11.1.5 旋转体(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的结构特征及相关计算，从实物图抽象引入，通过定义、图形、概念构建知识体系，结合判断、计算题型形成学习支架，衔接多面体与旋转体的空间几何知识脉络。 该资料以问题驱动（实物图抽象差异等问题）培养数学抽象与直观想象，通过轴截面分析、最短路径探究等题型训练数学运算与空间转化思维，课中助力教师引导学生从具体到抽象，课后通过跟踪训练与母题变式帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

11.1.5　旋转体 课标要求 1.认识组成我们生活世界的常见的旋转体（数学抽象、直观想象）. 2.理解旋转体的结构特征，并会进行简单的计算（数学运算）. 　　如图，观察下列实物图. 【问题】　（1）上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？ （2）上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？ （3）如何形成上述几何体的曲面？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　圆柱、圆锥、圆台 圆柱 定义 以矩形的　一边　所在直线为旋转轴，将矩形旋转　一周　而形成的曲面所围成的几何体 图形 　 圆锥 定义 以直角三角形　一直角　边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转　一周　而形成的曲面所围成的几何体 图形 圆台 定义 以直角梯形垂直于底边的　腰　所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转　一周　而形成的曲面所围成的几何体 图形 圆柱 圆锥 圆台 相关概念 旋转轴称为旋转体的　轴　，在轴上的边（或它的长度）称为旋转体的　高　，垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的　底面　，不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的　侧面　.无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为　母线　.通过轴的平面所得到的截面称为　轴截面　 　　提醒：圆柱、圆锥、圆台之间的关系：圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，事实上，当底面发生变化时，三者之间可以相互转化. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.（　×　） （2）夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱.（　×　） （3）圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.（　√　） 2.圆锥的母线有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 解析：D　由圆锥母线的定义可知有无数条. 3.已知圆柱的底面圆的半径为2，高为3，则该圆柱的侧面积为12π. 解析：圆柱的底面圆半径为r＝2，高为h＝3，则该圆柱的侧面积为S侧＝2πrh＝2π×2×3＝12π. 知识点二　球 定义 一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面称为球面；球面围成的几何体，称为球 相关概念 （1）球心：形成球面的半圆的圆心； （2）半径：连接球面上一点和球心的线段； （3）直径：连接球面上两点且通过球心的线段； （4）球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆； （5）球的小圆：被不经过球心的平面截得的圆； （6）球的表面积：S＝4πR2（R为球的半径）. 提醒　球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 图形及 表示 图中的球可表示为：球O 【想一想】 等边三角形绕其一边的中线所在直线旋转半周形成的面所围成的几何体是什么几何体？ 提示：圆锥. 1.〔多选〕下列命题中正确的是（　　） A.过球面上任意两点只能作球的一个大圆 B.球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 C.用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D.以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面叫作球面 解析：BCD　过球的直径的两端点可作无数个大圆，故A错误；由球及球面的概念可知B、C、D均正确. 2.表面积为8π的球的半径是. 解析：S＝4πR2＝8π，故R＝. 题型一｜旋转体的结构特征 【例1】　〔多选〕下列说法正确的有（　　） A.以直角三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 B.以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 C.经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形 D.圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆直径 解析：BCD　A不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转时，得到的旋转体不是圆锥，而是两个同底圆锥的组合体；B正确，以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；C正确，经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；D正确，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍（即直径）. 通性通法 1.判断简单旋转体结构特征的方法 （1）明确由哪个平面图形旋转而成； （2）明确旋转轴是哪条直线. 2.简单旋转体的轴截面及其应用 （1）简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量； （2）在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. 【跟踪训练】 给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的；⑤圆台的所有母线的延长线交于一点. 其中正确的是（　　） A.①②④ B.②③④ C.①③⑤ D.②④⑤ 解析：D　圆柱的母线所在的直线相互平行且与旋转轴平行，而在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线与旋转轴不一定平行，故①错误，④正确；由圆锥母线的定义知②正确；在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，圆台的所有母线的延长线交于一点，故③错误，⑤正确.故选D. 题型二｜圆柱、圆锥、圆台的有关计算 【例2】　（1）若圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（　D　） A.2π B.3π C.π D.4π 解析：由题知圆柱的底面半径r＝1，母线长l＝2，则它的侧面积S侧＝2πrl＝2π×1×2＝4π.故选D. （2）如图，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，则圆台O'O的母线长为9 cm. 解析：设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r，4r.过轴SO作截面，如图，则△SO'A'∽△SOA，SA'＝3 cm，∴＝，∴＝＝，解得l＝9 cm.即圆台的母线长为9 cm. 【母题探究】 （变条件）本例（1）中，条件变为“圆柱的底面积为S，侧面展开图为正方形”问题不变. 解：设底面圆半径为r，母线为l，由已知得S＝πr2，∴r＝.又l＝2πr，∴S侧＝2πrl＝4π2r2＝4πS. 通性通法 圆柱、圆锥、圆台基本量的计算问题的求解策略 （1）解决圆柱基本量的计算问题，要抓住它的底面半径、高（母线）与轴截面矩形之间的关系，注意在轴截面矩形中一边长为圆柱的高，另一边长为圆柱的底面直径； （2）解决圆锥基本量的计算问题，要从圆锥的轴截面入手，往往利用轴截面中的直角三角形建立底面半径r、高h、母线长l三者之间的关系l2＝h2＋r2； （3）解决圆台基本量的计算问题，一般从圆台的轴截面（等腰梯形）入手，利用轴截面可以分割为两个全等的直角三角形和一个矩形，结合题目条件求解.另外，也可以将其两腰延长转化为等腰三角形，从而可以利用平行线分线段成比例、三角形相似等知识来解决. 【跟踪训练】 如图，过圆锥PO的轴的截面为边长为4的正三角形，过PO的中点O'作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（　　） A.11π＋π B.11π＋2π C.12π＋π D.12π＋2π 解析：D　作出圆锥PO的轴截面△PAB，此截面截挖去的圆柱得圆柱的轴截面矩形CDEF，如图，矩形CDEF是等腰△PAB内接矩形，圆柱底面圆直径CF在圆锥底面圆直径AB上，依题意，截面是边长为4的正三角形，所以OB＝2，OP＝2.因为O'是PO中点，则CD＝PO＝，OC＝OB＝1，圆锥母线PB＝4，圆柱OO'的侧面积S1＝2π·OC·CD＝2π，圆锥PO的表面积S2＝π·OB2＋π·OB·PB＝4π＋8π＝12π，剩余几何体的表面中，圆锥底面圆挖去以CF为直径的圆（圆柱下底面圆），而挖去圆柱后，圆柱上底面圆（以DE为直径的圆）成了表面的一部分，它与圆柱下底面圆全等，所以剩余几何体的表面积是S1＋S2＝12π＋2π. 题型三｜与球有关的计算 【例3】　已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M. （1）若OA＝1，求圆M的面积； 解：若OA＝1，则OM＝， 故圆M的半径r＝＝ ＝， 所以圆M的面积S＝πr2＝π. （2）若圆M的面积为3π，求球O的半径. 解：因为圆M的面积为3π，所以圆M的半径r＝. 设球O的半径为R，则R2＝＋3， 所以R2＝3，所以R2＝4， 所以R＝2，即球O的半径为2. 通性通法 球的截面问题的解题技巧 （1）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题； （2）解题时要注意借助球半径R、截面圆半径r、球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2. 【跟踪训练】 半径为10 cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为36π cm2，64π cm2，则这两个平行平面间的距离（单位：cm）为（　　） A.2 B.14 C.2或14 D.6或8 解析：C　设两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心O到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R.由π＝36π，得r1＝6 cm，d1＝＝8 cm，由π＝64π，得r2＝8 cm，d2＝＝6 cm，如图1所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差，即d1－d2＝2 cm. 　　 如图2所示，当球的球心在两个平行平面之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即d1＋d2＝14 cm. 　　爸爸出差前，留给小华一道题：如图是某地区的交通网，其中小圈代表城镇，小圈间的连线代表道路，请你选择一条从A到B的最短路线. 　　爸爸还特意交给小华一个“锦囊”，嘱咐他不到万不得已不要拆开.小华是个要强的孩子，题目未解出来，他不会去看“锦囊”！ 　　小华绞尽脑汁，想了一天还是没有眉目.吃过晚饭，他在小树林中散步，东瞅瞅，西瞧瞧，看到一张硕大的蜘蛛网，突然，一只小虫撞到网上，小虫奋力挣扎，于是便不断地拉紧连到网中心的最短的那根丝，蜘蛛沿着那根丝，迅速出击，抓住了小虫.小华若有所悟，口里直嚷嚷：“有了！有了！”他想，只要用一种伸缩性很小的细线按交通网形状和各条道路的长短比例编织一副真正的“交通网”，要求A，B两地的最短路线，只需把网上相当于A，B两地的网结各自向外拉，则由A到B的最短路线所通过的道路一定位于被拉紧的细线上. 　　小华高兴地打开“锦囊”，妙极了，他和爸爸的解法完全一样.爸爸的解法后面还有几行字：“这种解法叫做模拟法，它是科学研究的一种重要方法，自然界中简单的现象往往蕴藏着深刻的道理，放开你的眼界打破学科的界限，努力去探索吧！” 【问题探究】 1.若把某地区的交通网改为母线长为4 cm，底面半径为1 cm的圆锥，现有一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上一点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到起点，求蚂蚁爬行的最短路程. 提示：圆锥的侧面展开图如图所示，由题意知，底面圆的直径为2 cm，故底面圆的周长等于2π cm. 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为θ， 根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长得2π＝θr，解得θ＝， 所以展开图中扇形的圆心角为， 根据勾股定理求得最短路线长是＝4（cm）. 2.如图所示，已知长方体ABCD-A'B'C'D'的长、宽、高分别为5，4，3，一只蚂蚁由长方体的顶点A'出发，沿长方体表面爬行到点C，求蚂蚁爬行的最短路程. 提示：第一种情况：将长方体侧面ABCD展开，使其与平面A'B'BA重合，如图： 则最短路程为A'C＝＝. 第二种情况：将长方体侧面BB'C'C展开，使其与平面A'B'BA重合，如图： 则最短路程为A'C＝＝3. 第三种情况：将长方体侧面BB'C'C展开，使其与平面A'D'C'B'重合，如图： 则最短路程为A'C＝＝4. 比较以上三种情况可知，蚂蚁爬行的最短路程为. 【迁移应用】 如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点B.求这条绳长的最小值. 解：沿母线AB将圆台侧面展开并补成扇形，连接B'M，如图所示. 易知，Rt△OPA与Rt△OQB相似， 得＝＝. 由AB＝20 cm，解得OA＝20 cm. 因为的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为2π×10＝20π（cm）， 又扇形OBB'的半径OB＝OA＋AB＝20＋20＝40（cm）， 设扇形OBB'的圆心角为n°，则＝20π， 解得n＝90，即∠BOB'＝90°，所以OB⊥OB'. 在Rt△B'OM中，B'M2＝402＋302，所以B'M＝50 cm， 即所求绳长的最小值为50 cm. 1.〔多选〕下列说法正确的有（　　） A.圆柱的底面是圆面 B.经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面 C.圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交 D.夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 解析：AB　A、B正确；C错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交；D错误，夹在圆柱的两个截面间的几何体与截面位置有关，不一定是旋转体. 2.已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：B　设圆柱的母线长为x，则2π·x＝4π，解得x＝2. 3.已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（　　） A.2 B. C.1 D.2 解析：A　设圆锥的底面半径为r，母线为l，则解得或（舍）. 4.在半径为25 cm的球内有一个截面，它的面积是49π cm2，求球心到这个截面的距离. 解：设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，如图所示.∵球内截面的面积S＝πr2＝49π，∴r＝7 cm，∴d＝＝＝24（cm）.故球心到这个截面的距离为24 cm. 1.如图所示的图形中有（　　） A.圆柱、圆锥、圆台和球 B.圆柱、球和圆锥 C.球、圆柱和圆台 D.棱柱、棱锥、圆锥和球 解析：B　根据题中图形可知，（1）是球，（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）不是圆台.故选B. 2.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（　　） A.一个球体 B.一个球体中间挖去一个圆柱 C.一个圆柱 D.一个球体中间挖去一个长方体 解析：B　圆面绕着直径所在的轴旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱.故选B. 3.已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（　　） A.2π B.3π C.4π D.π 解析：A　由题意可知，圆锥的母线长和底面圆的直径均为2，所以圆锥的侧面积为π×1×2＝2π. 4.长方体的体对角线长为5，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（　　） A.20π B.25π C.50π D.200π 解析：C　∵体对角线长为5，∴2R＝5，S＝4πR2＝4π×＝50π. 5.某圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　） A.2 B.2 C.3 D.2 解析：B　圆柱的侧面展开图及M，N的位置（N为EP的四等分点）如图所示，底面周长为展开矩形的长，故EP＝16，圆柱高为展开矩形的高，故EM＝2，所以EN＝×16＝4，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径，所以MN＝＝＝2. 6.〔多选〕下列关于球体的说法正确的是（　　） A.球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 B.球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 C.一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体 D.球的对称轴只有1条 解析：BC　空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；由球的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误. 7.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是2. 解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝，由题意可知·2r·h＝r＝8，解得r2＝8，∴h＝2. 8.某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是4cm. 解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r＝6 cm，其中∠ABO＝30°，所以该地球仪的半径R＝＝4（cm）. 9.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为π，上板长为16 cm.若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为 cm. 解析：设小扇形的半径为x cm，则大扇形的半径为（x＋16）cm，设圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，则2πr1＝x，2πr2＝（x＋16），所以2π（r2－r1）＝×16，所以r2－r1＝，所以圆台的高为＝ cm. 10.如图所示的几何体是一个棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上挖一个直径为2 cm、深为4 cm 的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积. 解：正方体的表面积为4×4×6＝96（cm2），圆柱的侧面积为π×2×4＝8π（cm2），圆柱的两个底面积和为2π cm2，则挖洞后几何体的表面积为96＋8π－2π＝96＋6π（cm2）. 11.〔多选〕下列结论正确的是（　　） A.S棱柱侧＝cl（其中c为底面周长，l为棱柱侧棱长）仅适用于正棱柱 B.若圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则一定有S圆锥侧＝πrl C.如果一个球的表面积变为原来的9倍，那么对应的球的半径变为原来的3倍 D.若一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面积是 解析：BCD　A中公式适合所有的直棱柱，A错；易知B正确；C中，由4π＝9×4π得r1＝3r2，故C正确；D中，设圆锥的母线长为R，圆锥的底面圆的半径为r，则S＝πR2，2πr＝πR，∴r＝，S底＝πr2＝π·＝，故D正确. 12.如图所示，把底面半径为8 cm的圆锥放倒，使圆锥在水平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为20 cm，表面积为224π cm2. 解析：设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为S＝πl2.又圆锥的侧面积S1＝8πl，根据圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，得πl2＝2.5×8πl，∴l＝20 cm.故圆锥的表面积为S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π（cm2）. 13.已知一个表面积为120 cm2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积. 解：如图所示为过正方体对角面的截面图.设正方体的棱长为a，半球的半径为R，由6a2＝120，得a2＝20， 在Rt△AOB中，AB＝a，OB＝a， 由勾股定理，得R2＝a2＋＝＝30.所以半球的表面积为S＝2πR2＋πR2＝3πR2＝3×30π＝90π（cm2）. 14.〔多选〕已知圆锥的顶点为P，底面半径为，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（　　） A.圆锥的侧面积是2π B.圆锥侧面展开图的圆心角是 rad C.△PAB面积的最大值是 D.该圆锥内接圆柱侧面积的最大值是 解析：AD　根据题意，作出该圆锥的轴截面，圆锥的底面圆心为O.对于A，轴截面中，PO＝1，底面半径r＝，所以母线长l＝＝2，故圆锥的侧面积是πrl＝2π，A正确；对于B，圆锥母线长为2，展开图的弧长为2π，则圆心角为＝π rad，B错误；对于C，由题意可知tan∠APO＝，∠APO＝，故圆锥轴截面的顶角为2×＝，则当PA⊥PB时，△PAB的面积最大，其最大值为×2×2＝2，C错误；对于D，设圆锥内接圆柱的底面半径为x（0＜x＜），高为h，则有＝，化简可得h＝1－，则圆柱的侧面积S＝2πx（ 1－）＝2π（ －＋x）＝－（ x2－x＋）＋π＝－（ x－）2＋π，由二次函数的性质可知，当x＝时，S有最大值π，D正确.故选A、D. 15.已知一圆锥的母线长为10 cm，底面圆半径为6 cm. （1）求圆锥的高； （2）求该圆锥内切球的表面积. 解：（1）由题意知，圆锥的高为＝8（cm）. （2）由（1）知，圆锥的高为8 cm，设圆锥内切球的半径为r cm，则（10－6）2＋r2＝（8－r）2，所以r＝3，故所求球的表面积为4πr2＝4π×32＝36π（cm2）. 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $