11.4.1 第1课时 直线与平面垂直及其判定定理(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦直线与平面垂直这一核心知识点，先以异面直线所成的角为基础，通过定义明确直线与平面垂直的本质，再结合判定定理构建从概念到应用的学习支架，形成完整的知识脉络。 资料以旗杆安装实例引入，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过“想一想”“母题探究”等环节培养逻辑推理（数学思维），结合正方体、正四面体模型发展直观想象，课中助力教师高效授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

11.4.1　直线与平面垂直 课标要求 1.了解异面直线所成的角及直线和平面所成的角（直观想象）. 2.理解直线与平面垂直的定义（数学抽象）. 3.掌握直线与平面垂直的判定定理、性质定理的内容及其应用（逻辑推理）. 4.应用直线与平面垂直的判定定理、性质定理解决问题（数学运算）. 第一课时　直线与平面垂直及其判定定理 　　某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）.如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了. 【问题】　（1）旗杆、绳子以及绳子在地面的投影所构成的三角形是直角三角形吗？ （2）在绳子移动的过程中，旗杆、绳子以及绳子在地面的投影所构成的直角三角形的直角顶点有变化吗？ （3）由上述实际问题你能得出判断一条直线与平面垂直的方法吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　异面直线所成的角 1.定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中　任意　一点，分别作与a，b　平行或重合　的直线a'，b'，则a'与b'所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小.两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角. 2.当θ＝　90°　时，a与b垂直，记作　a⊥b　. 　　提醒：对异面直线所成的角的认识及注意点：①任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a'，b'所成的锐角（或直角）相等，而与点O的位置无关；②范围：设异面直线所成的角为θ，则0°＜θ≤90°；③转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算；④两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直. 【想一想】 1.两条直线垂直，一定相交吗？ 提示：不一定.当两条异面直线所成的角为90°时，两条异面直线垂直，不相交. 2.两条不重合的直线所成的角是0°时，两直线的位置关系是什么？ 提示：平行. 1.若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为60°. 解析：因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°. 2.在正方体ABCD-EFGH中，AH与FG所成的角是45°. 解析：如图，连接BG，则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角.因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°. 知识点二　直线与平面垂直及其判定定理 1.定义 自然语言 图形语言 符号语言 直线l与平面α垂直的充要条件是，直线l与平面α内的　任意　直线都垂直 l⊥α⇔　∀m　⊂α，l⊥m 2.判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内的　两条相交　直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 如果m⊂α，n⊂α，　m∩n≠∅　，l⊥m，l⊥n，那么l⊥α 【想一想】 1.定理中的“相交”能去掉吗？ 提示：不能. 2.一条直线与一个平面内两条平行直线垂直，那么这条直线与这个平面是什么位置关系？ 提示：相交或平行或直线在平面内. 1.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（　　） A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC 解析：C　由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故选C. 2.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（　　） A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.不确定 解析：B　一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直三角形所在平面，从而垂直第三边.故选B. 题型一｜线面垂直的定义 【例1】　（1）下列说法中正确的个数是（　　） ①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α； ②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线； ④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直. A.0 B.1 C.2 D.3 解析：D　①正确，符合直线与平面垂直的判定定理.②正确，符合直线与平面垂直的定义.③不正确，④正确. 通性通法 理解线面垂直判定定理要注意的两个问题 （1）要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可； （2）空间直线与直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况，所以在平面内的这两条直线是否与已知直线有交点，是无关紧要的. 【跟踪训练】 下列说法中错误的个数是（　　） ①若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l⊥α； ②若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交； ③过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直； ④过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直. A.0 B.1 C.2 D.3 解析：C　①错误，当m∥α，l⊥m时，直线与平面α可能平行也可能垂直还可能斜交还可能在α内；②错误，当l与平面α内无数条直线垂直时，l∥α或l⊂α或l与α相交；③正确；④正确. 题型二｜异面直线所成的角 【例2】　如图所示，长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB＝2，AD＝2，AA'＝2. （1）BC和A'C'所成的角是多少度？ 解：因为BC∥B'C'， 所以∠B'C'A'（或其补角）是异面直线A'C'与BC所成的角. 在Rt△A'B'C'中，A'B'＝B'C'＝2， 所以∠B'C'A'＝45°， 即异面直线BC和A'C'所成的角为45°. （2）AA'和BC'所成的角是多少度？ 解：因为AA'∥BB'， 所以∠B'BC'（或其补角）是异面直线AA'和BC'所成的角. 在Rt△BB'C'中，B'C'＝AD＝2，BB'＝AA'＝2， 所以BC'＝4，∠B'BC'＝60°， 即异面直线AA'和BC'所成的角为60°. 通性通法 求两条异面直线所成角的一般步骤 （1）构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移，作出异面直线夹角的相关角； （2）计算角：求角度，常利用三角形； （3）确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角. 【跟踪训练】 正四面体ABCD中，E为AB中点，F为CD的中点，则异面直线EF与AC所成的角为（　　） A.90° B.60° C.45° D.30° 解析：C　如图，取BC的中点G，连接EG，FG，∵E，G，F分别为AB，BC，CD的中点，∴EG∥AC，FG∥BD，EG＝AC，FG＝BD，∴∠FEG为异面直线EF与AC所成的角.∵四面体ABCD为正四面体，∴AC＝BD⇒EG＝FG.过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为三角形BCD的重心，AO⊥BD，∵CO⊥BD，AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，∴BD⊥AC.∵EG∥AC，FG∥BD，∴EG⊥FG.在直角三角形EGF中，∵∠EGF＝90°，EG＝FG，∴∠FEG＝45°. 题型三｜线面垂直判定定理的应用 【例3】　如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.求证：直线SD⊥平面ABC. 证明：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，∴SD⊥AC. 如图，连接BD，在Rt△ABC中， AD＝DC＝BD，且SA＝SB， ∴△ADS≌△BDS， ∴∠ADS＝∠BDS， ∴SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC， ∴SD⊥平面ABC. 【母题探究】 （变条件，变设问）在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系是什么？ 解：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC. 又由例题知SD⊥BD. 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线， 故BD⊥平面SAC. 通性通法 判断或证明线面垂直的方法 （1）证明直线a垂直于平面α内的任意一条直线，从而得直线a⊥平面α； （2）如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直，简记为“线线垂直⇒线面垂直”； （3）利用常用结论：①如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；②如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 【跟踪训练】 1.〔多选〕如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下判断，其中正确的有（　　） A.AD⊥平面ABB1A1 B.A1B1∥平面ACD1 C.AD1与B1C是异面直线 D.B1D⊥平面ACD1 解析：ACD　对于A，因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以AD⊥平面ABB1A1，所以A正确；对于B，因为A1B1∥CD，CD∩平面ACD1＝C，所以A1B1与平面ACD1有交点，所以B错误；对于C，因为AD1∥BC1，BC1与B1C相交，所以B1C与AD1异面，所以C正确；对于D，因为A1B1⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，所以A1B1⊥AD1，AD1⊥A1D且A1B1∩A1D＝A1，所以AD1⊥平面A1B1D，B1D⊂平面A1B1D，所以AD1⊥B1D，同理AC⊥B1D，AC∩AD1＝A，所以B1D⊥平面ACD1，所以D正确.故选A、C、D. 2.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点.求证：AD⊥平面A1DC1. 证明：∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC， ∴AA1⊥平面A1B1C1， ∴A1C1⊥AA1. 又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1. 而A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B. 又AD⊂平面AA1B1B， ∴A1C1⊥AD. 由已知计算得AD＝，A1D＝，AA1＝2. ∴AD2＋A1D2＝A，∴A1D⊥AD. ∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1. 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（　　） A.平行 B.相交 C.异面但不垂直 D.异面且垂直 解析：D　因为正方体的对面平行，所以直线BD与A1C1异面，连接AC（图略），则AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直线BD与A1C1垂直，所以直线BD与A1C1异面且垂直.故选D. 2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是（　　） A.平面DD1C1C B.平面A1DB C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB1 解析：D　∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1.故选D. 3.从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任意选择3个点，记这3个点确定的平面为α，则垂直于直线AC1的平面α的个数为2. 解析：与直线AC1垂直的平面有平面A1BD和平面CB1D1，故与直线AC1垂直的平面α的个数为2. 4.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，AB＝2，则异面直线DB1与AA1所成角的大小为60°. 解析：如图所示，因为AA1∥DD1，则∠D1DB1即异面直线DB1与AA1所成角.连接D1B1，在Rt△D1DB1中，tan∠D1DB1＝＝＝，则∠D1DB1＝60°，即异面直线DB1与AA1所成角的大小为60°. 5.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且PA＝PC，PB＝PD.若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD. 证明：在△PBD中，PB＝PD，O为BD的中点，∴PO⊥BD. 在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC， 又∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD. 1.已知直线m⊥平面α，则“直线n⊥m”是“n∥α”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　若直线m⊥平面α，n⊥m，则直线n⊂平面α或n∥α；若直线m⊥平面α，直线n∥α，则n⊥m，所以“n⊥m”是“n∥α”的必要不充分条件. 2.如果一条直线垂直于一个平面内的下列情况： ①一个锐角的两条边；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边. 不能保证该直线与平面垂直的是（　　） A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 解析：C　梯形和正六边形中均有相互平行的两条边，故不能保证直线与平面垂直. 3.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是（　　） A.α∥β，且m⊂α B.m∥n，且n⊥β C.m⊥n，且n⊂β D.m⊥n，且n∥β 解析：B　A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β，不符合题意；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C、D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意.故选B. 4.如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝（　　） A.2 B.3 C. D. 解析：D　因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE.因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD，所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝＝＝.故选D. 5.正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的正切值为（　　） A. B. C. D.2 解析：C　设正四棱锥棱长为2.连接AC，取AC中点为O，连接OE.因为E，O分别为PC，AC的中点，则EO∥PA，则异面直线BE与PA所成角为∠OEB（或其补角）.又由题可得，OE＝1，EB＝，OB＝，EB2＝OE2＋OB2，则tan∠OEB＝＝. 6.〔多选〕如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（　　） A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFH C.HF⊥平面AEH D.HG⊥平面AEF 解析：BC　由题意可得AH⊥HE，AH⊥HF.∴AH⊥平面EFH，而AG与平面EFH不垂直，∴B正确，A不正确.又HF⊥HE，∴HF⊥平面AHE，C正确.HG与AG不垂直，因此HG与平面AEF不垂直，D不正确.故选B、C. 7.如图，若测得旗杆PO＝4，PA＝PB＝5，OA＝OB＝3，则旗杆PO和地面α所成的角是90°. 解析：∵PO＝4，OA＝OB＝3，PA＝PB＝5，∴PO2＋OA2＝PA2，PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OA，PO⊥OB，又OA∩OB＝O，∴PO⊥平面AOB，即PO与地面α所成的角是90°. 8.设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA，PB，PC的关系是PA＝PB＝PC. 解析：因为H为AC的中点，∠ABC＝90°，所以AH＝BH＝CH，又PH⊥平面ABC，由勾股定理知PA＝PB＝PC. 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为4. 解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，∴△PAB，△PAD，△PBC，△PCD为直角三角形，故共有4个直角三角形. 10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长都相等，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，求异面直线DF与C1E所成角的余弦值. 解：连接BF，因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是棱BC，B1C1的中点， 故C1F∥BE，C1F＝BE，即四边形C1FBE为平行四边形，所以BF∥C1E， 则∠DFB即为异面直线DF与C1E所成角或其补角. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长都相等，设其棱长为2，连接EF，DE， 则EF＝2，EF∥BB1，BB1⊥平面ABC，故EF⊥平面ABC，DE⊂平面ABC， 故EF⊥DE，D是棱AB的中点，故DE＝AC＝1， 则DF＝＝，而BF＝＝， 又DB＝1，故在△DBF中，cos∠DFB＝＝＝， 由于异面直线所成角的范围为（ 0，），故异面直线DF与C1E所成角的余弦值是. 11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线AD1垂直的平面是（　　） A.平面DD1C1C B.平面A1DCB1 C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB 解析：B　由ABCD-A1B1C1D1为正方体，可知AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D，故AD1⊥平面A1DCB1. 12.如图，若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为，异面直线BD1与AD所成角的正弦值是. 解析：如图所示，∵AA1∥DD1，∴∠DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角，连接BD，在Rt△D1DB中， sin∠DD1B＝＝＝.∵AD∥BC，∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角（或其补角），连接D1C，在△D1BC中，D1B＝2，BC＝2，D1C＝2，∴D1B2＝BC2＋D1C2，∴∠D1CB＝90°，∴sin∠D1BC＝＝＝，故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是. 13.如图，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. （1）求证：AN⊥平面PBM； （2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：PB⊥平面ANQ. 证明：（1）∵AB为☉O的直径，M为圆周上任意一点，∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM， ∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM， ∴BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN. ∵AN⊥PM，PM∩BM＝M，BM，PM⊂平面PBM， ∴AN⊥平面PBM. （2）由（1）知AN⊥平面PBM， ∵PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ. 14.〔多选〕如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（　　） A.直线CC1与直线B1E相交 B.CC1与AE共面 C.AE与B1C1是异面直线 D.AE与B1C1垂直 解析：ACD　因为CE∥B1C1且CE＝B1C1，所以四边形CEB1C1为梯形，所以CC1与B1E必相交，A正确；由几何图形可知B错误，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，选项D正确.故选A、C、D. 15.如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点. （1）求证：C1D⊥平面AA1B1B； （2）若点F为BB1上的动点，则当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论. 解：（1）证明：由题意知，A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°. ∵D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1， ∴AA1⊥C1D. ∵AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1⊂平面AA1B1B， ∴C1D⊥平面AA1B1B. （2）点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF. 证明如下： ∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B， ∴C1D⊥AB1. 易知A1B1＝，∵AA1＝， ∴四边形AA1B1B为正方形. 又D为A1B1的中点，F为BB1的中点， ∴AB1⊥DF， 又DF∩C1D＝D，DF，C1D⊂平面C1DF， ∴AB1⊥平面C1DF. 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $