9.3 数学探究活动得到不可达两点之间的距离(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

9.3　数学探究活动：得到不可达两点之间的距离

案例：测量学校内、外建筑物的高度

活动目的：运用所学的正弦定理与余弦定理的知识，解决实际测量高度的问题，体验数学建模活动的完整过程.

课题：（1）测量本校的一所教学楼的高度；

（2）测量本校旗杆的高度；

（3）测量校外不可及的“理想大厦”的高度.

一、选题

分成若干个学习小组，每两个小组确定一个课题，以便于分析数据的可靠性和选择方案的合理性.

二、开题

1.准备测量工具：米尺，测角仪等；要求测量结果准确，测量过程清晰，测量方法有创意，误差处理得当，报告书写认真.

2.研究分工：搜集整理资料；撰写研究方案；写开题报告；撰写结题报告.

三、做题

以测量不可及“理想大厦”的方案为例.

1.两次测角法

（1）测量并记录测量工具距离地面高度h m；

（2）用大量角器，将一边对准大厦的顶部，计算并记录仰角α；

（3）后退a m，重复（2）中的操作，计算并记录仰角β；

（4）大厦高度x的计算公式为：x＝＋h，其中α，β，a，h如图所示.

2.镜面反射法

（1）将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到大厦顶部的位置，测量人与镜子的距离；

（2）将镜子后移a m，重复（1）中的操作；

（3）大厦高度x的计算公式为x＝，其中a1，a2是人与镜子的距离，a是两次观测时镜面之间的距离，h是人的“眼高”，如图所示.根据光的反射原理，利用相似三角形的性质联立方程组，可以得到这个公式.

 

3.对实际测量数据和计算结果、测量误差简要分析

（1）两次测角法

实际测量数据：

后退距离为25 m，测量工具距离地面1.5 m，计算可得理想大厦的高度约为71.5 m，结果与期望值（70 m～80 m）相差不大.误差的原因是铅笔在纸板上画出度数时不够精确.减小误差的方法是几个人分别测量高度及仰角，再求平均值，误差就能更小.

（2）镜面反射法

实际测量数据：

镜子的相对距离10 m，人的“眼高”为1.52 m.计算可得理想大厦的高度约为217 m，结果与期望值相差较大.

产生误差有以下几点原因：

①镜面放置不能保持水平；

②两次放镜子的相对距离太短，容易造成误差；