10.2.2 复数的乘法与除法 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

1．化简：(1－i)2·i＝(　　) A．2－2i　　　　　　　 B．2＋2i C．－2 D．2 解析：选D.(1－i)2·i＝－2i2＝2. 2．(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A.因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限． 3．(2023·全国乙卷)设z＝，则＝(　　) A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i 解析：选B.z＝＝＝＝1－2i，所以＝1＋2i. 4．已知z是纯虚数，是实数，则z＝(　　) A．2i B．i C．－i D．－2i 解析：选D.设z＝bi(b∈R，且b≠0)，则＝＝＝[(2－b)＋(2＋b)i].因为∈R， 所以2＋b＝0，解得b＝－2，所以z＝－2i. 5．在复数范围内，方程x2－4x＋5＝0的根是(　　) A．2＋i B．2－i C．2±i D．无解 解析：选C.因为Δ＝16－20＝－4，所以x＝＝2±i. 6．(多选)已知复数z满足·z－3i＝2，则下列说法正确的是(　　) A．z的实部为3 B．z的虚部为2 C．＝3＋2i D．z＝－3＋2i 解析：选BD.由于·z－3i＝2，可得z＝＝＝＝i(2＋3i)＝－3＋2i，故D正确；由z＝－3＋2i得z的实部为－3，虚部为2，故A错误，B正确；由共轭复数的定义可知＝－3－2i，故C错误．故选BD. 7．(2024·营口月考)已知z(1＋2i)＝4＋3i，则|z|＝________． 解析：方法一：由题意得z＝＝＝＝2－i，所以|z|＝. 方法二：由z(1＋2i)＝4＋3i， 得|z|·|1＋2i|＝|4＋3i|， 即|z|＝5，所以|z|＝. 答案： 8．若f(z)＝，则f(1－i)＝________________________________________________________________________. 解析：令z＝1－i，则z2＝－2i， 所以f(1－i)＝＝＝＝＝－1－i. 答案：－1－i 9．已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是____________． 解析：z＝＝ ＝＝＋i， 所以复数z在复平面内对应的点(，)位于第二象限，所以解得a>. 综上所述，实数a的取值范围是(，＋∞). 答案：(，＋∞) 10．(2024·辽阳期中)已知复数z＝. (1)求复数z； (2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值． 解：(1)z＝＝ ＝＝1＋i. (2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i， 得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i， 整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i， 所以解得 11．已知z＝()2 024＋()2 025，则在复平面内，复数所对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A.因为z＝()2 024＋()2 025＝i2 024＋(－i)2 025＝i4－i5＝1－i， 所以＝1＋i， 所以复数对应的点(1，1)在第一象限．故选A. 12．(多选)若复数z在复平面内对应的点位于第一象限，则(　　) A．z2可能为实数 B．z2在复平面内对应的点可能位于第一象限 C.z2可能为纯虚数 D．z2在复平面内对应的点可能位于第二象限 解析：选BCD.由题设z＝a＋bi(a，b>0)， 所以z2＝(a2－b2)＋2abi， 因为a>0，b>0，所以ab>0，所以A不正确； 当a2>b2时，z2在复平面内对应的点位于第一象限，所以B正确； 当a2＝b2时，z2＝2abi为纯虚数，所以C正确； 当a2<b2时，z2在复平面内对应的点位于第二象限，所以D正确．故选BCD. 13．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________． 解析：设m＝bi(b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，即 解得所以m＝4i. 答案：4i 14．已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的一个根． (1)求p＋q的值； (2)若复数ω满足zω是实数，且|ω|＝2，求复数ω. 解：(1)由题意，可知关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的另一个根是2－i. 由根与系数的关系，可得p＝－4，q＝5. 所以p＋q＝1. (2)设ω＝a＋bi(a，b∈R). 由zω＝(2＋i)(a＋bi)＝(2a－b)＋(a＋2b)i∈R， 得a＋2b＝0. 又|ω|＝2，所以a2＋b2＝20， 所以或 因此ω＝4－2i或ω＝－4＋2i. 15．(多选)已知复数z1，z2，则下列命题中正确的是(　　) A．若|z1|＝|z2|，则z2＝±z1 B．＝1·2 C．若z2＝1，则|z1|＝|z2| D．若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0 解析：选BC.对于A，令z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|＝1，但不满足z2＝±z1，A错误；对于B，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，＝(ac－bd)－(ad＋bc)i，1·2＝(a－bi)(c－di)＝(ac－bd)－(ad＋bc)i，所以＝1·2，B正确； 对于C，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝，所以|z1|＝|z2|，C正确； 对于D，令z1＝1，z2＝i，则|z1＋z2|＝|z1－z2|＝，但不满足z1z2＝0，D错误．故选BC. 16．在①z22＝10(a＞0)；②复平面上表示的点在一次函数x＋2y＝0的图象上；③z1(a－i)＞0.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋3i，i为虚数单位，满足________． (1)若z＝＋，求复数z以及|z|； (2)若z2是实系数一元二次方程x2＋mx＋4－3m＝0的根，求实数m的值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：选条件①，因为z2＝a＋3i， 所以z22＝a2＋9＝10， 解得a2＝1，又a＞0，所以a＝1. 选条件②，因为z1＝1＋i，z2＝a＋3i， 所以＝＝＋i，其在复平面内对应的点的坐标为(，)， 根据题中条件，有＋2×＝0， 解得a＝1. 选条件③，因为z1＝1＋i， 所以z1(a－i)＝(1＋i)(a－i)＝(a＋1)＋(a－1)i＞0， 所以解得a＝1. (1)z＝＋＝＋＝－i， |z|＝＝1. (2)若z2是实系数一元二次方程x2＋mx＋4－3m＝0的根，则2也是该方程的根，所以m＝－(z2＋z2)＝－(1＋3i＋1－3i)＝－2. 学科网（北京）股份有限公司 $