专题05 三角形的角平分线、中线和高线问题7种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第四册）

专题05 三角形的角平分线、中线和高线问题7种常考压轴题归类 一、中线 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 推导过程：在中，， 在中， 联立两个方程可得： 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法： 推导过程：由， 则 所以 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 二、角平分线 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 推导过程：在中，， 在中，，， 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比， 再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题， 运用向量知识解决起来都较为简捷。 3、等面积法： 因为， 所以， 所以 整理的：（角平分线长公式） 三、垂线 1、分别为边上的高，则 2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度 高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。 压轴题型一：求三角形中线长 满分技法 (一)基本思路 利用三角形中线的性质,将中线与三角形的边、角建立联系,通过不同的定理和方法求解。 (二)常用方法 1.倍长中线法：延长中线一倍,构造平行四边形或全等三角形,将所求中线转化到其他三角形中,利用已知边和角的关系求解。例如,在 中,AD 是 BC 边的中线,延长 到 ,使 AD,连接 BE,可证,从而将 AC 转化到ABE 中,再结合其他条件求出 AE,进而得到中线 AD 的长度。 2.余弦定理法：若已知三角形三边长度,设三角形三边为 a,b,c,边 a 上的中线长为 ,根据 余弦定理可推导出中线长公式 ,直接代入数据计算。 3.向量法：设 , ,BC 边的中线为 AD,则 ,通过计算向量的模长 ,即 ,结合向量的运算规则和已知条件求 出中线长。 1．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）已知在中，满足,点M为线段上的一个动点，若取最小值时，则边的中线长为 ． 2．（2024高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，. (1)求； (2)若的面积为，，求边上的中线长. 3．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）从①；②；③.这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题.记锐角的内角的对边分别为，已知__________. (1)求角大小； (2)若面积为，，求边上的中线长； (3)若，求周长的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 4．（24-25高三上·湖北·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)若，，求AB边上的中线长. 5．（23-24高一下·四川成都·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，目． (1)求的值； (2)若，，求的面积； (3)若，，求中边上的中线长． 6．（22-23高一下·河南南阳·期末）已知△ABC中，，且△ABC的面积为，则△ABC的边AB上的中线长为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）已知为的外心，，当最大时，边上的中线长为 ． 压轴题型二：三角形中线长的最值(范围)问题 满分技法 (一)基本思路 将中线长表示为一个变量的函数,或者利用几何图形的性质,结合已知条件确定变量的取值范围。进而求出中线长的最值或范围。 (二)常用方法 1.函数法：通过余弦定理或其他关系将中线长表示为某一角度或边长的函数,再根据函数的性质 (如二次函数的最值、三角函数的值域等)求解。例如,设三角形的一个内角为 ,利用余弦定 理将中线长表示为关于 的三角函数,根据 的取值范围确定函数的值域,从而得到中线长的范 围。 2.几何法：根据三角形三边关系、三角形的运动变化等几何性质,确定中线的变化范围。如当三角 形的两个顶点固定,第三个顶点运动时,分析中线的变化情况,结合极端位置 (如三点共线等) 确定最值。 3.不等式法：利用均值不等式、三角形三边关系不等式等,建立关于中线长的不等式,求解不等式得到中线长的范围。 8．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． (1)求角B； (2)求边上中线长的最大值． 9．（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的最大值. 10．（23-24高三上·江苏南京·期末）锐角三角形中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，为的中点，求中线长的最大值. 11．（16-17高三上·浙江宁波·期中）已知向量，，若函数． （1）求时，函数的值域； （2）在中，，，分别是角，，的对边，若且，求边上中线长的最大值． 12．（24-25高三下·湖北·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点． (1)若，求角A的平分线AD的长； (2)求BC边上中线AD长的最小值． 13．（2023·浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为且， (1)求； (2)求边上中线长的取值范围． 14．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知内角所对的边分别为，面积为，且，求： (1)求角A的大小； (2)求边中线长的最小值. 压轴题型三：已知中线长求其它量 满分技法 (一)基本思路 根据已知中线长,结合中线的性质和其他定理,建立方程或等式,求解三角形的其他边、角等未知量。 (二)常用方法 1.方程法：设未知边或角,利用余弦定理、中线长公式等建立方程。例如已知三角形一边的中线长和其他两边的关系,设出未知边,代入中线长公式,得到关于未知边的方程,解方程求出未知边。 2.逆向使用倍长中线法：已知中线长,通过倍长中线构造全等或特殊图形,利用图形性质和已知条件求解其他量。 3.结合三角形面积法：根据中线将三角形面积平分的性质,结合已知的中线长和三角形面积公式, 求出三角形的高,进而求解其他边或角。 15．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在①；②；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：已知的内角的对边分别为且满足______． (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为，，求的面积. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 16．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知在中，角所对的边分别为.内角为等差数列，若边上的中线长为，且的面积为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 17．（23-24高一下·重庆·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，且，，若边的中线长等于，则（    ） A． B． C． D． 18．（2023·安徽安庆·一模）在中，三边所对的角分别为，已知， (1)若，求； (2)若边上的中线长为，求的长. 19．（2024·四川·三模）三角形中，角的对边分别为，且 . (1)求； (2)若边上的中线长为2，求的最小值. 20．（22-23高一·全国·课后作业）在中， ，，c边上的中线长为1，则的外接圆的半径长为 ． 压轴题型四：求角平分线长 满分技法 (一)基本思路 依据角平分线的性质,将角平分线与三角形的边、角联系起来,通过相关定理和公式求解。 (二)常用方法 1.角平分线定理法：角平分线定理指出,三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。结合余弦定理,设三角形ABC中,AD是BAC的角平分线,根据角平分线定 理有,再结合余弦定理列出关于角平分线AD的方程求解。 2.面积法：利用三角形面积的不同表示形式求解。设三角形ABC中,AD是ZBAC的角平分线,三角形面积,根据三角形面积公式,可得,通过等式求解角平分线AD的长度。 3.张角定理法:在中,为的平分线,则,直接代入已知的边和角的值,计算角平分线长。 21．（24-25高二上·湖北鄂州·阶段练习）在中，，E是边中点，线段AE长为 ，，是边上一点，是的角平分线，则（ ） A． B．1 C．2 D． 22．（23-24高一下·安徽合肥·期中）在中,内角所对的边分别是且. (1)求角; (2)若,求边上的角平分线长; (3)求边上的中线的取值范围． 23．（22-23高一下·山东青岛·期中）在中，． (1)若为边中点，求长； (2)若为角的角平分线，求长． 24．（21-22高一下·辽宁大连·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足． (1)求A的大小； (2)若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长． 压轴题型五：求角平分线长最值（范围）问题 满分技法 (一)基本思路 与中线长最值问题类似,将角平分线长表示为变量的函数或利用几何性质确定取值范围。 (二)常用方法 1.函数思想：通过角平分线定理、面积公式等将角平分线长表示为某一变量(如边长、角度)的函数,利用函数的单调性、极值等性质求解最值或范围。 2.几何变换与范围分析：结合三角形的形状变化、边的取值范围等几何因素,分析角平分线的变化情况。例如,当三角形的一个角固定,另外两边变化时,观察角平分线的变化,找到极端情况确定最值。 3.不等式约束：利用三角形三边关系不等式、三角函数的有界性等,建立关于角平分线长的不等 式,求解得到取值范围。 25．（24-25高一下·江苏苏州·期中）法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，如图，的内角的对边分别为，，以为边向外作三个等边三角形，其中心分别为. (1)求角； (2)若，且的周长为9，求； (3)若的面积为，求的角平分线的最大值. 26．（23-24高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的面积为． ①已知为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角A的角平分线长的最大值． 27．（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.） ①；②. (1)求A； (2)若的面积为，内角A的角平分线交边于E，求的最大值； (3)若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值. 压轴题型六：已知角平分线求其它量 满分技法 (一)基本思路 根据已知的角平分线,结合角平分线的相关性质和定理,构建等式成方程,求解三角形的其他未知 元素。 (二)常用方法 1.正向使用角平分线相关定理：利用角平分线定理、张角定理等,结合已知的角平分线长度和其他 条件,建立方程求解未知边或角。例如已知角平分线长和角平分线所分对边的比例关系,设出未 知边,通过角平分线定理和余弦定理建立方程求解。 2.面积关系法：由已知角平分线,根据面积公式和角平分线将三角形面积的分割关系,求出三角形的面积,进而求解其他边、角等。 3.构造辅助线法：通过作辅助线,如过角平分线上一点作角两边的垂线等,构造全等三角形或特殊图形,利用图形性质求解其他量。 28．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）△ABC中， AB=3，AC=2，∠BAC=60°， 中线AM长为m，角平分线AD的长为n，则 29．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，是的角平分线，且是上的一点，过的直线分别交边于点，且的面积为． (1)求线段的长； (2)若，求的值． 30．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小； (2)若，的角平分线交于点，且，求边上的中线的长. 31．（20-21高二下·四川成都·期中）在中，，，分别是角，，的对边，角为钝角，，，． （1）求角的大小； （2）内角的角平分线交线段于点，且，与的面积之比为，求边的长． 压轴题型七：三角形的高线问题 满分技法 (一)基本思路 利用三角形高线与边、角的关系,结合不同的定理和公式,求解高线长度或与高线相关的其他问 题。 (二)常用方法 1.面积法：根据三角形面积公式 (a 为底,h 为这条底上的高),已知三角形面积和底) 长,可求出高线长；反之,已知高线长和面积可求对应底边。若已知三边长度,可先用海伦公式 求出面积,再求高线。 2.三角函数法：在直角三角形中,利用三角函数关系求解高线。例如在AABC 中,AD 是 BC 边上的高,若已知∠B 和 AB 的长度,则 。 3.相似三角形法：通过构造相似三角形,利用相似三角形对应边成比例的性质,求出高线长。当三角形中有多个直角或平行关系时,常可利用相似三角形求解。 32．（2023·重庆·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，． (1)求； (2)若，边上的高线长，求． 33．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·福建南平·模拟预测）在中，若，边上中线长为3，则 A．-7 B．7 C．-28 D．28 2．（2025高二·安徽芜湖月考）已知钝角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．若边上中线长为，，求的面积（    ） A． B． C．或 D． 3．（2025高一·浙江宁波·期末）如图，已知为中的角平分线，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·贵州黔东南·期中）在△ABC中，，AC边的中线长，则△ABC周长的最大值为（    ） A． B．6 C． D．9 5．（2025高一·北京·期中）在中，，则BC边上的中线长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2025高一·山西大同月考）在中，若，则（    ） A． B．的面积为 C． D．BC边上的高线长为 7．（2025高一·广东佛山月考）设点在的边BC上，且满足则下列结论正确的是（   ） A．是等腰三角形 B．若，向量的夹角为 C．直线是角的角平分线； D． 8．（2025高二·河北张家口月考）在中，为上一点，，则（    ） A．当为角的角平分线时， B． C．当为中点时， D．的外接圆半径为1 9．（2025高一·内蒙古赤峰·期末）已知是所在平面内一点，，则下列命题是真命题的是（    ） A．外接圆的半径为 B．内切圆的半径为 C．边上中线长为 D．若为的外心，则在上的投影向量为 10．（2025高一·河南新乡月考）在三角形中，令，，若，，，，则（　　） A．，的夹角为 B．， C． D．三角形的边上的中线长为 11．（2025高一·河南南阳·期中）在中，，，，则（    ） A．的周长是 B．边上的中线长 C．边上的角平分线长 D．边上的高长 三、填空题 12．（2025高三·江苏南通月考）中，，，，的角平分线交于，则 . 13．（2025高三·福建泉州·期中）在中，是的角平分线且，，若，则的面积为 . 14．（2025高三·江苏常州·期中）在中，，，边上的中线长为，则的面积为 ． 15．（2025高三·江苏月考）在锐角三角形，，且则边上的中线长为 ． 16．（2024·吉林·模拟预测）在中，令，，若，，，，则的边上的中线长为 ． 17．（2025高一·福建厦门月考）已知三角形ABC，点D为线段AC上一点，BD是的角平分线，为直线BD上一点，满足，，，则 . 18．（2025高三·黑龙江哈尔滨月考）在中，角，，的对边分别为，，，若，边的中线长为1，则的最小值为 ． 四、解答题 19．（2025高一·四川成都·期中）已知平面内三点. (1)求中边中线长； (2)若点是线段上靠近点的三等分点，试求点坐标. 20．（2025·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积记为S，已知，． (1)求A； (2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长． 21．（2025高一·湖南株洲·期末）在中，角所对的边分别为，向量，，且，为线段上一点. (1)求角的大小； (2)若为角的角平分线，，的周长为15，求的长. 22．（2025高一·河南驻马店·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的外接圆的半径，且满足． (1)求角B； (2)若BD为AC边上的角平分线，且，求的面积； (3)设的外接圆的圆心为O，且，求的取值范围． 23．（2025高一·山东枣庄月考）已知向量，，函数． (1)求的解析式和当时在方向上的投影向量； (2)已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，求的边上的中线长； (3)若，，求． 24．（2025高一·浙江台州·期末）在中，角所对的边分别为，满足. (1)求的值； (2)当与边上的中线长均为2时，求的周长； (3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 25．（2025高二·贵州月考）的内角，，的对边分别是，，，，，____________. (1)若在横线处填入，求； (2)给出两个条件： ①内角的平分线长为； ②BC边上的中线长为. 从条件①②中选择一个填入横线，求的面积.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）. 26．（2025高一·上海月考）在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值； (3)若点在的角平分线上，当时，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形的角平分线、中线和高线问题7种常考压轴题归类 一、中线 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 推导过程：在中，， 在中， 联立两个方程可得： 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法： 推导过程：由， 则 所以 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 二、角平分线 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 推导过程：在中，， 在中，，， 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比， 再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题， 运用向量知识解决起来都较为简捷。 3、等面积法： 因为， 所以， 所以 整理的：（角平分线长公式） 三、垂线 1、分别为边上的高，则 2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度 高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。 压轴题型一：求三角形中线长 √满分技法 (一)基本思路 利用三角形中线的性质,将中线与三角形的边、角建立联系,通过不同的定理和方法求解。 (二)常用方法 1.倍长中线法：延长中线一倍,构造平行四边形或全等三角形,将所求中线转化到其他三角形中,利用已知边和角的关系求解。例如,在 中,AD 是 BC 边的中线,延长 到 ,使 AD,连接 BE,可证,从而将 AC 转化到ABE 中,再结合其他条件求出 AE,进而得到中线 AD 的长度。 2.余弦定理法：若已知三角形三边长度,设三角形三边为 a,b,c,边 a 上的中线长为 ,根据 余弦定理可推导出中线长公式 ,直接代入数据计算。 3.向量法：设 , ,BC 边的中线为 AD,则 ,通过计算向量的模长 ,即 ,结合向量的运算规则和已知条件求 出中线长。 1．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）已知在中，满足,点M为线段上的一个动点，若取最小值时，则边的中线长为 ． 【答案】/ 【分析】设，根据题意可推得，，进一步根据取最小值时，求得对应的，，由此即可得解. 【详解】 设， 则，四边形为平行四边形， ， ， 又四边形为平行四边形， ， 设， ， 由题意即恒成立，且存在使得成立， 其次当且仅当， 此时，， 所以边的中线长为. 故答案为：. 2．（2024高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，. (1)求； (2)若的面积为，，求边上的中线长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）条件式利用正弦定理化简，结合三角恒等变换求解； （2）由余弦定理结合三角形面积公式可得，，设为的中点，方法一，由结合余弦定理代入运算得解；方法二，利用向量关系，结合数量积运算得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即，化简得， 因为，所以， 则，解得. （2）由余弦定理可得， 又的面积为， 解得，则， 方法一：如图，设为的中点， 则，又， 则， 在和中，分别使用余弦定理可得， 化简得， 代入，解得（负值舍去）， 故边上的中线长为. 方法二：设为的中点，则， 所以. 故边上的中线长为. 3．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）从①；②；③.这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题.记锐角的内角的对边分别为，已知__________. (1)求角大小； (2)若面积为，，求边上的中线长； (3)若，求周长的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式逐个条件求解即可. （2）利用同角三角函数的基本关系结合三角形面积公式求出边长，再结合向量中线定理求解即可. （3）利用正弦定理表示出边长，结合同角三角函数的基本关系化简，利用题意求出角度范围，进而利用正弦函数和正切函数的性质得到单调性，最后求解范围即可. 【详解】（1）若我们选择条件①，则有， 在中，由正弦定理得， 所以，所以， 故，因为，所以，解得， 若我们选择条件②，则有， 在中，由正弦定理得， 故， 整理得，所以， 故，得到， 因为，所以，解得， 若我们选择条件③，则有， 在中，所以， 所以， 故，可得， 因为，所以解得，故得； （2）在中，因为，所以， 所以，故得， 而在中，恒成立，故得， 因为，所以， 解得，，因为面积为， 所以，解得， 由上问得，故，解得， 而， 所以，解得， 综上可得(负根舍去)， 设边上的中线为，由向量中线定理得， 所以， 代入得， 解得，故，故中线长度为； （3）在中，因为，且由上问得， 所以由正弦定理得， 故，解得，， 所以， ， 故周长为， 因为锐角，所以，，所以， 因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 而设，所以在上单调递减， 而， 当时，，所以， 故周长的取值范围为. 4．（24-25高三上·湖北·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)若，，求AB边上的中线长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换等知识求得. （2）利用余弦定理求得，利用向量法求得AB边上中线长. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得. 又因为，则，所以. 整理得，即. 因为，所以，所以，所以. （2）由余弦定理，且， 则有， 又，故. 设边上中线为CM，则， ，故边上中线长为. 5．（23-24高一下·四川成都·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，目． (1)求的值； (2)若，，求的面积； (3)若，，求中边上的中线长． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角可得，即可由同角平方和关系求解， （2）根据余弦定理可得，即可根据面积公式求解， （3）根据向量的模长公式即可求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得：， ，，，， 由，解得； （2）在中，由余弦定理得， 得，解得或（舍）， 由（1）知，故的面积； （3）设为的中点，则， ， 解得，即中边上的中线长为．    6．（22-23高一下·河南南阳·期末）已知△ABC中，，且△ABC的面积为，则△ABC的边AB上的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用正弦定理可得，结合面积公式可得，再根据向量可知，结合数量积的运算律求模长. 【详解】由正弦定理可得：，设， 由面积公式，即，解得， 则， 设边AB上的中线为，则， 可得， 即. 故选：B. 7．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）已知为的外心，，当最大时，边上的中线长为 ． 【答案】 【分析】作出图形，利用平面向量的运算得到，再利用余弦定理与基本不等式求得最大时的值，从而得解. 【详解】取中点D，连接，则， 则， 所以，即，又，所以，， 则， 当且仅当，即时取等号，此时角最大， 同时，所以， 所以边上中线长为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用面向量的运算转化，得到，从而得解. 压轴题型二：三角形中线长的最值(范围)问题 √满分技法 (一)基本思路 将中线长表示为一个变量的函数,或者利用几何图形的性质,结合已知条件确定变量的取值范围。进而求出中线长的最值或范围。 (二)常用方法 1.函数法：通过余弦定理或其他关系将中线长表示为某一角度或边长的函数,再根据函数的性质 (如二次函数的最值、三角函数的值域等)求解。例如,设三角形的一个内角为 ,利用余弦定 理将中线长表示为关于 的三角函数,根据 的取值范围确定函数的值域,从而得到中线长的范 围。 2.几何法：根据三角形三边关系、三角形的运动变化等几何性质,确定中线的变化范围。如当三角 形的两个顶点固定,第三个顶点运动时,分析中线的变化情况,结合极端位置 (如三点共线等) 确定最值。 3.不等式法：利用均值不等式、三角形三边关系不等式等,建立关于中线长的不等式,求解不等式得到中线长的范围。 8．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． (1)求角B； (2)求边上中线长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，从而利用余弦定理即可求解； （2）根据余弦定理结合基本不等式可得，再利用中线向量结合数量积的运算即可求解. 【详解】（1）由，可得：， 即， 所以，而，所以； （2）根据余弦定理可得，，即， ，即，当且仅当时， 等号成立. 是边上中线，， ， ，当且仅当时等号成立，即的最大值为. 9．（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角互换以及余弦定理进行化简即可得解. （2）利用向量模的平方以及余弦定理，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：，则， 即， 由余弦定理可得：， 因为，所以. （2）因为为的中点，所以， 则， 又由余弦定理得，， 即，所以. 由得，， 则，当且仅当取等号， 即， 所以，即中线长的最大值为. 10．（23-24高三上·江苏南京·期末）锐角三角形中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，为的中点，求中线长的最大值. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由正弦定理边角互换以及三角恒等变换进行化简即可得解. （2）利用向量模的平方以及余弦定理，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 则. 因为， 所以， 又，所以， 由题意知，所以. （2）因为为的中点，所以， 则， 又由余弦定理得，， 即，所以. 由得，， 则，当且仅当取等号，即， 所以，即中线长的最大值为. 11．（16-17高三上·浙江宁波·期中）已知向量，，若函数． （1）求时，函数的值域； （2）在中，，，分别是角，，的对边，若且，求边上中线长的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【详解】试题分析：（1）利用平面向量数量积的坐标表示以及三角恒等变形将的表达式化简，再根据三角函数的性质即可求其值域；（2）利用（1）中的结论结合条件可得，再由余弦定理可求得的最大值，从而利用中线长公式可求得其最大值． 试题解析：（1） ，∵，∴， ∴的范围是，值域；（2）由（1）得 ，又∵，∴， 由余弦定理， 则边上中线长，当且仅当时，等号成立，即所求最大值为． 考点：1．平面向量数量积坐标表示；2．三角恒等变形；3．不等式求最值． 12．（24-25高三下·湖北·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点． (1)若，求角A的平分线AD的长； (2)求BC边上中线AD长的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用余弦定理可得，再由及已知列方程求； （2）根据线段的关系及向量加减、数乘的几何意义有，整理并应用基本不等式求最小值. 【详解】（1）因为，，， 所以，所以， 由，且是角A的平分线， 所以，所以. （2）因为D是BC的中点，所以， 两式平方，并代换得 ，当且仅当时取等号， 所以AD长的最小值为. 13．（2023·浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为且， (1)求； (2)求边上中线长的取值范围． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理进行边角转化，分析运算即可； （2）利用余弦定理和基本不等式可得，再根据，结合向量的相关运算求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理得， 且，则，可得，即， 且，则， 由正弦定理，其中为的外接圆半径， 可得， 又因为， 所以. （2）在中，由余弦定理，即， 则，当且仅当时，等号成立， 可得，即 设边上的中点为D， 因为，则 ， 即，所以边上中线长的取值范围为. 14．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知内角所对的边分别为，面积为，且，求： (1)求角A的大小； (2)求边中线长的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先使用余弦定理，再用正弦定理进行角变边即求得结果； （2）由平面向量可知，两边平方，用三角形的边及角表示并结合基本不等式得出结果. 【详解】（1），由余弦定理可得，即， 由正弦定理可得， ，. ，即，又，所以. （2）由（1）知，，的面积为， 所以，解得. 由平面向量可知，所以 ， 当且仅当时取等号， 故边中线的最小值为. 压轴题型三：已知中线长求其它量 √满分技法 (一)基本思路 根据已知中线长,结合中线的性质和其他定理,建立方程或等式,求解三角形的其他边、角等未知量。 (二)常用方法 1.方程法：设未知边或角,利用余弦定理、中线长公式等建立方程。例如已知三角形一边的中线长和其他两边的关系,设出未知边,代入中线长公式,得到关于未知边的方程,解方程求出未知边。 2.逆向使用倍长中线法：已知中线长,通过倍长中线构造全等或特殊图形,利用图形性质和已知条件求解其他量。 3.结合三角形面积法：根据中线将三角形面积平分的性质,结合已知的中线长和三角形面积公式, 求出三角形的高,进而求解其他边或角。 15．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在①；②；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：已知的内角的对边分别为且满足______． (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为，，求的面积. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)所选条件见解析，； (2). 【分析】（1）根据所选条件，应用正弦边角关系、三角恒等变换化简条件，结合三角形的内角性质求角的大小； （2）设BC的中点为D，应用向量数量积的运算律及定义得求，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】（1）①在中，由，得， 由正弦定理得，则， 结合已知条件得， 因为，，或（舍），解得. ②由题意，即， 由正弦定理得， 又，所以，则，所以， ③在中，，则， 所以， 即，又，， 所以，所以 （2）设BC的中点为D，根据向量的平行四边形法则可知，    所以，即， 因为，，，所以，解得（负值舍）， 所以. 16．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知在中，角所对的边分别为.内角为等差数列，若边上的中线长为，且的面积为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先求出B，根据平行四边形法则得，两边平方得到一个关于，的方程，再根据面积公式得到，的另一个方程，最后由余弦定理计算出. 【详解】因为内角成等差数列，所以,即， 设中点为，所以，由题意，， 所以，即， 又因为，所以，， 由余弦定理，，所以. 故选：A. 17．（23-24高一下·重庆·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，且，，若边的中线长等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可求出，设的中点为，则，将两边平方，结合数量积的运算律及定义计算可得. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以． 设的中点为，则， 所以， 又， 所以，又， 所以，解得或（舍去）. 故选：C 18．（2023·安徽安庆·一模）在中，三边所对的角分别为，已知， (1)若，求； (2)若边上的中线长为，求的长. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理整理得，得到，求得，再由正弦定理，即可求解； （2）设边上的中线为，得到，结合向量的运算，求得，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】（1）解：因为且， 由正弦定理得， 整理得， 因为，可得， 可得， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以， 由正弦定理的且，可得. （2）解：设边上的中线为，则， 所以， 因为边上的中线长为，可得，整理得， 解得或（舍去）， 所以.    19．（2024·四川·三模）三角形中，角的对边分别为，且 . (1)求； (2)若边上的中线长为2，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式化简即可得解； （2）利用向量化及余弦定理结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）由， 得，即， 所以，即， 又，所以； （2）设的中点为， 则， 平方得，即， 所以，当且仅当时取等号， 由余弦定理得， 因为，所以， 即的最小值为，当且仅当时取等号. 20．（22-23高一·全国·课后作业）在中， ，，c边上的中线长为1，则的外接圆的半径长为 ． 【答案】1 【分析】设D为边的中点，则，平方后可求得，继而求得，利用正弦定理即可求得答案. 【详解】如图，在中，设D为边的中点， 则，,所以, 故，而, 所以 ,则， 由于，故， 所以 ，设的外接圆的半径为R, 则 ， 故答案为：1 压轴题型四：求角平分线长 √满分技法 (一)基本思路 依据角平分线的性质,将角平分线与三角形的边、角联系起来,通过相关定理和公式求解。 (二)常用方法 1.角平分线定理法：角平分线定理指出,三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。结合余弦定理,设三角形ABC中,AD是BAC的角平分线,根据角平分线定 理有,再结合余弦定理列出关于角平分线AD的方程求解。 2.面积法：利用三角形面积的不同表示形式求解。设三角形ABC中,AD是ZBAC的角平分线,三角形面积,根据三角形面积公式,可得,通过等式求解角平分线AD的长度。 3.张角定理法:在中,为的平分线,则,直接代入已知的边和角的值,计算角平分线长。 21．（24-25高二上·湖北鄂州·阶段练习）在中，，E是边中点，线段AE长为 ，，是边上一点，是的角平分线，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】由E是边中点，得，两边平方化简可求出，再由化简可求出. 【详解】因为E是边中点，所以， 所以， 所以， 所以，即，得， 因为是的角平分线，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得. 故选：A 22．（23-24高一下·安徽合肥·期中）在中,内角所对的边分别是且. (1)求角; (2)若,求边上的角平分线长; (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用正弦定理将边化为角,再进行三角恒等变换,求出,得出即可. （2）先选用余弦定理得出关系式,再将三角形面积进行转化,用等面积法. ,运用面积公式求解即可. （3）先用中线的向量表达式,,两边平方,将中线长转化为求的范围,后将又转化为三角函数求值域问题,最终求得中线长范围. 【详解】（1）因为,根据正弦定理, 即, 即,又, 所以,因为,所以． （2）由及余弦定理得,即, 又因为,所以, 所以, 所以,即． （3）因为是的中点,所以, 则, 由正弦定理得, 即, 因为,所以,所以, 所以,所以,所以, 所以,即边上的中线的取值范围为． 23．（22-23高一下·山东青岛·期中）在中，． (1)若为边中点，求长； (2)若为角的角平分线，求长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角得到，结合为边中点得到，通过向量平方转化求解即可； （2）根据等面积法直接代入计算即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，， 因为，所以， 因为， 所以，因为，所以， 所以，因为，所以. 因为为边中点，所以， 则， 又因为，所以， 即长为 （2）因为为角的角平分线，所以， 所以， 所以，则 24．（21-22高一下·辽宁大连·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足． (1)求A的大小； (2)若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再由三角恒等变换化简即可求出角A； （2）由数量积公式可得，再由余弦定理求出，根据三角形面积公式利用建立方程求解即可. 【详解】（1）因为， ∴， 因为，所以， 所以，又， ∴， 所以，即. （2）由，得， ∴，又， ∴， 可得， ∵， ∴， 所以. 压轴题型五：求角平分线长最值（范围）问题 √满分技法 (一)基本思路 与中线长最值问题类似,将角平分线长表示为变量的函数或利用几何性质确定取值范围。 (二)常用方法 1.函数思想：通过角平分线定理、面积公式等将角平分线长表示为某一变量(如边长、角度)的函数,利用函数的单调性、极值等性质求解最值或范围。 2.几何变换与范围分析：结合三角形的形状变化、边的取值范围等几何因素,分析角平分线的变化情况。例如,当三角形的一个角固定,另外两边变化时,观察角平分线的变化,找到极端情况确定最值。 3.不等式约束：利用三角形三边关系不等式、三角函数的有界性等,建立关于角平分线长的不等 式,求解得到取值范围。 25．（24-25高一下·江苏苏州·期中）法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，如图，的内角的对边分别为，，以为边向外作三个等边三角形，其中心分别为. (1)求角； (2)若，且的周长为9，求； (3)若的面积为，求的角平分线的最大值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，进而得到，即可求得的值； （2）由（1）知，求得，在中，由余弦定理得，再在中，由余弦定理得到，联立求得，结合向量的数量积的运算公式，即可求得的值； （3）在等边中，求得，结合三角形的面积公式，化简得到，进而得到，由，利用基本不等式，求得，得到，设，得到，令，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：在中，因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 因为，可得，所以，即， 因为，所以. （2）解：由（1）知，由等边的周长为9，可得， 又由，，， 在中，由余弦定理，可得， 则，即， 在中，由余弦定理得，即， 联立解得， 所以 . （3）解：由等边的面积为，可得， 又由（2）知：，即， 由，可得， 则， 因为，则， 又因为，即，解得， 所以， 设，则，则 令函数，而函数与在上均单调递增， 则函数在上单调递增，所以，则 所以的最大值是. 26．（23-24高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的面积为． ①已知为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角A的角平分线长的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意由正弦定理可得，再利用余弦定理可得，即可得结果； （2）①由面积公式可得，再根据中线性质结合基本不等式可得；②根据角平分线结合面积关系可得，利用倍角公式可得，结合基本不等式分析求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 整理得，则， 且，所以. （2）①由题意可得，解得， 由于， 则 ， 当且仅当时取等号，所以， ②因为为角A的角平分线，则， 因为，则， 且，则，可得， 又因为，则，即， 且，则， 又因为，当且仅当时，等号取得到， 则，所以． 27．（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.） ①；②. (1)求A； (2)若的面积为，内角A的角平分线交边于E，求的最大值； (3)若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）选①，利用正弦定理化边为角，再求出，即可得解；选②，利用正弦定理化边为角，再根据余弦定理即可得解； （2）根据，再结合基本不等式即可得解； （3）由题意，两边平方得，结合余弦定理可求出，再根据数量积得几何意义即可得解. 【详解】（1）若选①， 在中，由及正弦定理， 得， 而，则， 显然，因此，， 则，得，解得， 又，所以； 若选②， 由已知条件及正弦定理，得， 所以， 又，所以； （2）由得，， 又， ∴， ∴（当且仅当时取等）， 即的最大值为； （3）在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又因为， 两边平方得， 则，即， 解得， 令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心， 得，， ， ， 所以. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 压轴题型六：已知角平分线求其它量 √满分技法 (一)基本思路 根据已知的角平分线,结合角平分线的相关性质和定理,构建等式成方程,求解三角形的其他未知 元素。 (二)常用方法 1.正向使用角平分线相关定理：利用角平分线定理、张角定理等,结合已知的角平分线长度和其他 条件,建立方程求解未知边或角。例如已知角平分线长和角平分线所分对边的比例关系,设出未 知边,通过角平分线定理和余弦定理建立方程求解。 2.面积关系法：由已知角平分线,根据面积公式和角平分线将三角形面积的分割关系,求出三角形的面积,进而求解其他边、角等。 3.构造辅助线法：通过作辅助线,如过角平分线上一点作角两边的垂线等,构造全等三角形或特殊图形,利用图形性质求解其他量。 28．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）△ABC中， AB=3，AC=2，∠BAC=60°， 中线AM长为m，角平分线AD的长为n，则 【答案】 【分析】中线用向量即可求的值；角平分线用即可求的值. 【详解】AM为中线，则，则，则， AD为角平分线，则，即， 得， 则 故答案为： 29．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，是的角平分线，且是上的一点，过的直线分别交边于点，且的面积为． (1)求线段的长； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量线性运算得到，利用角平线的性质得，从而由余弦定理得，再利用，即可求出结果； （2）设， 由面积公式得到，再利用向量共线得到，再结合条件，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 即，得到， 因为是的角平分线，所以，所以．           又，由余弦定理得， 又，所以，         因为，所以，           解得. （2）设， ，解得， 因为，所以， 因为三点共线，所以，即，               所以，又， 所以， 得到，又，解得， 所以，得到，所以． 30．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小； (2)若，的角平分线交于点，且，求边上的中线的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意结合正、余弦定理边角转化即可得结果； （2）根据题意利用余弦定理和面积公式可得，，再根据中线性质结合数量积的运算律分析求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由题意可知：，， 又因为，则，， 且，则，即， 整理可得，， 又因为为边上的中线，则， 可得， 所以. 31．（20-21高二下·四川成都·期中）在中，，，分别是角，，的对边，角为钝角，，，． （1）求角的大小； （2）内角的角平分线交线段于点，且，与的面积之比为，求边的长． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示以及向量模的坐标运算得到．从而得到方程，由此能求出． （2）由与的面积比为，结合角平分线定理得，设，则，由余弦定理得，，由此能求出边的长． 【详解】解：（1）因为， 所以， ， 所以 因为为钝角，所以，所以 所以，， ∴，∴或（舍）， 又∵，∴． （2）与的面积的比为，∴， 又，所以， 设，则， 中，由余弦定理得， 中，由余弦定理得， ∴， ∴， 故边的长为4． 压轴题型七：三角形的高线问题 √满分技法 (一)基本思路 利用三角形高线与边、角的关系,结合不同的定理和公式,求解高线长度或与高线相关的其他问 题。 (二)常用方法 1.面积法：根据三角形面积公式 (a 为底,h 为这条底上的高),已知三角形面积和底) 长,可求出高线长；反之,已知高线长和面积可求对应底边。若已知三边长度,可先用海伦公式 求出面积,再求高线。 2.三角函数法：在直角三角形中,利用三角函数关系求解高线。例如在AABC 中,AD 是 BC 边上的高,若已知∠B 和 AB 的长度,则 。 3.相似三角形法：通过构造相似三角形,利用相似三角形对应边成比例的性质,求出高线长。当三角形中有多个直角或平行关系时,常可利用相似三角形求解。 32．（2023·重庆·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，． (1)求； (2)若，边上的高线长，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积的坐标运算，利用三角恒等变形的公式化简整理得的值，然后通过平方可得的值； （2）先利用（1）的结果得到的值，综合得到的值，再利用三角形的面积公式以及正弦定理边化角可得的值. 【详解】（1）由已知得 ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ，又， ， ， ， ， . 33．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A中，由正弦定理可得中线的表达式，判断出A的真假；B中，由三角形等面积法求出角平分线的表达式，判断出B的真假；C中，由三角形等面积法求出高的表达式，判断出C的真假；D中，由选项的分析，可得三角形的面积的表达式，判断出D的真假． 【详解】A：设为的中线，由可得,可得， 即，所以A正确； B中，设，设为的角平分线，所以， 由三角形等面积法可得， 可得， 所以，即，所以B正确； 设为边上的高，由等面积法可得， 所以，因为，由余弦定理可得， 所以， 所以， 即，所以C正确； D中，由C可得，所以D不正确． 故选：D． 一、单选题 1．（2025·福建南平·模拟预测）在中，若，边上中线长为3，则 A．-7 B．7 C．-28 D．28 【答案】A 【解析】分析：设的中点为，由向量的加法运算可得：，代入长度可得解. 详解：在中，设的中点为，则. 由题意知：. 则. 故选A. 点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式.二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量数量积的坐标运算，即可求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 2．（2025高二·安徽芜湖月考）已知钝角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．若边上中线长为，，求的面积（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】先结合正弦定理化简求出，进而求出角,再结合向量的实数化求出，则三角形的面积可求. 【解析】因为， 所以由正弦定理可得， 因为在三角形中， 所以， 又因为， 所以， 所以或， 因为边上中线长为，， 设中点为， 则可得， 所以， 又因为边上中线长为，， 所以， 当时，代入可得，解之可得， 则 所以，即为直角三角形，与题意矛盾，故舍去. 当时，代入可得，解之可得， 则的面积. 故选：B. 3．（2025高一·浙江宁波·期末）如图，已知为中的角平分线，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件，利用余弦定理求出，即可得到为直角三角形，从而求出，然后求解向量的数量积即可． 【解析】解：为中的角平分线，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以， ． 故选：． 4．（2025高一·贵州黔东南·期中）在△ABC中，，AC边的中线长，则△ABC周长的最大值为（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】由题意得，平方化简结合余弦定理可得，设，，由可求出的最大值，从而可求出△ABC周长的最大值 【解析】解：由题，∵， ∴， 即，即， 设，， 由得， 则，（当且仅当，即，是取等）， ∴周长的最大值为6． 故选：B 5．（2025高一·北京·期中）在中，，则BC边上的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】为的中点，则，对其两边同时平方结合数量积的运算律化简即可得出答案. 【解析】如下图，设为的中点，则， 两边同时平方可得：， ， 解得：. 故选：A. 二、多选题 6．（2025高一·山西大同月考）在中，若，则（    ） A． B．的面积为 C． D．BC边上的高线长为 【答案】ABC 【分析】A，由余弦定理得到，结合同角三角函数关系得到；B选项，利用三角形面积公式求出答案；C选项，根据平面向量数量积公式计算；D选项，由B选项中三角形面积求出BC边上的高线. 【解析】A选项，在中，， 因为，所以，A正确； B选项，，故B正确; C选项，，C正确； D选项，设BC边上的高线为，则，解得，D错误. 故选：ABC 7．（2025高一·广东佛山月考）设点在的边BC上，且满足则下列结论正确的是（   ） A．是等腰三角形 B．若，向量的夹角为 C．直线是角的角平分线； D． 【答案】CD 【分析】依题意没有条件能说明是等腰三角形，即A错误；易知，分别表示方向的单位向量，根据平行四边形法则可知直线是角的角平分线；可得C正确，将变形可得，再由可知是等腰直角三角形，即B错误，利用向量数量积运算律计算可得D正确. 【解析】根据题意设，因此即为方向的单位向量， 令，可知四边形为菱形，如下图所示： 所以即为角的角平分线； 又易知，即三点共线， 所以直线是角的角平分线，可知C正确； 没有条件能说明是等腰三角形，即A错误； 若，可得， 即，又直线是角的角平分线可知， 即是等腰三角形，又，所以是等腰直角三角形， 所以向量的夹角为，可得B错误； 易知，分别表示方向的单位向量，即， 所以，即D正确. 故选：CD 8．（2025高二·河北张家口月考）在中，为上一点，，则（    ） A．当为角的角平分线时， B． C．当为中点时， D．的外接圆半径为1 【答案】AC 【分析】利用三角形面积公式计算判断A；利用余弦定理判断B；利用向量数量积的运算律计算判断C；利用正弦定理求出外接圆半径判断D. 【解析】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，在中，，由余弦定理得，B错误； 对于，，则，C正确； 对于D，的外接圆半径，D错误. 故选：AC 9．（2025高一·内蒙古赤峰·期末）已知是所在平面内一点，，则下列命题是真命题的是（    ） A．外接圆的半径为 B．内切圆的半径为 C．边上中线长为 D．若为的外心，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】由正弦定理与外接圆的半径的关系计算即可判断；由等面积法结合三角形面积公式判断求出；由向量数量积的运算和三角形的中线性质计算即可判断C，利用投影向量的定义判断D． 【解析】根据余弦定理可得：， 对于，设外接圆的半径为，则，解得，故正确； 对于，的面积为，设内切圆的半径为， 则，解得，故错误； 对于，设的中点为D，则 边上中线长为，故正确； 对于，若为的外心，则在上的投影向量为，故正确． 故选：． 10．（2025高一·河南新乡月考）在三角形中，令，，若，，，，则（　　） A．，的夹角为 B．， C． D．三角形的边上的中线长为 【答案】ABD 【分析】A选项，利用平面向量夹角余弦公式进行求解；B选项，利用消元法解出，；C选项，设，从而得到方程组求解；D选项，得到，从而利用模长公式求出答案. 【解析】A选项.设，的夹角为，则，所以，所以A正确； B选项.因为，，所以，，所以B正确； C选项.令，则，因为，不共线， 所以，这样的不存在，所以C不正确； D选项.设D为的中点，则， 所以，所以D正确. 故选：ABD. 11．（2025高一·河南南阳·期中）在中，，，，则（    ） A．的周长是 B．边上的中线长 C．边上的角平分线长 D．边上的高长 【答案】ACD 【分析】由题意利用余弦定理可得的值，即可判断A；，两边平方，利用平面向量数量积的运算可求，即可判断B；由以及正弦定理形式的面积公式即可判断C；设边上的高为，利用三角形的面积公式即可判断D. 【解析】因为在中，，，， 所以由余弦定理得， 所以的周长是，故A正确； 设边上的中线为，则，两边平方， 可得，解得，故B错误； 设边上的角平分线为，则， 则由得， 所以，解得，故C正确； 设边上的高为，因为，，，， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知三角形一边及其对角，如已知的一边及其对角，则 （1）求角平分线常用等面积公式即来求解； （2）求（为边上的点且满足）常用向量法先得，再两边平方来求解. 三、填空题 12．（2025高三·江苏南通月考）中，，，，的角平分线交于，则 . 【答案】 【分析】在中，利用正弦定理可得，进而根据数量积的定义运算求解. 【解析】由题意可知： ， ， 由角平分线可知：， 在中，由正弦定理，所以， 所以. 故答案为：. 13．（2025高三·福建泉州·期中）在中，是的角平分线且，，若，则的面积为 . 【答案】6 【分析】根据题意，在和中，利用正弦定理求得，再由余弦定理求得及，利用同角三角函数关系得，结合面积公式即可求解. 【解析】因为，所以，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为，且，所以， 又，所以，设， 则由余弦定理得， ， 所以，化简得，解得，所以， 所以，所以， . 故答案为：6 14．（2025高三·江苏常州·期中）在中，，，边上的中线长为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由正弦定理将角化边，即可求出，设中点为，，根据数量积的运算律及定义求出，从而求出，最后由面积公式计算可得. 【解析】解：因为，由正弦定理可得， 又，所以， 设中点为，， 所以 所以，解得， 所以，所以． 故答案为：. 15．（2025高三·江苏月考）在锐角三角形，，且则边上的中线长为 ． 【答案】 【分析】根据题设条件整理得，再利用正弦定理和余弦定理得到，进而利用向量的数量积运算求得，由此得解. 【解析】因为，所以， 整理得，即， 即，即， 由正弦定理，可得， 又由余弦定理得， 所以，即，则， 假设的中点为，则，所以，    则， 所以. 故答案为：. 16．（2024·吉林·模拟预测）在中，令，，若，，，，则的边上的中线长为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，易知，再由模长及数量积可得结果. 【解析】设的中点为，如下图所示：    则， 由，可得； 所以， 可得中线长. 故答案为： 17．（2025高一·福建厦门月考）已知三角形ABC，点D为线段AC上一点，BD是的角平分线，为直线BD上一点，满足，，，则 . 【答案】6 【分析】由已知有为△的旁心且， 法一：作于点，可得，再由，即可求值. 法二：应用特殊处理，假设△为等边三角形，根据已知条件易得且，再由，即可求值. 【解析】由为方向上的单位向量，易知：是外角的角平分线， 又BD是的角平分线，即为△的旁心，而，， 法一：作于点，则，如下图示， 所以，又， 所以. 法二：不妨设△为等边三角形，即，则， 所以，故，而， 所以. 故答案为：6 【点睛】关键点点睛：作于点，利用向量加法的几何意义，结合数量积的运算律求值. 18．（2025高三·黑龙江哈尔滨月考）在中，角，，的对边分别为，，，若，边的中线长为1，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】在中，对进行切化弦，进而化简可得 ，边的中线长为1，结合平面向量的加法，可得，平方后再利用基本不等式可得，由即可得出结果. 【解析】在中，因为， 所以，即， 所以， 所以，所以． 因为边的中线长为1，所以， 所以，即， 解得． 所以 ． 所以的最小值为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了三角形中边的最值，基本不等式的应用是关键.考查了学生的运算求解能力、逻辑推理能力和灵活运用知识的综合能力，属于难题. 四、解答题 19．（2025高一·四川成都·期中）已知平面内三点. (1)求中边中线长； (2)若点是线段上靠近点的三等分点，试求点坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：先求出中点为，再根据两点间的距离公式求解即可； 解法二：设中点为，根据，结合平面向量数量积、模的坐标表示计算求解即可. （2）设点，由代值计算求解即可. 【解析】（1）解法一：设中点为，则点，即， 所以边上的中线. 解法二：由， 则， 所以， ， 设中点为，则， 则， 则，即边中线长为. （2）因为点是线段上靠近点的三等分点，所以， 设点，则， 所以，解出，即.    20．（2025·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积记为S，已知，． (1)求A； (2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式以及正弦定理即可计算得出，即可得； （2）利用平面向量可得，再由等面积法即可得，代入计算可求出CD的长． 【解析】（1）因为，所以，即， 由正弦定理可得，即 所以． 因为，所以． （2）设AE为BC边上的中线，可得， 如下图所示：    则， 所以，解得． 因为， 所以， 所以；由可得， 利用余弦定理可得， 所以． 21．（2025高一·湖南株洲·期末）在中，角所对的边分别为，向量，，且，为线段上一点. (1)求角的大小； (2)若为角的角平分线，，的周长为15，求的长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由，得，然后利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简变形可求得角； （2）利用余弦定理结合已知条件可求得，再由为角的角平分线，可得，利用三角形面积公式化简可求出的长. 【解析】（1）解：，，且， ， 由正弦定理得， ， ，， 在三角形中，， ，， ∵，. （2）解：，， 由余弦定理得， 即，解得. 为角的角平分线，， ∵， ∴， ∴，得 . 22．（2025高一·河南驻马店·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的外接圆的半径，且满足． (1)求角B； (2)若BD为AC边上的角平分线，且，求的面积； (3)设的外接圆的圆心为O，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用内角和消去一个角，再用两角和差公式进行恒等变形，即可求出结果； （2）利用角和该角的平分线长已知，结合面积和关系来得到边的关系，再结合余弦定理联立方程组求解即可得到面积； （3）利用向量积的运算，得到关系式，再来求解取值范围. 【解析】（1）由，得① 由，得② 由①②联立，得 由，消去，得 又由，得 （2）由（1）可知，由正弦定理得 而BD为的平分线，故 又且，得， 即① 再由余弦定理， 整理得② 由①②联立，可得，解得或（舍去） 故. （3）由（1）知，且O为的外接圆的圆心 可知 由，且 则，即 则，又由代入得： 所以，则，即 故 23．（2025高一·山东枣庄月考）已知向量，，函数． (1)求的解析式和当时在方向上的投影向量； (2)已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，求的边上的中线长； (3)若，，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由平面向量数量积的坐标表示及两角差的正弦公式，正余弦的二倍角公式化简，再由投影向量的定义计算可得； （2）首先求出，再利用余弦定理求出，最后根据数量积的运算律计算可得； （3）由求得，再由两角差的余弦公式即可求解. 【解析】（1）因为， 所以 所以 ， ， 所以； 当时，， 所以，， 所以在方向上的投影向量为； （2）因为，所以， 又，所以，所以，则， 由余弦定理，又，， 所以 设的边上的中线为，则， 所以 ， 所以，所以的边上的中线长为； （3）因为，可得， 即，又，则， 所以， 所以. 24．（2025高一·浙江台州·期末）在中，角所对的边分别为，满足. (1)求的值； (2)当与边上的中线长均为2时，求的周长； (3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和得正弦公式化简即可得解； （2）利用余弦定理及向量化求出，即可得解； （3）先利用等面积法求出与的关系，再结合余弦定理可求出与的关系，再结合基本不等式及三角形的面积公式即可得解. 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 又由，得. 因为，所以； （2）由余弦定理得， 即，① 设的中点为，则， 则， 则，② 由①②得， 联立，解得， 所以，即的周长为； （3）由（1）得， 由内切圆半径为1，得，即， 由余弦定理得，所以， 得，因为，所以， 解得或， 又因为的面积大于其内切圆面积，即， 得，所以， 当且仅当时，的面积取到最小值. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 25．（2025高二·贵州月考）的内角，，的对边分别是，，，，，____________. (1)若在横线处填入，求； (2)给出两个条件： ①内角的平分线长为； ②BC边上的中线长为. 从条件①②中选择一个填入横线，求的面积.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用正弦定理求出，可得出角的两个值，再根据“大边对大角，小边对小角”得出结果. （2）条件①：用等面积法列出对应的、关系式，结合余弦定理解出的值，可以求出的面积；条件②：以AB、AC为邻边作平行四边形，列出，将两式平方相加可得出的值，再结合余弦定理解出的值，可以求出的面积. 【解析】（1）由，得， 因为中，， 所以或， 又因为，所以，所以. （2）选择①：设的平分线交BC于点， 则，， ， ， ，即， 在中，由余弦定理， ， ，， ，，. 选择②：以AB、AC为邻边作平行四边形，记作平行四边形， 则有，两式平方相加得：， 即 又结合已知：，， 可解得，即， 在中，由余弦定理得：， 将，，代入解得：， . 26．（2025高一·上海月考）在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值； (3)若点在的角平分线上，当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)，； (3) 【分析】（1）可化简，化简后可用表示，表示，代入即可； .（2）由点为的外心，可得，利用这两个关系式可求、的值； （3）设为的平分线，则，利用平面向量基本定理和共线向量定理可得：，再根据平面向量基本定理可得，求出的范围后利用数量积可得，从而可得的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 化简后可得，所以， 若，则. （2）如图，设的中点分别为，连接， 则， 又，同理， 又， 即，同理， 整理得到，解得； （3）如图，为的平分线，则， 所以， 设，. 故， 因为不共线，故，所以， 因为，所以，故. 又, 所以，所以. 故的取值范围为. 【点睛】本题考查平面向量基本定理、向量的数量积，解题时注意根据外心、角平分线等几何性质实现向量计算时的转化，本题属于难题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$