10.2.2 复数的乘法与除法(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦复数的乘法与除法这一核心知识点，系统梳理复数乘法的定义、运算律（交换律、结合律、分配律）及乘方运算，除法的倒数概念与分母实数化法则，还拓展了实系数一元二次方程在复数范围内的求解，是复数概念与加减法学习的延伸，为后续复数应用搭建基础支架。 该资料以问题驱动（如“复数运算是否满足实数运算律”）引导数学抽象，通过“想一想”环节（如乘法公式适用性）促进知识迁移，题型设计结合高考真题（如2024全国甲卷）强化数学运算。课中助力教师引导学生逻辑推理，课后例题与跟踪训练帮助学生巩固，有效查漏补缺。

10.2.2　复数的乘法与除法 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算（数学抽象）. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律（数学运算）. 　　我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足aman＝am＋n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn，其中m，n均为正整数. 【问题】　复数的运算满足上述的运算律吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 知识点一　复数的乘法 1.复数的乘法 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），称z1z2（或z1×z2）为z1与z2的积，并规定：z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝　　　　　　　　　　. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝　　　　　 结合律 （z1z2）z3＝　　　　　 乘法对加法的分配律 z1（z2＋z3）＝　　　　 3.复数的乘方 n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方（或n次幂），并记作zn，即zn＝ 当m，n均为正整数时，zmzn＝　　　　，（zm）n＝　　　　，（z1z2）n＝　　　　. 【想一想】 1.以前学过的完全平方公式、平方差公式等，对于复数来说是否还成立呢？ 2.复数的乘法与多项式的乘法有何不同？ 3.｜z｜2＝z2，正确吗？ 1.已知复数z＝2－i，则z·的值为（　　） A.5　　 　B.　　 　C.3　 　　D. 2.复数（1＋i）2（2＋3i）的值为（　　） A.6－4i B.－6－4i C.6＋4i D.－6＋4i 知识点二　复数的除法 1.复数的倒数 一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数. 2.复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R，c＋di≠0），则＝＝＝＋i. 　　提醒：对复数除法的两点说明：①实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似；②代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开. 1.复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A.第一象限　　　　　　B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若z（1＋i）＝2i，则z＝（　　） A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i 知识点三　实系数一元二次方程 1.定义：当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程. 2.实系数一元二次方程的解 设ax2＋bx＋c＝0（a，b，c∈R且a≠0）， （1）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； （3）当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根. 1.在复数集内分解因式：x4－25＝　　　　. 2.在复数范围内方程x2－2x＋3＝0的根为　　　　. 题型一｜复数代数形式的乘法运算 【例1】　计算下列各题： （1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）； （2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i； （3）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）. 尝试解答 通性通法 复数的乘法运算法则的应用 （1）①复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简； ②对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等. （2）灵活运用一些常用结论 in（n∈N）的周期性（拓展）：i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0. 【跟踪训练】 1.（2024·全国甲卷理1题）若z＝5＋i，则i（＋z）＝（　　） A.10i B.2i C.10 D.2 2.已知复数z1＝2（ cos＋isin），z2＝cos＋isin，则z1z2在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型二｜复数代数形式的除法运算 【例2】　计算： （1）（－2＋3i）÷（1＋2i）； （2）； （3）＋－. 尝试解答 通性通法 1.两个复数代数形式的除法运算的步骤 （1）首先将除式写为分式； （2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； （3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. 2.常用公式 （1）＝－i；（2）＝i；（3）＝－i. 【跟踪训练】 1.复数z＝，则在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若复数z＝为纯虚数，b＝｜a＋i｜，则a＋bi的共轭复数为（　　） A.－2－i B.＋i C.－i D.2＋i 题型三｜解实系数一元二次方程 【例3】　已知关于x的方程x2－px＋1＝0（p∈R）在复数集范围内有两个根x1，x2，若｜x1－x2｜＝1，求实数p的值. 尝试解答 通性通法 实系数一元二次方程在复数范围内的求解策略 （1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a，b，c∈R且a≠0）在复数集内的解有以下三种情况： 当Δ＝b2－4ac＞0时，方程存在两个不相等的实根； 当Δ＝b2－4ac＝0时，方程存在两个相等的实根； 当Δ＝b2－4ac＜0时，方程存在两个不相等的虚数根，且两根互为共轭复数. （2）方程两根满足根与系数的关系 【跟踪训练】 1.复数z1＝3＋2i（i为虚数单位）是方程z2－6z＋b＝0（b∈R）的根，则b的值为（　　） A.　 　B.13　 　C.　 　D.5 2.在复数范围内方程x2＋6x＋13＝0的根是（　　） A.－3±2i B.3－2i C.－2＋3i D.2＋3i 1.已知a∈R，（1＋ai）i＝3＋i（i为虚数单位），则a＝（　　） A.－1 B.1 C.－3 D.3 2.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.〔多选〕已知复数z＝，则下列说法正确的是（　　） A.｜z｜＝ B.z的虚部为－2i C.z在复平面内对应的点在第四象限 D.z的共轭复数为3＋2i 4.设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为　　　　. 5.计算：（1）（1－i）（1＋i）； （2）； （3）（2－i）2. 提示：完成课后作业　第十章　10.2　10.2.2 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+款辅专家 10.2.2复数的乘法与除法 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.(ac-bd)+(ad+bc)i 2.223121（z223)2122+2123 3.2m+”zmm2z 想一想 1.提示：成立. 2.提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把2换成一1，再把 实部、虚部分别合并」 3.提示：不正确.例如，1i|2=1,而2=一1. 自我诊断 1.Az·2=(2-i)(2+i)=22-i2=4+1=5,故选A. 2.D(1+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i.故选D. 知识点二 自我诊断 1.C因为=知 = 1-7m(34H)=252=一1-i,故复数对应的点在第三象限. 25 25 2D由：1+n-2,餐：0=-4i1-i=1+1 2 知识点三 自我诊断 1.(x+5i)(x-V5i)(x+5)(x-V5) 解析：x4-25=(x2+5)(x2-5)=(x2+5)(x+5)(x-V5)=(x十V5i)·(x-V5i) (x+5)(x-5). 2.1+V2i或1-V2i 解析：：A=（-2)2-4X3=-8<0,原方程的根为x=28i=1±21 【典例研析】 1/4 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+款辅专家 【例1】解：(1)(1-i)(1+i)+（-1+i)=1-i2-1+i=1+i. (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i =（-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i =(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i. (3)(4-i泸)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i) =2(4-i)(3-i)+(7-i)(4-3i) =2(12-7i+i2)+(28-25i+3i2)=47-39i. 跟踪训练 1.A因为z=5+i,所以z=5-i,所以i（2十z)=10i,故选A. 2.B因为a1=2(cos话+isim语)=V5+i,22=cos受+isim受=i,所以a122=(V5+i)i=-1十V3 i,所以2在复平面内对应的点为(-1，V3)，位于第二象限. 【例2】 解：(1)原式=赞 2+300=24431-延=智=手+号i, (1+2)(1-2a) 5 1+i(4+3i) (2)法一 1+7 (2-)(1-i) 1-31 (1+7i)(1+3i) 10 =-2+i. 法二 -(告)() =1+3(2+i=3+4(2+1=104s=-2+i. 3)原式=[1+i》·告+[1-i).#-B=(2i3i计（-21）3.（-i 34i1 _82a1H=8+8-16-16i=-16i, i 跟踪训练 1.B医为：蒂-==-1-2”测2=-1+2，所以复装2在复平黄内对应的点 5 为（-1,2)，位于第二象限. 2.C依题意，=_32=学+号1，由2为纯虚数，得{a-2+0,解得a= (3a-1=0, (2+1)(2-i) 5 青，b=Va2+3予=29，所以a十i的共轭复数为a-i=青i 2/4 ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 【例3】解：.△=p2-4, (1)当△≥0时，即p≥2或p≤-2时， 此方程有两个实数根1，x2, 又.|1-x2|=1,即|1-212=1， ∴.（1-2)2=1， .(01十x2)2-4x12=1, 由根与系数的关系可知p2一4=1， ∴p=±5. (2)当△<0时，即-2<p<2时， 此方程存在两个虚数根，2，且，2互为共轭复数，即x1一2是纯虚数. 又1-2|=1，.1龙1-2|2=1， 即(-2)2=-1，.（十3）2-4x2=-1, 根据根与系数的关系，可知p2-4=-1,p=±V3, 综上所述p=±V5或士5， 跟踪训练 1.B.1=3十2i是方程z2-6z+b=0(b∈R)的根，∴.方程的另一根22=3-2i,∴.b=（3+2i) (3-2i)=13.故选B. 2.A法一因为x2+6x十13=(x十3)2+4，所以原方程可化为(x十3)2=一4，所以x十3=2i或 x十3=-2i,所以x=一3十2i或x=一3-2i.故选A. 法二令x=a+bi,a,b∈R,则(a+bi)2+6(a+bi)+13=0,即a2-b2+6a+13+(2ab+ 6b)i=0, -b+6a+13=0,∫a=-3, 所以2ab+6b=0, 解得{b=±2，即x=-3士2i.故选A 随堂检测 1.C因为(1十ai)i=3+i,所以1十ai=类=1-3i,所以a=-3.故选C. 2.B由复数的几何意义知，1=一2-i,2=i,所以爱=型=-1十2i,对应的点在第二象限. 3/4 ·独家授权侵权必究· 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 3.ACD 因为z= 5+i 1==321,所以2的虚部为-2，B错误：23十21 1-2 D正确；|z|=V32+（-2=V13,A正确；z在复平面内对应的点(3，-2)在第四象限，C 正确.故选A、C、D. 4号 解析：设=i(b∈R且b≠0)， 所以21=bi·22, a+2i=bi (3-4i)=4b+3bi, （a=4b, 所以{2=3b,所以a=号。 5.解：(1)法- 1-iD(-+9)1+iD (-支+1+1-号）1+i =(學+壁)1+i -學++计壁 2 =-1+5i. 法二原式=(1-i)(1+iD(-+9D =1-(-+9)=2(-+号)=-1+5 +512+W3(5+W21) +3)() (2)3五 (W3-√2(W3+W2i) (5+2 =5+2+35==i. (3)(2-i)2=4-4i+i2=3-4i. 4/4 ·独家授权侵权必究。