11.1.2 构成空间几何体的基本元素（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 y F H' ① 2 4 变式训练 2.解：画法：(1)画轴 70 (1) (2 画x轴、y轴、之轴，∠xOy=45°（或135°），∠xOz=90°，如 图(1). (2)画底面 以O为中心在xOy平面内，画出边长为2的正方形水平 放置的直观图ABCD. (3)画顶点，在之轴上截取OP,使OP=3. (4)成图，顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线，被面 遮挡住的线段AD,PD,CD改成虚线，得四棱锥的直观图 如图(2) [例3][解析](1)由直观图还原出原图，C 如图，所以S=a·2√2a=2√2a2. (2)菱形ABCD中，AB=1,A=子，则菱形 -22a 的面积为S复型An=2S△AD=2X分X1 o aA ×1X血晋-盟，所以用纤二渊西法画出这个发衫的直 现因的款S-S6m×号-竖×号-要故速n [答案](1)B(2)D 变式训练 3.解：设△AOB的边OB上的高为h,由直观图中边OB'与 原图形中边OB的长度相等，及S原图=2√2S直观图， 得20B×M=2E×20B·0A. ∴.h=4√2. 答案：4√2 随堂步步夯实 1.B[根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.门 2.D[因为∠D'A'B'=45°，由斜二测画法规则知∠DAB 90°，又因四边形A'B'C'D'为平行四边形，所以原四边形 ABCD为矩形.] 3.B[底边在x轴上，则底边长不变，设为a,又高h在直观 4.解析：由斜二测画法规则知AC⊥BC,即△ABC为直角三 角形，其中AC=3,BC=8,所以AB=√73，AB边上的中 ·10 线长庞为至.△ABC的雨积为宁AC,BC=12 答案：√3 12 5.解：画法：(1)画轴，如图①，画x轴、y轴、之轴，三轴相交 于点O,使∠xOy=45°，∠xO2=90° (2)画底面，以，点O为中点，在x轴上取线段MN,使MN =2cm;以O为中点，在y轴上取线段PQ,使PQ=1cm. 分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴 的平行线，设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形 ABCD就是正方体的底面ABCD. (3)画侧棱，过A,B,C,D各点分别作之轴的平行线，并在 这些平行线上分别截取2cm长的线段AA',BB', CC',DD'. (4)成图，顺次连接A',B,C',D,并加以整理（去掉辅助 线，将被面遮挡的线段AD,CD,DD改为虚线)，就得到 正方体的直观图，如图②. D' D' B' B' D O M D N P B ⑦ ② 11.1.2构成空间几何体的基本元素 课前预习学案 知识梳理 知识点一、3.A∈1AtlA∈x ARa ica Ita 1∩ m=Al∩a=Aa∩3=l 知识点二、同一平面内，有且只有一个公共点同一平面 内，无公共点既不平行也不相交，无公共点 知识点三、1.无数个1个0个2.0个无数个 [思考] 1.提示：直线与平面按交点个数可分为直线在平面内(1Ca) 与直线在平面外(l中α)两种位置关系，其中直线在平面 外，又包括直线与平面相交和直线与平面平行两种位置 关系. 知识点四、1.l⊥m1⊥a2.AB的长3.任意一点任意 一点 [思考] 2.提示：由直线l与平面a垂直的定义知，过A点在平面a 内的任意一条直线都与1垂直. 预习自测 1.D[三角形、平行四边形、梯形都是平面图形，只有四边 相等的四边形可能不是平面图形.] 2.D「由点、线、面之间的位置关系可判断P与a关系不确 定，Q∈a.] 3.解析：如图，M∈a,M∈3，∴.M∈l. 6B☑ m a 答案：∈ 课堂互动学案 [例1][解析](1)四棱锥有5个面. (2)球只有一个曲面，故A错误，B正确，C正确，由于几 何体是空间图形，故一定有面，D错误. [答案](1)C(2)BC 变式训练 1.解：①中几何体有6个顶，点，12条棱和8个三角形面； ②中几何体有12个顶点，18条棱和8个面： ③中几何体有6个顶点，10条棱和6个面： ④中几何体有2条曲线，3个面(2个圆面和1个曲面). [例2][解](1)有平面ADDA'与平面ABCD. (2)有平面ABBA',平面CDD'C'. (3)有平面ADDA'. (4)有平面ABBA',平面CDD'C',平面A'B'C'D'与平面 ABCD. (5)线段AA',BB,CC',DD' (6)线段AB,A'B',D'C',DC. (7)可用线段AA',BB',CC,DD来表示. (8)线段BD. 变式训练 2.解：(1)与AD平行的直线有BC,A1D1,B1C1,与AD异 面的直线有：A1B1,C1D1,BB1,CC. (2)直线AD∥平面BCC1B1,直线AD∥平面A1B1C1D1: (3)直线AD⊥平面ABB1A1,直线AD⊥平面CDDC1. (4)平面ADD1A1∥平面BCC1B1. [例3][解析]如图，在长方体 B 4 ABCD-A'B'C'D'中，AB=5cm, D BC=4cm,CC'=3cm,∴.长方体 C 的高为3cm;平面A'B'BA与平面 CDDC'之间的距离为4cm;,点AA 到平面BCC'B'的距离为5cm. [答案](1)3cm(2)4cm(3)5cm 变式训练 3.解：(1)点A'到平面B'BCC'的距离为A'B'=3cm. (2)直线A'D'与平面ABCD的距离为AA'=1cm. (3)平面ABB'A'与平面CDD'C'的距离为AD=2cm. 随堂步步夯实 1.C[直线1在平面a内表示为1二a,点A在平面a内，应 为A∈a.] 2.C[一个点运动也可以成曲线，故A错：在空间中，直线 平行移动可以形成平面或曲面，故B错：在空间中，矩形 上各，点沿铅垂线向上（或向下）移动相同距离所形成的几 何体是长方体，故D错.] 3.解析：直线BC与平面A1B1C1D1平行. 答案：BC∥平面A1B1CD1 4.解析：平面ABCD与平面A'B'CD'平行，平面ABBA'与 平面CDDC平行，平面ADDA'与平面BCC'B'平行，共 3对，与AA'垂直的平面是平面ABCD,平面A'B'C'D'. 答案：3平面ABCD,平面A'B'C'D 5.解：(1)Aa(2)l∩m=A(3)l∩a=P 11.1.3多面体与棱柱 课前预习学案 知识梳理 知识点一、2.(1)面棱顶点(2)面对角线体对角线 (3)一个截面3.凸多面体 知识点二、1.相邻两个四边形的公共边都互相平行棱柱 [思考] [提示]{正方体}二{正四棱柱}二{长方体}三{直平行 六面体}二{平行六面体二{四棱柱}. ·1 参考答案 预习自测 1.BC[由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形，且都 是平行四边形.] 2.D[棱柱底面是平行四边形时为平行六面体，故A错； 当侧棱与底面垂直时，侧棱长可以作为棱柱的高，故B 错：长方体有3对互相平行的平面，故C错.门 3.解析：由已知，该棱柱为5棱柱，所以每条侧棱长为60÷5 =12(cm). 答案：12 课堂互动学案 [例1][解](1)是一个上、下底面为平行四边形，四个侧 面也是平行四边形的四棱柱（也称平行六面体）. (2)是一个六棱锥，其中六边形是底面，其余的三角形面 是侧面 (3)是一个三棱台，其中相似的两个三角形面为底面，其 余三个梯形面是侧面 变式训练 1.解：截面BCFE上方部分是棱柱BB'E一CCF,其中平面 BB'E和平面CCF是其底面，BC,B'C',EF是其侧棱.截 面BCFE下方部分是棱柱ABEA'-DCFD',其中平面 ABEA'和DCFD'是其底面，AD,BC,EF,A'D'是其侧棱 [例2][解析]A错误，棱柱的底面不一定是平行四边 形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的 定义易知：D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两 个棱柱，所以说法正确的是C,D. [答案]CD 变式训练 2.ABD[对于A、B、D,显然是正确的： 对于C,棱柱的定义是这样的；有两个 面互相平行，且该多面体的顶点都在 这两个面上，其余各面都是平行四边 A 形，这样的多面体叫做棱柱，显然题中 B 漏掉了“且该多面体的顶点都在这两个面上”这一条件， 因此所围成的几何体不一定是棱柱，如图所示的几何体 就不是棱柱，所以C错误.] [例3]「解]如图，设底面对角线 AC=a,BD=b,交点为O, 体对角线A1C=15,B1D=9,.a2 +52=152,b2+52=92, .a2=200,b2=56. ,该直四棱柱的底面是菱形，∴AB= ()+() =Q2+2=200十56=64，.AB=8.直四棱柱的侧面积 4 S侧=4×8×5=160. S克=S%+SANCD+SAcn=160+2X号BD·AC- 160+40√7 变式训练 3.解析：(1)由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边 长为√（号）+（四）-号V3,则这个直枝柱的侧面积 3 为4x3y×5=0V风 (2)由题意知棱柱的侧面积 0511.1.2 构成空间 课程标准 1.以长方体为载体，认识构成几何体的基本元素，认识 解空间点、直线、平面的位置关系 2.用数学符号表示点、直线、平面的位置关系 课前。 [知识梳理] [知识点一]空间中的点、线、面 1.构成空间几何体的基本元素：点、线、面是构成空间 几何体的基本元素. 2.直线在平面内的概念：如果直线1上的所有点都在 平面a内，就说直线l在平面a内，或者说平面a经 过直线1. 3.常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系 文字语言 符号语言 图形语言 A在I上 A A在1外 ·A A在a内 ·A A在a外 l在a内 a 1在a外 或。 1,m相交于A 1,a相交于A 又 a,3相交于1 ·35 第十一章立体几何初步 几何体的基本元素 素养解读 和理 以长方体为载体，认识和理解点、直线、平面的 位置关系，培养学生的数学抽象素养，提升直观 想象素养 预习学案 [知识点二]空间中直线与直线的位置关系 空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 平行 异面直线 [知识点三]空间中直线与平面、平面与平面的位置 关系 1.直线与平面的位置关系 直线在平面外 位置关系直线在平面内 直线与 直线与 平面相交 平面平行 公共点 符号表示 aCa a∩a=A a∥a 图形表示 2.两个平面的位置关系 位置关系 平行 相交 图示 表示法 a∥B anB-a 公共点 个数 2思考1.空间中直线与平面有怎样的位置关系？ 如何分类？ 数学B版·必修第四册 [知识点四]直线与平面垂直 1.定义：一般地，如果直线1与平面α相交于一点A, 且对平面a内任意一条过点A的直线m,都有 _,则称直线l与平面a垂直（或l是平面a的一条 垂线，a是直线！的一个垂面)，记作，其中点 A称为垂足. 2.点到平面的距离由长方体可以看出，给定空间中一 个平面a及一个点A,过A可以作而且只可以作平 面α的一条垂线.如果记垂足为B,则称B为A在 平面a内的射影（也称为投影），线段AB为平面a 的垂线段， 为点A到平面a的距离 3.直线到平面的距离与两平行平面之间的距离 当直线与平面平行时，直线上 到平面的距 离称为这条直线到这个平面的距离；当平面与平面 平行时，一个平面上 到另一个平面的距离 称为两平行平面之间的距离。 ● 课堂。 题型一 构成几何体的基本元素 [例1](1)如图所示的棱锥有 个面 A.3 B.4 C.5 D.6 (2)(多选题)下列说法正确的是 ( A.任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 B.一个几何体可以没有顶点 C.一个几何体可以没有棱 D.一个几何体可以没有面 思路点拨了点、线、面是构成空间几何体的基本 元素 [尝试解答](1) (2) 规律方法 组成几何体的是面，面与面相交得到线，即棱；线 与线相交得到点，即几何体的顶点 ◇[变式训练] 1.试指出下列各几何体的基本元素（如图）. 3 (4 ·3 ?思考2.如果直线1⊥平面a,A是垂足，过A点在 平面a内有多少直线与l垂直？ [预习自测] 1.下列图形中不一定是平面图形的是 A.三角形 B.平行四边形 C.梯形 D.四边相等的四边形 2.已知直线mC平面a,P任m,Q∈m,则 A.Pta,Q∈a B.P∈a,Qta C.PEa,Qa D.Q∈a 3.设平面a与平面3相交于l,直线aCa,直线bCB,a ∩b=M,则M 互动学案 -● 题型二九何体中点、线、面的位置关系 [例2]如图所示，在长方体 ABCD-A'B'CD'中，如果把 A 它的12条棱延伸为直线，6个 D 面延展为平面，那么在这12条 直线与6个平面中： (1)与直线B'C'平行的平面有哪几个？ (2)与直线B'C'垂直的平面有哪几个？ (3)与平面BC'平行的平面有哪几个？ (4)与平面BC垂直的平面有哪几个？ (5)点A'到平面ABCD的距离可以用哪些线段 表示？ (6)线段AA'到平面B'BCC'的距离可以用哪些线 段表示？ (7)平面AC与平面A'C'间的距离可以用哪些线段 来表示？ (8)线段BD'在平面ABCD内的投影用哪个线段 表示？ [思路点拨]根据点、线、面之间的关系正确判 断 [尝试解答] 规律方法 (1)解决此类问题的关键在于识图，根据图形识别直 线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直. (2)长方体和正方体是立体几何中的重要几何体， 加深对其认识有助于进一步认识立体几何中 的点、线、面的基本关系： ◇[变式训练] 2.在正方体ABCD-A,B,C,D1中，写出所有： (1)与直线AD平行的直线，与AD异面的直线. (2)与直线AD平行的平面，并用合适的符号表示 (3)与直线AD垂直的平面，并用合适的符号表示. (4)与平面BCC,B,平行的平面，并用合适的符号 表示. 题型 空间的距离 [例3]线段AB长为5cm,在水平面上向右移动 4cm后记为CD,将CD沿铅垂线方向向下移动 3cm后记为CD',再将CD'沿水平方向向左移动 4cm后记为A'B',依次连接构成长方体ABCD A'B'C'D'. (1)该长方体的高为 随堂 1.下列关于直线l与平面α的符号表示不正确的是 A.ICa B.l∥a C.I∈a D.l∩a=A 2.下列说法正确的是 A.在空间中，一个点运动成直线 B.在空间中，直线平行移动形成平面 C.在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形 成平面或锥面 D.在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长 方体 3.在长方体ABCD-A1B,C,D,中，直线BC与平面 A,B,C,D,的位置关系用符号表示为 4.在如图所示的长方体ABCD一 D A'B'CD'中，互相平行的平面A" 共有 对，与A'A垂直 D 的平面是 31 第十一章立体几何初步 (2)平面A'B'BA与平面CDD'C'间的距离为 (3)点A到平面BCCB'的距离为 [思路点拨]先找到表示距离的垂线段，然后求解. [尝试解答](1) (2) (3) 规律方法 求距离首先要找垂线，即找出平面的垂线，结合长 方体中点、线、面关系即可求. ◇[变式训练] 3.如图所示，在长方体A'B'C'D D -ABCD中，AB=3cm,BC= A 2 cm,BB'=1 cm, 求：(1)点A'到平面B'BCC的 距离； (2)直线A'D'与平面ABCD的距离： (3)平面ABBA'与平面CDDC的距离. 步步夯实 5.用符号表示下列点、线、面的关系. (1)点A不在平面a内 (2)直线1与直线m相交于点A. (3)直线1与平面a相交于点P. C温馨提 学习至此，请完成配套训练