第9章 解三角形 章末整合提升(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

该高中数学单元复习讲义以正、余弦定理为核心，通过知识框架图系统梳理数学运算、逻辑推理、数学建模三大核心素养模块，将解三角形的方法要点按“原理理解-应用探究-综合提升”的逻辑呈现，清晰展示各模块的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“素养导向”的分层练习设计，数学运算模块选用2024新高考Ⅰ卷真题（例1）强化定理应用，逻辑推理模块通过证明题（例2）培养推理能力，数学建模模块结合实际问题（例3）提升建模意识。每个专题配有“尝试解答”引导自主探究，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化思维，助力教师实施精准复习教学。

一、数学运算 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，求得运算结果等.在本章中，数学运算主要表现在利用正、余弦定理解三角形上. 培优一｜利用正、余弦定理解三角形 【例1】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. （1）求B； （2）若△ABC的面积为3＋，求c. 尝试解答 二、逻辑推理 　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.在本章中，逻辑推理主要表现在利用正、余弦定理判定三角形的形状上. 培优二｜判断三角形的形状 【例2】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形. 尝试解答 三、数学建模 　　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.在本章中，数学建模主要表现在利用正、余弦定理解决实际问题上. 培优三｜正、余弦定理在解决实际问题中的应用 【例3】　如图，已知两条公路AB，AC的交会点A处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，在两公路旁M，N（异于点A）处设两个销售点，且满足∠A＝∠PMN＝75°，MN＝（＋）千米，MP＝2千米，设∠AMN＝θ. （1）试用θ表示AM，并写出θ的范围； （2）当θ为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小（即工厂与学校的距离最远）.（ 注：sin 75°＝） 尝试解答 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末整合提升 【例1】　解：（1）由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ab， 可得cos C＝＝＝， 因为C∈（0，π），所以C＝， 又sin C＝cos B，所以＝cos B， 即cos B＝，又B∈（0，π），所以B＝. （2）由（1）可得A＝， 则sin A＝sin＝sin（＋）＝×＋×＝，由正弦定理有＝， 从而a＝·c＝c， 又S△ABC＝acsin B＝3＋，即ac＝4（＋1）， 将a＝c代入，解得c＝2. 【例2】　证明：法一　由b－c＝a可得a＝（b－c）， 又∵cos A＝＝，即b2＋c2－a2＝bc， ∴b2＋c2－3（b－c）2＝bc⇒（b－2c）·（2b－c）＝0， ∴b＝2c或c＝2b（舍）， ∴a＝c，即a2＋c2＝b2，故△ABC为直角三角形. 法二　∵b－c＝a， ∴由正弦定理得sin B－sin C＝sin A＝， ∵A＋B＋C＝π，∴sin－sin C＝， 又∵sin－sin C＝cos C＋sin C－sin C＝cos C－sin C＝sin＝， ∴－C＝或－C＝（舍）， ∴C＝，∴B＝π－A－C＝，故△ABC为直角三角形. 【例3】　解：（1）已知∠AMN＝θ， 在△AMN中，由正弦定理得＝. ∵MN＝＋，∴AM＝4sin（75°＋θ）（0°＜θ＜105°）. （2）在△APM中，AM＝4sin（75°＋θ）， ∴AP2＝AM2＋MP2－2AM·MPcos∠AMP ＝16sin2（75°＋θ）＋12－16sin（75°＋θ）·cos（75°＋θ） ＝8[1－cos（2θ＋150°）]－8sin（2θ＋150°）＋12 ＝20－8[sin（2θ＋150°）＋cos（2θ＋150°）] ＝20－16sin（2θ＋180°） ＝20＋16sin 2θ（0°＜θ＜105°）， 当且仅当2θ＝90°，即θ＝45°时，AP2取得最大值36，即AP取得最大值6. 故当θ＝45°时，工厂产生的噪声对学校的影响最小. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $