11.1.2 构成空间几何体的基本元素(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦空间几何体基本元素这一核心知识点，系统梳理点、线、面的构成及位置关系，从点线面基本元素出发，延伸至点与线、线与线、线与面、面与面的位置关系，再到直线与平面垂直及运动形成几何体，构建完整学习支架。 该资料以流星、雨刷等生活实例引入，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过表格梳理位置关系并结合图形，强化直观想象，题型设计注重三种语言转化与运动观点应用，课中辅助教师清晰授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

11.1.2　构成空间几何体的基本元素 1.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系（数学抽象）. 2.掌握空间中点与直线、直线与直线的位置关系（直观想象）. 3.掌握空间中直线与平面、平面与平面的位置关系（直观想象）. 　　在现实生活中，有很多自然现象值得我们深入思考，也有一些生活细节需要大家用心体会.夜晚一颗流星突然划破长空，形成一道美丽的弧线；雨雪天气中行驶的汽车，不时地转动着雨刷；清晨起床后洗漱挤出的牙膏……看似风马牛不相及的事物，其实都包含着“点动成线”“线动成面”“面动成体”的数学规律. 【问题】　（1）天空中飘浮的气球是空间几何体吗？ （2）它是否是由点、线、面构成的？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 知识点一　空间中的点、线、面 1.构成空间几何体的基本元素：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 2.从运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成　　　　，线动成　　　　，面动成　　　　. 下列不属于构成几何体的基本元素的是（　　） A.点 B.线 C.曲面 D.多边形（不含内部的点） 知识点二　点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法 位置关系 符号表示 图形 点、线 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点、面 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 线、线 两直线平行 两直线异面 两直线相交 线、面 直线a在平面α内 直 线 在 平 面 外 直线a与平面α平行 直线a与平面α斜交于点A a∩α＝A 直线a与平面α垂直 面、面 两平面平行 两平面相交 　　提醒：对异面直线的理解：①异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线；②注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线. 【想一想】 　分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两直线若不是异面直线，则必相交或平行.（　　） （2）如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.（　　） （3）两个平面ABC与DBC相交于线段BC.（　　） 2.点P在直线a上，直线a在平面α内可记为（　　） A.P∈a，a⊂α　　　　B.P⊂a，a⊂α C.P⊂a，a∈α D.P∈a，a∈α 3.长方体和正方体都有　　　　个顶点，　　　　条棱，　　　　　个面. 4.若A∈α，B∉α，A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有　　　　个公共点. 知识点三　直线与平面垂直 1.定义：如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内　　　　一条过点A的直线m，都有　　　　，则称直线l与平面α垂直（或l是平面α的一条　　　，α是直线l的一个　　　），记作　　　　，其中点A称为　　　　. 2.距离 概念 对应图形 投影 给定空间中一个平面α及一个点A，过点A可以作而且只可以作平面α的一条　　　.如果记垂足为B，则称　　　为A在平面α内的射影（也称为投影） 距 离 点、面 线段　　为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离 线、面 当直线与平面　　时，直线上　　一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离 面、面 当平面与平面　　　时，一个平面上　　　一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离 【想一想】 　“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗？ 线段AB的长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C'D'，再将C'D'沿水平方向向左移动4 cm后记为A'B'，依次连接构成长方体ABCD-A'B'C'D'. （1）该长方体的高为　　　　cm； （2）平面A'B'BA与平面D'C'CD间的距离为　　　cm； （3）点A到平面BCC'B'的距离为 　　cm. 题型一｜图形语言、文字语言、符号语言的相互转化 【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形： （1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于A，B； （2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，C不在直线AB上. 尝试解答 通性通法 三种语言的转换方法 （1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示； （2）要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”. 提醒　根据符号语言或文字语言画相应的图形时要注意实线和虚线的区别. 【跟踪训练】如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系： （1）点C与平面β：　　　； （2）点A与平面α：　　　； （3）直线AB与平面α：　　　　　　； （4）直线CD与平面α：　　　　　； （5）平面α与平面β：　　　　　. 题型二｜从运动观点认识几何体 【例2】　如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形. 尝试解答 通性通法 用运动观点认识几何体 （1）点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面； （2）在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟. 【跟踪训练】 若AB与l有如图所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形. 题型三｜长方体中基本元素之间的关系 【例3】　在长方体ABCD-A'B'C'D'中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中. （1）与直线B'C'平行的平面有哪几个？ （2）与平面BB'C'C平行的平面有哪几个？ 尝试解答 【母题探究】 1.（变设问）在本例中其他条件不变. （1）与直线B'C'垂直的平面有哪几个？ （2）与平面BC'垂直的平面有哪几个？ 2.（变设问）本例中与棱A'D'相交的棱有哪几条？它们与棱A'D'所成的角是多少？ 通性通法 1.平行关系的判定 （1）直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行； （2）直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，棱所在的直线与某一平面不相交就平行； （3）平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行. 2.垂直关系的判定 （1）直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直； （2）平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直. 【跟踪训练】 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，请写出： （1）三对平行的平面； （2）三对垂直的平面； （3）直线AD1与平面BCC1B1的位置关系； （4）直线AD与平面ABB1A1的位置关系. 1.能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是（　　） 2.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（　　） A.异面或平行　　 　B.异面或相交 C.异面 D.相交、平行或异面 3.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面位置关系如何？试画图分析. 提示：完成课后作业　第十一章　11.1　11.1.2 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1.2　构成空间几何体的基本元素 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.点、线、面　2.线　面　体 自我诊断 　D　本题考查了构成空间几何体的基本元素，关键是对概念的理解.由于一个几何体是由点、线、面组成的，而线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，故而只有D不属于构成几何体的基本元素，故选D. 知识点二 a∥b　a∩b＝∅且a与b不平行　a∩b＝P　a⊂α　a∥α　a⊥α　α∥β　α∩β＝l 想一想 　提示：不一定.可能平行、相交或异面. 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）× 2.A 3.8　12　6 4.1　 解析：∵A∈α，A∈l，∴直线l与平面α有公共点A，∴直线l⊂平面α 或直线l∩平面α＝A.下面用反证法证明直线l不可能在平面α内，假设直线l⊂平面α，∵B∈l，∴B∈α，这与已知条件“B∉α”矛盾，故“直线l⊂平面α”不能成立，∴直线l∩平面α＝A，直线l与平面α有唯一公共点（如图所示）. 知识点三 1.任意　l⊥m　垂线　垂面　l⊥α　垂足 2.垂线　B　AB　平行　任意　平行　任意 想一想 　提示：不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行. 自我诊断 　（1）3　（2）4　（3）5　 解析：如图，（1）该长方体的高为3 cm. （2）平面A'B'BA与平面D'C'CD间的距离为4 cm. （3）点A到平面BCC'B'的距离为5 cm. 【典例研析】 【例1】　解：（1）用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图. （2）用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图. 跟踪训练 （1）C∉β　（2）A∉α　（3）AB∩α＝B　（4）CD⊂α　（5）α∩β＝BD 【例2】　解：线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形，如图所示. 跟踪训练 解：如图所示. 【例3】　解：（1）与直线B'C'平行的平面有平面ABCD，平面ADD'A'. （2）与平面BB'C'C平行的平面为平面ADD'A'. 母题探究 1.解：（1）有平面ABB'A'，平面CDD'C'. （2）有平面AB'，平面A'C'，平面CD'，平面AC. 2.解：有A'A，A'B'，D'D，D'C'.由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱A'D'所成角都是90°. 跟踪训练 解：（1）平面ABB1A1与平面DCC1D1，平面ADD1A1与平面BCC1B1，平面ABCD与平面A1B1C1D1分别平行. （2）平面ABB1A1与平面ABCD，平面ABB1A1与平面ADD1A1，平面ABCD与平面BCC1B1分别垂直. （3）直线AD1与平面BCC1B1平行. （4）直线AD与平面ABB1A1垂直. 随堂检测 1.C　选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面α相交于点A；选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面，所以不能表示直线在平面α内，故选C. 2.D　可参考长方体中各条线的位置关系判断. 3.解：这两个平面平行（如图①）或相交（如图②）. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $