11.4.2 第1课时 平面与平面垂直的判定（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦平面与平面垂直的判定核心知识点，先通过二面角的定义、平面角概念及求法搭建基础，再衔接平面与平面垂直的定义法和判定定理法，形成从线线、线面垂直到面面垂直的完整知识脉络。 资料以“把门开大”“砌墙”等生活情境导入，引导学生用数学眼光观察现实，通过三棱锥二面角求解、正方体模型分析等例题训练，培养逻辑推理与空间观念，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固知识、弥补盲点。

11．4.2　平面与平面垂直 第1课时　平面与平面垂直的判定 新课导入 学习目标 　　我们知道，两条直线互相垂直，则它们所成的角是直角，一条直线与一个平面相互垂直，那么线面角为直角．由此能不能猜测：若两个平面相互垂直，则这两个平面所成的角也是直角呢？ 1.了解空间中平面与平面的垂直关系． 2．了解二面角的平面角的概念，并会求二面角的大小． 3．归纳并应用平面与平面垂直的判定定理． 一　二面角 如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”． 思考1　“把门开大一些”是指哪个角大一些？ 提示　从门轴出发门所在的平面与门框所在的平面形成的角大一些． 思考2　用图中的∠AOB能描述“把门开大一些”吗？ 提示　能． [知识梳理] 1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角．这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面． 2．画法： 3．记法：二面角α­l­β或二面角α­AB­β或二面角P­l­Q. 4．二面角的平面角 文字 在二面角α­l­β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角 图示 符号 OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角 范围 0°≤∠AOB≤180° 规定 二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小．平面角是直角的二面角称为直二面角 [例1] (对接教材例1)如图，已知三棱锥A­BCD的各棱长均为2，求二面角A­CD­B的余弦值． 【解】　如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.由二面角定义知∠AMB为二面角A­CD­B的平面角．因为AM＝BM＝，AB＝2，所以cos ∠AMB＝＝，即二面角A­CD­B的余弦值为. 解决二面角问题的策略 (1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点． (2)求二面角大小的步骤 简称为“一作、二证、三求”． [跟踪训练1] 如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD. (1)二面角B­PA­D的平面角的大小为____________； (2)二面角B­PA­C的平面角的大小为____________． 解析：(1)因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD， 所以AB⊥PA，AD⊥PA，AB∩AD＝A， 所以∠BAD为二面角B­PA­D的平面角． 又由题意知∠BAD＝90°， 所以二面角B­PA­D的平面角的大小为90°. (2)因为PA⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD， 所以AB⊥PA，AC⊥PA，AB∩AC＝A， 所以∠BAC为二面角B­PA­C的平面角． 又四边形ABCD为正方形， 所以∠BAC＝45°， 故二面角B­PA­C的平面角的大小是45°. 答案：(1)90°　(2)45° 二　平面与平面垂直的判定 建筑工人在砌墙时，泥水匠为了保证墙面与地面垂直，常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直． 思考　由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？ 提示　垂直． 角度1　定义法证明面面垂直 [知识梳理] 定义 一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直 画法 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．如图 记法 α⊥β [例2] 如图，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC，求证：平面ABC⊥平面SBC. 【证明】　因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， 所以△ASB和△ASC都是等边三角形， 则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a， 则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形， 取BC的中点D，连接AD，SD， 则AD⊥BC，SD⊥BC， 所以∠ADS为二面角A­BC­S的平面角． 在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a， 所以SD＝a，BD＝＝a. 在Rt△ADB中，AD＝a， 因为SD2＋AD2＝SA2， 所以∠ADS＝90°. 即二面角A­BC­S为直二面角． 故平面ABC⊥平面SBC. 利用定义证明面面垂直的方法 要证面面垂直，只要证明二面角的平面角为直角，其步骤是： (1)找出两相交平面的平面角； (2)证明这个平面角是直角； (3)根据定义判定这两个相交平面互相垂直． 角度2　判定定理法证明面面垂直 [知识梳理] 自然语言 图形语言 符号语言 如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 l⊂α，l⊥β⇒α⊥β [例3] 如图所示，在四棱锥P­ABCD 中，底面ABCD为平行四边形，∠CDA＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．求证： (1)PB∥平面ACM； (2)平面PAD⊥平面PAC. 【证明】　(1)连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，O为AC，BD的中点， 因为M为PD的中点，所以PB∥MO， 又因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM， 所以PB∥平面ACM. (2)因为∠CDA＝45°，且AD＝AC＝1， 所以∠DAC＝90°，即DA⊥AC， 因为PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD， 因为AC∩PO＝O，AC，PO⊂平面PAC，所以AD⊥平面PAC，又因为AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PAC. 利用判定定理证明面面垂直的方法 要证面面垂直，只要证线面垂直，即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是： [跟踪训练2] (1)如图所示，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是(　　) A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABC⊥平面BCD C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE 解析：选C.因为AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，所以DE⊥AC，BE⊥AC，又因为DE∩BE＝E，DE，BE⊂平面BDE，所以AC⊥平面BDE.又因为AC⊂平面ABC，AC⊂平面ACD，所以平面ABC⊥平面BDE，平面ACD⊥平面BDE，C正确．故选C. (2)如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AC，PA＝6，BC＝8.设D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，且DF＝5. 求证：平面DEF⊥平面ABC. 证明：由PA⊥AC，D，E分别为棱PC，AC的中点， 得DE∥PA，所以DE⊥AC. 因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，所以EF＝BC＝4，DE＝PA＝3， 又DF＝5，所以DF2＝DE2＋EF2，所以DE⊥EF. 又EF∩AC＝E，EF，AC⊂平面ABC， 所以DE⊥平面ABC，又DE⊂平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABC. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有(　　) A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ABC⊥平面ADB C.平面ABC⊥平面DBC D.平面ADC⊥平面DBC 解析：选D.因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面DBC，所以AD⊥平面DBC.又因为AD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC. 2．对于直线m，n和平面α，β，下列条件一定能得到α⊥β的是(　　) A.m⊥n，m⊂α，n⊂β B．m⊥n，m⊂α，n∥β C.m∥n，m⊥α，n⊥β D．m∥n，m⊥α，n⊂β 解析：选D.m⊥n，m⊂α，n⊂β，则平面α，β也可能相交且不垂直，A错误；m⊥n，m⊂α，n∥β，则平面α，β也可能相交或平行，B错误；m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β，C错误；m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊂β，则α⊥β，D正确． 3.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC，BD交于点O，给出∠B1AD1，∠B1OD1，∠B1CD1，其中能作为二面角B1­AC­D1的平面角的是__________． 解析：连接B1D1(图略)， 由正方体的性质知AC⊥BD，AC⊥BB1， BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面BB1D1D， 所以AC⊥平面BB1D1D. 因为B1O，D1O⊂平面BB1D1D， 所以B1O⊥AC，D1O⊥AC， 所以∠B1OD1是二面角B1­AC­D1的平面角． 答案：∠B1OD1 4．(教材P122T5改编)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任意一点．求证：平面ABD⊥平面BCC1B1. 证明：因为三棱柱ABC­A1B1C1为直三棱柱， 所以AB⊥BB1. 又因为AB⊥BC，BB1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因为AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1. 1．已学习：(1)二面角的定义；(2)平面与平面垂直的概念与判定定理． 2．须贯通：掌握面面垂直的判定方法；掌握垂直关系的转化思想． 3．应注意：应用面面垂直的判定定理的条件：线垂直于面且线在面内． 学科网（北京）股份有限公司 $