9.2 正弦定理与余弦定理的应用(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦正弦定理与余弦定理的应用，先通过仰角、俯角、方向角、方位角等术语构建基础，再分测量距离、高度、角度、速度四类问题，结合例题、通性通法及跟踪训练，形成从概念到应用的完整学习支架。 以故宫角楼、正安“大吉他”等真实情境为载体，通过问题驱动培养学生用数学眼光观察现实世界，题型分类与通性通法总结发展数学思维，实际测量方案设计提升数学语言表达能力。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固查漏。

9.2　正弦定理与余弦定理的应用 1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度的测量问题（直观想象）. 2.能够运用正弦、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题（数学建模、数学运算）. 在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量. 【问题】　假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 知识点　实际应用问题中的有关名词、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线　　　方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线　　方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到　　　　的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 【想一想】 　李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？ 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）方位角是从正北方向逆时针旋转到目标方向线的水平角.（　　） （2）东偏北45°的方向就是东北方向.（　　） （3）俯角和仰角都是对于水平线而言的.（　　） （4）仰角与俯角所在的平面是铅垂面.（　　） （5）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.（　　） 2.若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（　　） A.东偏北45°10'方向上 B.东偏北44°50'方向上 C.南偏西44°50'方向上 D.西偏南44°50'方向上 3.两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a（km），灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为（　　） A.a km B.a km C.a km D.2a km 4.如图，为测量塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20（－1）m到达D点，测得∠ADB＝30°，则塔高为（　　） A.40 m B.20 m C.40 m D.20 m 题型一｜测量距离问题 【例1】　（1）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是　　　　m； （2）如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点间的距离是　　　　m. 尝试解答 通性通法 测量距离的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可通或不可视 A，B两点间可视但有一点不可达 A，B两点都不可达 简图 方法 先测∠ACB，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 先测∠ACB，∠ABC，BC＝a， 再用正弦定理求AB 先测CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB 结论 AB＝ AB＝ ①AC＝； ②BC＝； ③AB＝ 【跟踪训练】 1.如图，计划在两个山顶M，N间架设一条索道.为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔MC＝100 m，NB＝50 m，在BC同一水平面上选一点A，在A处测得山顶M，N的仰角分别为60°和30°，且测得∠MAN＝45°，则M，N间的距离为（　　） A.100 m B.50 m C.100 m D.100 m 2.某海轮以每小时30海里的速度航行，在点A测得海面上油井P在其南偏东60°方向上；海轮向北航行40分钟后到达点B，测得油井P在其南偏东30°方向上；海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达点C，则P，C两点的距离为（　　） A.20 海里 B. 海里 C.20 海里 D. 海里 题型二｜测量高度问题 【例2】　遵义市正安县被誉为“中国吉他制造之乡”，正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中心.现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安“大吉他”建筑的高度进行测量，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距30米的C，D两观测点，且C，D与“大吉他”建筑的底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得“大吉他”建筑顶部A的仰角分别为45°，30°，测得∠CBD＝30°，则“大吉他”建筑AB的高度为（　　） A.30米 B.34米 C.34米 D.30米 尝试解答 通性通法 　　测量高度的基本类型及方案 类型 简图 计算方法 底 部 不 可 达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数. 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C 【跟踪训练】 如图，无人机在离地面高200 m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN＝60°，则山的高度MN为（　　） A.200 m B.300 m C.300 m D.300 m 题型三｜测量角度问题 【例3】　在海岸A处发现北偏东45°方向，距A点n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的我方缉私船，奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？ 尝试解答 通性通法 　　测量角度问题画示意图的基本步骤 【跟踪训练】 如图，当甲船位于A处时，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，现乙船朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则cos θ＝　　　　. 题型四｜求速度问题 【例4】　如图，某交警队为了了解山底一段水平公路上行驶车辆的车速情况，现派交警进行测量.交警小明在山顶A处观测到一辆汽车在这段水平公路上沿直线匀速行驶，交警小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度为　　　　m/s. 尝试解答 通性通法 解决实际问题应注意的问题 （1）首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步； （2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题. 【跟踪训练】 一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向上，且与它相距8 海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，则此船的航行速度为（　　） A.8（＋）海里/时 B.8（－）海里/时 C.16（＋）海里/时 D.16（－）海里/时 1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（　　） A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东80° D.南偏西80° 2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）：①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为（　　） A.3 B.2 C.1 D.0 3.如图，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100 m，点C位于BD上，则山高AB＝（　　） A.100 m B.50 m C.50 m D.50m 4.一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的航行速度是（　　） A.5海里/时 B.5海里/时 C.10海里/时 D.10海里/时 5.已知A，B，C，D四个景点，如图所示，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D相距2 km，C，D相距km，求A，B两景点间的距离. 提示：完成课后作业　第九章　9.2 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2　正弦定理与余弦定理的应用 【基础落实】 新知初探 知识点 上　下　目标方向线　 想一想 提示：东南方向. 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）√　（5）× 2.C　如图所示. 3.A　如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝a. 4.D　在Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°可知AC＝x，在Rt△ABD中，AD＝x＋20，∠ADB＝30°，所以＝tan 30°，＝，解得x＝20.则塔高为20 m. 【典例研析】 【例1】　（1）60　（2）20　 解析：（1）tan 30°＝，tan 75°＝，又∵AD＋DB＝120，∴AD·tan 30°＝（120－AD）·tan 75°，∴AD＝60，故CD＝60 m. （2）在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝ ＝40.在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－（30°＋105°）＝45°.由正弦定理，得AC＝＝20.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA＝（20）2＋（40）2－2×40×20cos 60°＝2 400，∴AB＝20，故A，B两点之间的距离为20 m. 跟踪训练 1.C　由题意，可得∠MAC＝60°，∠NAB＝30°，MC＝100 m，NB＝50 m，∠MAN＝45°，且∠MCA＝∠NBA＝90°.在Rt△ACM中，可得AM＝＝200 m.在Rt△ABN中，可得AN＝＝100 m.在△AMN中，由余弦定理得MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos∠MAN＝1002［22＋（）2－2×2××］＝20 000，所以MN＝100 m. 2.A　如图，过点P作AB的垂线，垂足为点E.由题意得∠APB＝∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝30×＝20（海里）.在Rt△PAE中，PE＝APsin 60°＝10（海里）.在Rt△PBE中，PB＝＝20（海里）.由已知可得∠PBC＝90°，BC＝30×＝40（海里），∴在Rt△PBC中，PC＝＝＝20（海里）. 【例2】　D　设“大吉他”的高度为h，在Rt△ABC中，因为∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝h.在Rt△ABD中，因为∠ADB＝30°，所以＝tan 30°，所以BD＝AB＝h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos∠CBD，代入数值可得302＝h2＋（h）2－2h·h×，解得h＝30或h＝－30（舍），故选D. 跟踪训练 B　因为AD∥EC，所以∠ACE＝∠DAC＝45°，又AE⊥EC，所以∠CAE＝90°－∠ACE＝45°，所以AE＝CE，所以AC＝AE＝200.又∠MCA＝180°－60°－45°＝75°，∠MAC＝15°＋45°＝60°，所以∠AMC＝180°－75°－60°＝45°.在△AMC中，由正弦定理可得＝，所以MC＝＝200.在Rt△MNC中，因为∠MCN＝60°，所以MN＝MCsin∠MCN＝200sin 60°＝300 m. 【例3】　解：如图，设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获（在D点）走私船， 则CD＝10t n mile， BD＝10t n mile. 在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A ＝＋22－2·2cos 120°＝6， ∴BC＝，∵＝， ∴sin∠ABC＝＝＝， ∴∠ABC＝45°， ∴B点在C点的正东方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°. 在△BCD中，由正弦定理得＝， ∴sin∠BCD＝＝＝， ∴∠BCD＝30°. 故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船. 跟踪训练 　 解析：在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝202＋102－2×20×10×cos 120°＝700，所以BC＝10海里.由正弦定理＝，得sin∠ACB＝＝＝，则cos∠ACB＝.从而cos θ＝cos（∠ACB＋30°）＝cos∠ACBcos 30°－sin ∠ACBsin 30°＝. 【例4】　　 解析：由题意知∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，∴在△ABD和△ACD中，AB＝200 m，AC＝100 m，∴在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC＝100 000，即BC＝100 m，∴这辆汽车的速度为＝＝ m/s. 跟踪训练 D　如图，由题意得，在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得＝，即＝，得AB＝8（－），因此该船的航行速度为＝16（－）（海里/时）. 随堂检测 1.D　由条件及题图可知，A＝B＝40°，又因为∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°. 2.A　对于①，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于②，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c.故选A. 3.D　设山高为h，则由题意知CB＝h，DB＝h，∴h－h＝100，即h＝50. 4.D　如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，可得AB＝5海里，于是这艘船的航行速度是10海里/时. 5.解：在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°， 由正弦定理得＝，即BD＝＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，所以△ABD为等边三角形，所以AB＝2.所以A，B两景点间的距离为2 km. 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $