9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册教用课件（人教B版）

该高中数学课件围绕正弦定理、余弦定理的实际应用，通过测量校园教学楼、旗杆及校外“理想大厦”高度的任务导入，以分组合作、方案设计、数据测量与分析为支架，衔接解三角形知识与现实问题解决。 其亮点在于完整呈现数学建模过程，通过两次测角法、镜面反射法等方案设计及误差分析，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理运算的能力。实例中两次测角法公式推导与数据验证结合小组合作，帮助学生提升实践与建模能力，为教师提供可操作的探究活动教学方案。

9.3　数学探究活动：得到不可达两点之间的距离 1 案例：测量学校内、外建筑物的高度 活动目的：运用所学的正弦定理与余弦定理的知识，解决实际测量高度的 问题，体验数学建模活动的完整过程. 课题：（1）测量本校的一所教学楼的高度； （2）测量本校旗杆的高度； （3）测量校外不可及的“理想大厦”的高度. 数学·必修第四册（B版） 一、选题 分成若干个学习小组，每两个小组确定一个课题，以便于分析数据的可靠 性和选择方案的合理性. 二、开题 1. 准备测量工具：米尺，测角仪等；要求测量结果准确，测量过程清晰， 测量方法有创意，误差处理得当，报告书写认真. 2. 研究分工：搜集整理资料；撰写研究方案；写开题报告；撰写结题 报告. 数学·必修第四册（B版） 1. 两次测角法 （1）测量并记录测量工具距离地面高度h m； （2）用大量角器，将一边对准大厦的顶部，计算并记录仰角α； （3）后退a m，重复（2）中的操作，计算并记录仰角β； （4）大厦高度x的计算公式为：x＝ ＋ h，其中α，β，a，h如图所示. 三、做题 以测量不可及“理想大厦”的方案为例. 数学·必修第四册（B版） 2. 镜面反射法 （1）将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到大厦顶部 的位置，测量人与镜子的距离； （2）将镜子后移a m，重复（1）中的操作； 数学·必修第四册（B版） （3）大厦高度x的计算公式为x＝ ，其中a1，a2是人与镜子的距 离，a是两次观测时镜面之间的距离，h是人的“眼高”，如图所示.根据 光的反射原理，利用相似三角形的性质联立方程组，可以得到这个公式. 数学·必修第四册（B版） 3. 对实际测量数据和计算结果、测量误差简要分析 （1）两次测角法 实际测量数据： 第一次 第二次 仰角 67° 52° 后退距离为25 m，测量工具距离地面1.5 m，计算可得理想大厦的高度约 为71.5 m，结果与期望值（70 m～80 m）相差不大.误差的原因是铅笔在 纸板上画出度数时不够精确.减小误差的方法是几个人分别测量高度及仰 角，再求平均值，误差就能更小. 数学·必修第四册（B版） （2）镜面反射法 实际测量数据： 第一次 第二次 人与镜子的距离 3.84 m 3.91 m 镜子的相对距离10 m，人的“眼高”为1.52 m.计算可得理想大厦的高度 约为217 m，结果与期望值相差较大. 产生误差有以下几点原因： ①镜面放置不能保持水平； ②两次放镜子的相对距离太短，容易造成误差； 数学·必修第四册（B版） ③人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点； ④人体不一定在两次测量时保证高度不变. 综上所述，要做到没有误差很难，但可以通过某些方法使误差更小.通过 进一步分析产生误差的原因还包括： 数学·必修第四册（B版） Ⅰ.测量工具问题，采用两次测角法时，自制量角工具比较粗糙，角度的刻 度误差较大；采用镜面反射法时，选用的镜子尺寸太大，造成镜间距测量 有较大误差. Ⅱ.间距差的问题.这是一个普遍的问题.间距差a值是测量者自己选定的， 因为没有较长的卷尺测量距离，有的同学甚至选间距差a是1 m.由于间距 太小，两次测量的角度差或者人与镜的距离差太小，最终导致计算结果产 生巨大误差. Ⅲ.测量者用自己的身高代替“眼高”，反映了测量者没有很好地理解测量 过程中的“眼高”应当是测量的高度. 数学·必修第四册（B版） 四、结题 通过建模活动，明晰在进行方案设计问题时要遵循如下思路： （1）依据测量目标和实际情境及测量工具等实际设计合理的方案； （2）决定收集和测量哪些信息及数据； （3）对所设计的方案进行推理运算和改进. 注意事项： （1）实际测量往往受地形、地貌、测量工具等条件的制约，因此设计的 方案要切实可行； （2）测量要符合题目与实际要求； （3）计算要做到算法简捷，计算准确. 数学·必修第四册（B版） 五、应用 测量不可达两点之间的距离. 数学·必修第四册（B版） 【典例】　如果要测量某个底部不能到达的铁塔的高度，在只能使用简单 测量工具的前提下，可以设计出哪些测量方案？并提供出每种方案的计算 公式. 解：方案一：如图①，在地面上引一条基线AB，这条基线 和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测出AB的长 及角β，γ和A对塔顶P的仰角α的大小，则可求出铁塔PO 的高度.计算方法如下： 在△ABO中，由正弦定理，得 AO＝ ＝ ， 在Rt△PAO中，PO＝AOtan α， 则PO＝ . 数学·必修第四册（B版） 方案二：如图②，在地面上引一条基线AB，并使A，B，O 三点在同一条直线上，测出AB的长和A，B分别对塔顶P的 仰角α，β，则可求出铁塔PO的高度.计算方法如下： 在△PAB中，由正弦定理，得PA＝ . 在Rt△PAO中，PO＝PA sin α，则PO＝ . 数学·必修第四册（B版） 方案三：如图③，在地面上引一条基线AB，且使AB不过点 O，测出AB的长，点O对AB的视角θ，A，B分别对塔顶 P的仰角α，β，则可求出塔高PO. 计算方法如下： 在Rt△POA中，AO＝ ， 在Rt△POB中，BO＝ ， 在△AOB中，由余弦定理， 得OA2＋OB2－2OA·OB cos θ＝AB2， ∴PO＝ . 数学·必修第四册（B版） $