11.1.6 祖暅原理与几何体的体积(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦祖暅原理与柱、锥、台、球的体积计算核心知识点，以钻石晶体体积问题引入，通过祖暅原理“幂势既同，则积不容异”推导体积公式，衔接空间几何体结构特征，构建从原理到公式应用的学习支架。 资料以生活实例（如钻石、浮球）激发探究欲，通过正四棱台体积、球的切接等例题培养数学抽象、直观想象与数学运算素养。课中例题解析与通性通法总结助力教师教学，课后分层练习帮助学生巩固，有效查漏补缺。

11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 课标要求 1.理解祖暅原理的内容（数学抽象、直观想象）. 2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导，并会利用它们求有关几何体的体积（数学运算）. 金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石.如图就是一块正八面体的钻石. 【问题】　如果已知该钻石的棱长，你能求出它的体积吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　祖暅原理 1.内容：幂势既同，则积不容异. 2.含义：夹在　两个平行平面间　的两个几何体，如果被平行于这两个平面的　任意平面　所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等. 3.应用：　等底面积、等高　的两个柱体或锥体的体积相等. 知识点二　柱、锥、台、球的体积公式 名称 体积（V） 柱体 棱柱 V＝Sh 圆柱 V＝πr2h 锥体 棱锥 V＝Sh 圆锥 V＝πr2h 台体 棱台 V＝h（S1＋＋S2）（其中S1，S2分别表示上、下底面的面积，h表示高） 圆台 V＝πh（＋r1r2＋）（其中r1和r2分别表示上、下底面的半径，h表示高） 球 V＝πR3（R表示球的半径） 　　提醒：对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识：①等底、等高的两个柱体的体积相同；②等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍；③柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系. V＝ShV＝（S'＋＋S）hV＝Sh. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）锥体的体积等于底面面积与高之积.（　×　） （2）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.（　√　） （3）两个球的半径之比为1∶3，则其体积之比为1∶9.（　×　） （4）体积相等的棱柱与圆柱，其表面积也相等.（　×　） 2.直径为1的球的体积是（　　） A.1 B. C. D.π 解析：B　R＝，故V＝πR3＝×π×＝. 3.已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为（　　） A.2 B.4 C.6 D.12 解析：B　正四棱锥的底面积为2×2＝4，则体积为×4×3＝4. 4.若圆柱的侧面展开图是边长为4 cm的正方形，则圆柱的体积为cm3. 解析：设圆柱的底面半径为r，由题意可知2πr＝4，所以r＝cm.故圆柱的体积V＝π×4＝（cm3）. 题型一｜柱体的体积 【例1】　如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积. 解：V六棱柱＝×42×6×2＝48（cm3）， V圆柱＝π×32×3＝27π（cm3）， V挖去圆柱＝π×12×（3＋2）＝5π（cm3）， ∴此几何体的体积V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝（48＋22π）（cm3）. 通性通法 　　求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高.棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长.具体问题中要能准确应用“底面”和“高”的定义去求解相关元素. 【跟踪训练】 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面BC1D是面积为6的直角三角形，则此正三棱柱的体积为8. 解析：设AC＝a，CC1＝b，由题意易知△BC1D为等腰直角三角形，则×2＝a2＋b2，解得b2＝2a2，又△BC1D是面积为6的直角三角形，则＝×a2＝6，所以a2＝8，故此正三棱柱的体积为a2×b＝×8×＝8. 题型二｜锥体的体积 【例2】　（1）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为； 解析：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，∴＝，点F到面D1ED的距离为1，∴＝＝××1＝. （2）圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 cm，则该圆锥的体积为cm3. 解析：由题意知圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 cm，则圆锥的底面半径为1 cm，高为1 cm，则圆锥的体积V＝×π×12×1＝（cm3）. 通性通法 常见的求几何体体积的方法 （1）公式法：直接代入公式求解； （2）等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可； （3）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积； （4）补形法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. 【跟踪训练】 一个内角为30°且斜边长为2的直角三角形，绕斜边旋转一周所得几何体的体积为（　　） A.　　　 B. C.　　　 D. 解析：D　如图，在直角三角形ABC中，AB＝2，∠CAB＝30°，则AC＝2cos 30°＝.将直角三角形ABC沿斜边AB旋转一周，旋转形成的几何体为两个同底的圆锥，如图所示， 有CO＝ACsin 30°＝，所以所求几何体的体积V＝S圆O·AB＝π·OC2·AB＝π×（ ）2×2＝. 题型三｜台体的体积 【例3】　已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积为780 cm2.求正四棱台的体积. 解：如图所示，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，由题意知A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E，则E1E是等腰梯形ABB1A1的高.设O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1E1，OE，OO1，则四边形EOO1E1是直角梯形. 由题意知S侧＝4××（10＋20）×E1E＝780（cm2）， 解得EE1＝13 cm. 在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5 cm， OE＝AB＝10 cm， ∴O1O＝＝12 cm， ∴V正四棱台＝×12×（102＋202＋） ＝2 800（cm3）. 故正四棱台的体积为2 800 cm3. 通性通法 　　求解台体的体积问题的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过计算两个锥体的体积差得到. 【跟踪训练】 已知圆台O1O2的上、下底面半径分别为r1，r2（r1＜r2），高为，母线与下底面所成的角为，上底面上的动点和下底面上的动点距离的最大值为，则圆台的体积为（　　） A.π　B.π C.π　 D.π 解析：A　设上、下底面的动点分别为P1，P2.过点P1作下底面的垂线，垂足为P'1，如图所示， 有P1＝P'1＋（）2，由几何关系可知当P1，P2位于圆台轴截面上、下底边相对的顶点时，距离最大.因此，由已知可得方程组解得则圆台的体积V＝πh（＋＋r1r2）＝π. 题型四｜与球有关的体积问题 【例4】　（1）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为（　A　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，则OO1⊥面ABC，OO1＝＝＝，所以三棱锥O-ABC的体积V＝S△ABC×OO1＝××1×1×＝. （2）在半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为π∶2. 解析：作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC'＝a，OC＝a.在Rt△C'CO中，由勾股定理，得CC'2＋OC2＝OC'2，即a2＋＝R2，∴R＝a.从而V半球＝πR3＝π＝πa3，V正方体＝a3.因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2. 通性通法 球与几何体的切、接问题的解题思路 （1）球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解； （2）解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系. 【跟踪训练】 1.已知一圆柱的底面半径为2，体积为16π，若该圆柱的底面圆周都在球O的表面上，则球O的表面积为（　　） A.32π B.40π C.64π D.80π 解析：A　由题意，圆柱的轴截面是球O的大圆的内接矩形，矩形的对角线是球的直径.设圆柱的高为h，球的半径为R，圆柱底面半径为r＝2，由π×22h＝16π得h＝4，所以2R＝＝＝4，R＝2，球O的表面积为S＝4πR2＝4π×（2）2＝32π. 2.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2. 解析：设球的半径为R，则V柱＝πR2·2R＝2πR3，V锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，故V柱∶V锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2. 1.若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积之比为（　　） A.1∶3∶4 B.1∶3∶2 C.1∶2∶4 D.1∶4∶2 解析：B　设球的半径为R，则V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V球＝πR3.所以V圆锥∶V圆柱∶V球＝∶2∶＝1∶3∶2. 2.已知圆锥的轴截面为正三角形，该圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，则该圆锥的底面半径为（　　） A. B.12π C.2 D.2π 解析：C　如图所示，因为轴截面△PAB是正三角形，所以l＝2r，h＝r，圆锥的侧面积等于πrl＝2πr2，圆锥的体积等于πr2h＝πr3.由圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，得2πr2＝πr3，得r＝2. 3.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周后得到的几何体的体积. 解：如图，过C作CE垂直于AD，交AD的延长线于E， 则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE所在直线旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE所在直线旋转一周所得的圆锥的体积. 由题意可得CD＝2，AD＝2，CE＝ED＝2，AB＝5，AE＝4，所以所求几何体的体积V＝V圆台－V圆锥＝π×（52＋5×2＋22）×4－π×22×2＝π. 1.已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥B1-ABC的体积为（　　） A. B. C. D. 解析：D　V＝Sh＝××3＝. 2.一个圆柱形容器的底面半径为4 cm，高为8 cm，将该圆柱注满水，然后将一个半径为4 cm的实心球缓慢放入该容器内，当球沉到容器底部时，留在圆柱形容器内的水的体积为（　　） A.π cm3 B.π cm3 C.π cm3 D.π cm3 解析：B　根据题意可知留在容器内水的体积等于圆柱体积减去实心球的体积，即V＝π×42×8－π×43＝π cm3.故选B. 3.一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2，则此球的体积为（　　） A.π cm3 B.π cm3 C.π cm3 D.π cm3 解析：C　由题意，球的直径与正方体棱长相等，设正方体棱长为a，则6a2＝6，故a＝1 cm，所以V球＝π×＝π（cm）3. 4.如图，三棱柱ABC-A'B'C'的体积为1，则四棱锥C-AA'B'B的体积是（　　） A. B. C. D. 解析：C　VC-AA'B'B＝VABC-A'B'C'－VC-A'B'C'＝S△ABC·AA'－S△ABC·AA'＝S△ABC·AA'＝. 5.《算数书》竹筒于上世纪八十年代在湖北省荆州市江陵县张家山出土，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式V≈L2h中将圆锥体积公式中的π近似取为（　　） A. B. C. D. 解析：B　设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L＝2πr，所以r＝，所以V＝πr2h＝π×＝.若≈L2h，则π＝. 6.〔多选〕已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则（　　） A.三棱锥S-ABC的体积为 B.三棱锥S-ABC的体积为 C.三棱锥O-ABC的体积为 D.三棱锥O-ABC的体积为 解析：AC　∵三棱锥S-ABC与三棱锥O-ABC的底面都是△ABC，O是SC的中点，∴三棱锥S-ABC的高是三棱锥O-ABC高的2倍，∴三棱锥S-ABC的体积也是三棱锥O-ABC的体积的2倍.在三棱锥O-ABC中，其棱长都为1，如图所示，∴S△ABC＝，高OD＝＝＝，∴VO-ABC＝×S△ABC×OD＝××＝，∴VS-ABC＝2VO-ABC＝2×＝，故选A、C. 7.已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝. 解析：由πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为. 8.如图，五面体ABC-DEF中，AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1.AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为. 解析：如图，用一个完全相同的五面体HIJ-LMN（顶点与五面体ABC-DEF一一对应）与该五面体组合形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，故VABC-DEF＝VABC-HIJ＝××1×1××4＝. 9.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是BB1的中点，则三棱锥A-C1D1E的体积为. 解析：连接BC1（图略），因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，故＝.所以＝＝＝＝××AB＝×AB××C1B1×EB＝. 10.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由. 解：不会溢出杯子，理由如下： 因为V半球＝×πR3＝×π×43＝π（cm3）， V圆锥＝πr2h＝π×42×10＝π（cm3）， 所以V半球＜V圆锥，所以冰淇淋融化了，不会溢出杯子. 11.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，AA1＝2，则直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为（　　） A.36π　　　　　　　　　　 B.18π C.9π D.3π 解析：C　取AC，A1C1的中点为D，D1，连接BD，D1D，取D1D的中点O，由于AB⊥BC，且三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，故O为外接球的球心，AC＝＝，R＝OA＝＝，故外接球的表面积为4πR2＝9π. 12.〔多选〕如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝BC＝AD＝CD，CD＝4，则（　　） A.该圆台的高为1 B.该圆台轴截面面积为3 C.该圆台的体积为 D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 解析：BCD　对于A，在梯形ABCD中，O1O2即代表圆台的高，利用勾股定理计算可得O1O2＝＝＝，所以A错误；对于B，轴截面梯形ABCD的面积为S＝（AB＋CD）·O1O2＝（2＋4）×＝3，因此B正确；对于C，易知下底面圆的面积为π×22＝4π，上底面圆的面积为π×12＝π，所以该圆台的体积为V＝（4π＋π＋）×＝，可得C正确；对于D，将圆台侧面沿直线BC处剪开，其侧面展开图如图所示， 易知圆弧，的长度分别为2π，4π，设扇形圆心为O，圆心角为θ，OB＝r，由弧长公式可知θr＝2π，θ（r＋2）＝4π，解得θ＝π，r＝2，所以∠AOB＝90°.设E为AD的中点，连接EC，当小虫从点C沿着EC爬行到AD的中点，所经过路程最短，易知OE＝3，OC＝4，且OE⊥OC，由勾股定理可知EC＝＝5，可知D正确. 13.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm. （1）这种“浮球”的体积是多少立方厘米（结果精确到0.1）？ （2）要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？ 解：（1）因为半球的直径是6 cm，可得半径R＝3 cm， 所以两个半球的体积之和为V球＝πR3＝π·27＝36π（cm3）. 又圆柱筒的体积为V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π（cm3）. 所以这种“浮球”的体积是V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6（cm3）. （2）根据题意，上下两个半球的表面积是S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π（cm2）. 又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π（cm2）， 所以1个“浮球”的表面积为S＝＝π（m2）. 因此，2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S＝2 500×π＝12 π（m2）. 因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为100×12π＝1 200π（克）. 14.正四棱台侧棱长为5，上、下底面边长分别为3和4，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（　　） A.25π B.100π C. D.500π 解析：B　如图所示，AB＝AD＝BC＝CD＝3，GH＝HE＝EF＝FG＝4.设O为外接球球心，外接球半径为R，M，N分别为上、下底面的中心，易知MA＝3，NE＝4，又侧棱长为5，则MN＝＝7.又易知OA＝OE＝R，设ON＝x，则OA2＝（7－x）2＋32，OE2＝x2＋42，故（7－x）2＋32＝x2＋42，解得x＝3，故R2＝32＋42＝25，所以球的表面积为4πR2＝100π. 15.如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C. （1）求球冠所在球的半径R（结果用h、r表示）； （2）已知球冠表面积公式为S＝2πRh，当S＝65 000π，C＝500π时，求的值及球冠所在球的表面积. 解：（1）如图，点O是球冠所在球的球心，点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆周上一点，线段O1B是球冠的高， 依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B＝h，OO1＝R－h，O1A＝r， 在Rt△OO1A中，OA2＝O＋O1A2，即R2＝（R－h）2＋r2，化简整理得R＝，所以球冠所在球的半径R＝. （2）因球冠底面圆周长C＝500π，则r＝＝250， 又球冠表面积公式为S＝2πRh，且S＝65 000π，则h＝＝， 由（1）知R＝， 即65 000＝＋2502，解得R＝650， 于是得＝＝，球O的表面积为4πR2＝4π×6502＝1 690 000π， 所以的值是，球冠所在球的表面积是1 690 000π. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $