角形或梯形的高. 1.在如图所示的几何体中，是棱台的是（　　） A.①② B.①③ C.③ D.②③ 解析：C　①中几何体各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中几何体各侧棱的延长线能交于一点，且截面与底面平行.故只有③是棱台. 2.下列多面体是棱台的是（　　） A.两底面是相似多边形的多面体　 B.侧面是梯形的多面体　 C.两底面平行的多面体　 D.两底面平行且相似，且侧棱延长后交于一点的多面体 解析：D　根据棱台的定义知，棱台是用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面间的部分称为棱台，所以棱台的两底面平行且相似，侧棱延长后交于一点.故选D. 题型一｜棱锥的结构特征 【例1】　有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？ 解：不一定.如图①所示，将正方体ABCD-A1B1C1D1截去两个三棱锥A-A1B1D1和C-B1C1D1，得如图②所示的几何体，其中有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，但很明显这个几何体不是棱锥，因此有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥. 通性通法 棱锥的三个本质特征 （1）有一个面是多边形； （2）其余各面是三角形； （3）这些三角形有一个公共顶点. 【跟踪训练】 〔多选〕下列说法中，正确的是（　　） A.棱锥的各个侧面都是三角形 B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 C.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 D.棱锥的各侧棱长相等 解析：AC　由棱锥的定义知，棱锥的各侧面都是三角形，故A正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故B错误；四面体就是由4个三角形所围成的封闭几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，故C正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故D错误. 题型二｜棱台的结构特征 【例2】　下列关于棱台的说法中，正确说法的序号是（2）（3）. （1）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； （2）棱台的侧面一定不会是平行四边形； （3）棱台的各侧棱延长后必交于一点； （4）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 解析：（1）错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；（2）正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；（3）正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；（4）错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥. 通性通法 有关棱台结构特征判断的两个策略 （1）举反例法： 结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确. （2）直接法： 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 【跟踪训练】 下面说法中，正确的是（　　） A.上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台 B.棱台的所有侧面都是梯形 C.棱台的侧棱长必相等 D.棱台的上下底面可能不是相似图形 解析：B　由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确. 题型三｜棱锥、棱台中的计算问题 【例3】　正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高. 解：作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点. 在Rt△ADO中，AD＝， ∠OAD＝30°， 故AO＝＝. 在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝， 故SO＝＝3，故正三棱锥的高为3. 【母题探究】 1.（变条件）将本例中“侧棱长为2”，改为“斜高为2”，则结论如何？ 解：连接SD（图略），在Rt△SDO中，SD＝2，DO＝AO＝，故SO＝＝＝. 2.（变条件）将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？ 解：如图正四棱锥S-ABCD中，SO为高，连接OC.则△SOC是直角三角形，由题意BC＝3，则OC＝，又因为SC＝2， 则SO＝＝＝＝. 故正四棱锥的高为. 通性通法 　　正棱锥、正棱台中的计算技巧 （1）正棱锥中的直角三角形的应用： 已知正棱锥如图（以正四棱锥为例），其高PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高. ①斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC； ②斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE； ③侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC. （2）正棱台中的直角梯形的应用： 已知正棱台如图（以正四棱台为例），O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高. ①斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1； ②斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO； ③高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1. 【跟踪训练】 1.底面边长为2，且侧棱长为2的正四棱锥的侧面积为（　　） A.20 B.16 C.24 D.6 解析：C　如图，由正四棱锥底面边长为2，可得斜高为PH＝＝3，侧面积为S＝×3×2×4＝24. 2.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝，则该棱台的侧面积为24. 解析：如图，过A1作A1M⊥AB，垂足为M，所以A1M为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的侧面的高.因为AB＝4，A1B1＝2，AA1＝，则AM＝（AB－A1B1）＝1，A1M＝＝＝2，＝（AB＋A1B1）A1M＝（4＋2）×2＝6，所以正四棱台的侧面积为4＝24. 1.有一个多面体，由四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为（　　） A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥 解析：D　根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥. 2.〔多选〕在如图所示的几何体中，关于其结构特征，下列说法正确的是（　　） A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的 B.该几何体有12条棱，6个顶点 C.该几何体有8个面，并且各个面均为三角形 D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形 解析：ABC　根据几何体的形状，该几何体是由两个同底的四棱锥组成的，且有12条棱，6个顶点，8个面，且每个面都是三角形，所以A、B、C正确，D错误. 3.如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝，则该几何体的表面积为20＋4. 解析：由题意得正四棱锥的斜高h'＝＝，故几何体表面积为S＝（ ×2×）×4＋5×2×2＝4＋20. 4.正四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于3，过不相邻的两条侧棱作截面，求截面面积. 解：∵正四棱锥S-ABCD的所有棱长都是3，∴S在底面的射影O为四边形ABCD的中心，∴AC＝3，SO＝＝， ∴截面SAC的面积为×3×＝. 1.如图所示，不是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是（　　） A.①③ B.②④ C.③④ D.①② 解析：C　可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面都不能折成正四面体. 2.下列说法中，正确的是（　　） A.有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 解析：A　B选项，截面与底面平行时才能得棱台；C选项，棱柱底面可能是平行四边形；D选项，棱柱侧面的平行四边形不一定全等，如长方体. 3.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（　　） A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4 B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1 解析：C　选项A中≠，故A不正确；选项B中≠，故B不正确；选项C中＝＝，故C正确；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台，故选C. 4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA＝PB＝2，PC＝，则该四棱锥的高是（　　） A. B. C. D. 解析：B　由题意，作PF⊥平面ABCD，垂足为F，在平面ABCD内，作FQ⊥BC，垂足为Q，取AB的中点为E，连接PE，EF，CF，如图所示.设PF＝h，在△PAB中，AP＝BP＝AB＝2，则PE⊥AB，AE＝BE＝1.在Rt△PEB中，PE＝＝.在Rt△PFE中，EF＝＝.在正方形ABCD中，易知EF＝BQ，FQ＝BE，则CQ＝2－.在Rt△CFQ中，CF2＝FQ2＋CQ2.在Rt△CFP中，PF2＋CF2＝CP2，则h2＋（2－）2＋1＝2，解得h＝. 5.若棱长为1的正四面体ABCD中，M和N分别是边AB和CD的中点，则线段MN的长度为（　　） A. B. C. D.2 解析：A　如图，连接AN，BN，∵正四面体ABCD的棱长为1，N是CD的中点，∴BN＝AN＝.∵M是AB的中点，∴MN⊥AB，∴MN＝＝＝. 6.〔多选〕铜钱：古代铜质辅币，俗称铜钱，是指秦汉以后的各类方孔圆钱，方孔圆钱的铸期一直延伸到清末民国初年.请问铜钱形成的几何体中不包含下列那种几何体（　　） A.棱台 B.棱柱 C.棱锥 D.长方体 解析：ACD　铜钱可以看成一个圆柱挖去一个底面为正方形的四棱柱所得的几何体，所以铜钱形成的几何体中不包含棱锥、棱台和长方体，故选A、C、D. 7.若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是七棱台. 解析：由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台. 8.侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的表面积为a2. 解析：底面边长为a，则斜高为，故S侧＝3××a×a＝a2.而S底＝a2，故S表＝a2. 9.棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为5. 解析：设截得的棱台的高为h（h＜9），由棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积与底面积的比等于截得锥体的高与原锥体高的平方比，得（ ）2＝，解得h＝5，所以截得的棱台的高为5. 10.已知正三棱锥V-ABC的底面边长为6，高VO＝4，D为AB的中点，过点V，C，D作截面，求该截面的周长和面积. 解：由题意画出图形，如图所示， 其中VO＝4，AB＝BC＝CA＝6. ∵△ABC是等边三角形，O是中心， ∴CD＝3，OC＝2，OD＝. 在Rt△VOC和Rt△VOD中， 由勾股定理，得VC＝＝2，VD＝＝， ∴△VCD的周长为VC＋CD＋VD＝2＋3＋， 面积为CD·VO＝×3×4＝6. 11.〔多选〕对如图所示的几何体描述正确的为（　　） A.这是一个六面体 B.这是一个四棱台 C.这是一个四棱柱 D.此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到 解析：ACD　A正确，该几何体有六个面，属于六面体；B错误，该几何体各侧棱的延长线不能交于一点；C正确，如果把几何体正面和背面作为底面就会发现是一个四棱柱；D正确，如图所示. 12.已知一个正六棱台两底面的面积分别为，6，高为1，则该棱台的侧面积为. 解析：如图，O1，O分别是上、下底面中心，N，M分别是棱A1B1，AB中点，由正棱台性质知，＝6×A1，6＝6×AB2，所以A1B1＝1，AB＝2.因为O1O＝1，MN是斜高，OM⊥AB，O1N⊥A1B1，又AB＝2，A1B1＝1，所以OM＝×2＝，O1N＝×1＝.在直角梯形OMNO1中，MN＝＝＝，所以侧面积为S＝×（AB＋A1B1）×MN×6＝×（2＋1）××6＝. 13.如图，在侧棱长为2的正三棱锥V-ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值. 解：沿着侧棱VA把正三棱锥V-ABC展开在一个平面内，如图. 则AA'的长即为截面△AEF周长的最小值， 且∠AVA'＝3×40°＝120°. 在△VAA'中，AA'＝2×2×＝6， 故截面△AEF周长的最小值为6. 14.如图，已知正六棱锥P-ABCDEF的侧棱长为6，底面边长为3，Q是底面上一个动点，PQ≤4，则点Q所形成区域的面积为（　　） A.4π B.5π C.6π D.7π 解析：B　因为P-ABCDEF为正六棱锥，则顶点P在底面的投影为底面中心O，如图. 又因为底面边长为3，则OC＝3，可得PO＝＝3，且PQ≤4，则OQ＝≤，可知点Q所形成区域为以O为圆心，半径为的圆面，其面积为π×（）2＝5π.故选B. 15.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问： （1）折起后形成的几何体是什么几何体？ （2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ （3）每个面的三角形面积为多少？ 解：（1）如图，折起后的几何体是三棱锥. （2）这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形. （3）S△PEF＝a2， S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2， S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝（2a）2－a2－a2－a2＝a2. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $