11.1.5 第2课时 球（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 随堂⊙步步夯实 ● 1.下列说法中正确的个数是 5.将边长为4cm和8cm的矩形纸片卷成一个圆柱 ①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个 的侧面，求圆柱的轴截面的面积. 圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形： ③分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋 转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的 圆柱 A.0 B.1 C.2 D.3 2.以下说法正确的是 ( A.圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小 于1 B.矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱 C.直角三角形绕其一边所在直线旋转一周都可以 围成圆锥 D.圆台的上、下底面不一定平行，但过圆台侧面上 每一点的母线都相等 3.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径 的比是1：4，母线长为10cm,则圆锥的母线长为 4.边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则 从E点沿圆柱的侧面到点G的最短距离是 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 -cm. 第二课时 球 课程标准 素养解读 1.掌握球的结构特征 通过球的截面对球的结构特征的理解，球的定 2.会利用球的定义及结构特征，处理有关截面及组合体问 义的应用及球的表面积的计算，培养学生的直 题，会求球的表面积 观想象素养，提升逻辑推理、数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] 问题球是个旋转体，它是如何形成的？ 在俄罗斯举行的2018年世 界杯足球赛用球是“电视之 星(Telstar)18”,它采用了 经典黑白两色，深色梯形装 饰用马赛克图案形成，文字 E45 则使用了金色. ·48· 第十一章立体几何初步 [知识梳理] [知识点二]组合体 [知识点一]球 1.简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体叫做 1.球的定义：球面可以看成一个半圆绕着它的直径所 简单组合体. 在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何 2.简单组合体的构成形式：有两种基本形式：一种是 体，称为球.球面也可以看成：空间中到一个定点的 由简单几何体拼接而成的：另一种是由简单几何体 距离等于定长的点的集合.如图所示 截去或挖去一部分而成的. 球心 半径 ?思考3.长方体的体对角线与其外接球直径有何 关系？ 直径 2.球中常用概念 (1)球心：形成球面的半圆的圆心 (2)半径：连接球面上一点和球心的线段。 (3)直径：连接球面上两点且通过球心的线段， [预习自测] (4)大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称 1.如图所示的平面图形中阴影部分绕中间轴旋转一 为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为 周，形成的旋转体形状为 球的小圆 3.球的截面的性质：①球的截面是一个 ;②球 心与截面圆圆心的连线 于截面；③球半径 R、截面圆半径r,则球心到截面的距离d= 4.球的表面积 如果球的半径为R,则球的表面积S= 。 A.一个球体 ?思考1.球与球面有什么区别？ B.一个球体中挖去一个圆柱 C.一个圆柱 D.一个球体中间挖去一个棱柱 2.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面， 所得截面图形是下图中的 2.球心与截面圆圆心的连线与截面圆有怎样的 关系？ 3.过球心的圆面的周长是C,则这个球的表面积是 课堂。互动学亲 题型一 球的结构特征 [思路点拨]根据球的结构特征判断 [例1]下列说法中正确的个数是 ( [尝试解答] ①半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的 曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有 规律方法 点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经 球与球面是完全不同的两个概念，球是几何体，而 过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 A.1 球面是曲面，是球的表面，过两点的大圆中，若两 B.2C.3 D.4 点恰为球的直径端点，则这时大圆有无数个 ·49· 数学B版·必修第四册 ⊙[变式训练] 题型九荷体的外接球、内切球问题 1.给出下列命题： [例3]有三个球，第一个球内切于正方体，第二个 ①球的任意两个圆的交点的连线是球的直径；②用 球与这个正方体各条棱相切，等三个球过这个正方 过球心的平面截球，截面圆是球的大圆；③球面上 体的各个顶点，求这三个球的表面积之比 任意一点到球心的距离等于半径；④球面上不同的 [思路点拔]作出截面图，求出半径是关键. 三点可能在同一条直线上。 其中正确命题的个数是 [尝试解答] A.4 B.3 C.2 D.1 题型二 球的截面问题 [例2]在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分 别为49rcm和400πcm,求此球的半径 汇思路点拔]球半径、截面圆半径，球心到截面圆 心的距离构成一个直角三角形，利用直角三角形 规律方法 知识求解， 球的组合体问题，关键是正确地作出截面图，用圆 [尝试解答] 的知识把立体问题化为平面问题进行解决.对直 棱柱、正棱锥与球的切接问题，关键是作图，分析 球心与几何体的中心的关系，注意利用球半径、截 面圆半径、球心与截面圆圆心的连线等， 规律方法 ◇[变式训练] 解决与球有关的截面问题时，要注意球的球心和 3.求棱长为a的正四面体的外接球半径与内切球的 截面圆的圆心的位置，这是联系球半径和截面圆 半径. 半径的关键所在，本题易出现丢解现象，仅考虑两 个截面在圆心同侧，忽略异侧，解题时应小心谨 慎 ◇[变式训练] 2.湖面上浮着一个球（水下部分不超过一半），湖水结 冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24cm,深为 8cm的空穴，则球的半径为 cm,球的表 面积为 cm. 随堂。步步夯实 1.下面几何体的截面一定是圆面的是 ( 5.A,B,C是球面上三点，已知弦（连接球面上两点的 A.圆台 B.球 C.圆柱 D.棱柱 线段)AB=18cm,BC=24cm,AC=30cm,平面 ABC与球心的距离恰好为球半径R的一半，求球 2.长方体的体对角线长为5√2，若长方体的8个顶点 的半径. 都在同一个球面上，则这个球的表面积是( A.20√2π B.25√2π C.50π D.200元 3.用一个平面去截半径为25cm的球，截面圆面积是 225πcm2,则球心到截面的距离为 cm. 4.正方体的表面积为a2,它的顶点都在球面上，则这 @温馨提西 学习至此，请完成配套训练 个球的表面积是 ·50·(2)如图所示，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度为侧 面展开图中A1M的长度. 0 设OB=1南器-产物得1=20m.所以 2π1 ∠A0A1=×30'=0,0A=0A,=0am.0M 30cm.在Rt△A1OM中，A1M=√OA+OM= √/402+302=50(cm). 所以绳子的最短长度为50cm. 如图所示，过O作OQ⊥A1M于Q,交孤BB1于P,则PQ 长为所求最短距离.因为OA1·OM=A1M·OQ,即40X 30=50×OQ,所以OQ=24cm,所以PQ=OQ-OP=OQ -OB=24-20=4(cm),即上底圆周上的，点到绳子的最 短距离为4cm. [答案](1)1100π(2)504 变式训练 3.解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然4 A'(A) 后展开成为平面图形一矩形，如 B B'(B) 图所示，连接AB,则AB即为蚂 蚁爬行的最短距离，AA'为底面圆的周长，∴.AA'=2π ×1=2元.又AB=A'B′=2，∴.AB'=√A'B+AA2= √4+(2x)2=2√十π2，即蚂蚁爬行的最短距离为 2√1+x2. 随堂步步夯实 1.C[①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能 得到一个圆锥和一个圆台，故①说法错误；显然②③说法 正确.故说法正确的有2个.] 2.A[A正确，圆台是由圆锥截得的，截面是上底面，其面 积小于下底面的面积：B错误，矩形绕其对角线所在直线 旋转，不能围成圆柱；C错误，绕直角边所在直线旋转可 以围成圆锥，但绕斜边所在直线旋转围成的是由两个圆 锥组成的组合体：D错误，圆台的上、下底面一定平行.] 3.解析：如图，OB1:OB=1：4, SB1:SB=1:4,即 SB-BB1=1 SB 4 :SB-10=1 SB=1,解得SB=4 3,故圆锥 的母钱长为智cm 答案号 cm 1 .55 4,解析：如图所示，EF=2×2x×受=2π(cm), “最短距离EG√52+（x)=/R+m). H 答案：号V+4 ·10 参考答案 5.解：当以4cm为母线长时，设圆柱底面半径为r, 则8=2,2r=8.S#我面=4X8=(cm)2.当以 π 8cm为母线长时，设圆柱底面半径为R,则2πR=4,2R= 失.S地而=8X4=2(cm)只，综上，间锥的轴藏面面 乡不 积为32 第二课时球 课前预习学案 情境引入 提示球面可以看作一个半圆围绕着它的直径所在的直 线旋转一周所形成的曲面，球是球面围成的几何体， 知识梳理 知识点一、3.圆面垂直√R2一r24.4πR2 [思考] 1.[提示]球与球面是两个不同的概念，球是几何体，球面 是曲面，是球的表面」 2.[提示]球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆，设球 心到截面圆的距离为d,球半径为R,截面圆半径为r,则 有d=√R2-r产 3.[提示]长方体的体对角线等于其外接球的直径 预习自测 1.B[该旋转体形状为一个球体中挖去一个圆柱.] 2.B[作正方体的对角面，截面必过球心和球与正方体上、 下底面的切点，而与对角面中原正方体的两棱相离，故正 确答案为B.] 3解折：设球的丰径为R,则C=2R,R=会球的求面 积为S=4πR2=C 答案号 课堂互动学案 [例1]A[半圆孤以其直径所在直线为轴旋转一周所成 的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球，故①错误；②正 确；球面和球是两个不同的概念，故③错误；若球面上不 同的两，点恰好为最大的圆的直径的端，点，则过此两点的 大圆有无数个，故④错误，故选A.门] 变式训练 1.C[由球的结构特征知，②③正确，①④错误.] [例2][解]若两截面位于球心的同侧，如图所示的是经 过球心O的大圆截面，C,C1分别是两平行截面的圆心， B 设球的半径为R,截面圆的半径分别为r,1, 由元r=49π，得r1=7. 由πr2=400π，得r=20, 在Rt△OB1C1中，OC1=√R2-7=√R2-49, 在Rt△OBC中，OC=√R2-r2=√R2-400. 由题意可知OC1-OC=9,即√R2-49-√R2-400=9, 解此方程，取正值得R=25. 9 数学B版·必修第四册 若球心在两截面之间，如图所示， A B OC1=√R2-49,OC=√R2-400. 由题意可知OC1十OC=9,即 √R2-49+√R2-400=9,此方程 无解. 综上所述，此球的半径为25cm. 变式训练 2.解析：设球的半径为Rcm, 由题意知，截面圆的半径r=12cm,球心到截面的距离 d=(R-8)cm, 由R2=r2+d2,得R2=144+(R-8)2, 即208-16R=0,解得R=13, 故S球=4πR2=676πcm2. 答案：13676π [例3][解]设正方体的棱长为a. (1)正方体的内切球球心是正方体的 中心，切点是正方体六个面的中心，经 过四个切点及球心作截面如图，所以 有2n=a,n=受，所以S=4听 =ra2. (2)球与正方体的各棱的切点在每条 棱的中，点，过球心作正方体的对角面的截面如图，2r2= a2a,所以S=4月=2a2 0 (3)正方体的各个顶点在球面上，过球 心作正方体的对角面的截面如图，所以 有2r=5a,r3=受a,所以S=4xr =3πa2」 综上可得S1:S2:S3=1:2:3. 变式训练 3.解：如图所示，设正四面体ABCD 的高为AO1, 外接球球心为O,半径为R,正三角 R 形BCD的中心为O1. 正四面体的棱长为a, 0 0B×号 0 D 在Rt△AOB中， A0-8-0īa--. 在R△0，B中，0听-0B-0,联=R-( =R2、a2 00√/R2- 3 :A0=A0+00R+R-g-5。 33a. R,即正回面体外接球的丰径为。 设正四面体内切球的半径为「，则球心也为O. :正四面体的高A0,= 3a, .∴.r=O01=AO1 -A0=E-6 3 4 12a, 即正四面体的内切球半径为5。 12 随堂步步夯实 1.B[截面可以从各个不同的角度截取，截得的截面都是 圆面的几何体只有球.] 2.C[对角线长为5√2，∴.2R=5√2，S=4πR2=4πX 522 =50π.] 、2 3.解析：由截面圆面积是225πcm2,得截面圆半径为15cm,故 球心到截面的距离d-√R2-r2-√252-15=20(cm）. 答案：20 4.解析：设正方体棱长为x,球半径为R,则6x2=a2,(2R)2 =3,4R=g,S=4R2- 2 答案：号 5.解：如图所示， AB- 因为AB2+BC2=AC2, 所以△ABC是直角三角形，AC为斜边. 所以△ABC的外接圆圆心O1是AC的 中点 过A,B,C三点的平面截球O得圆O1 的半径为r=15cm. 在Rt△OO1C中，R2 所以R2=R+15. 4 所以R2=300, 所以R=10√3cm. 即球的半径为10√3cm. 11.1.6祖暅原理与几何体的体积 第一课时 祖胞原理与柱体、锥体的体积 课前预习学案 知识梳理 「思考 1.[提示]当几何体形状不规则时，常用分割或补形的方 法将其变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，再求 其体积 2.[提示]在锥体与平行于底面的截面所构成的小锥体 中有如下比别美系股头-=对定线 段（知高、斜高、底面边长等）的平方之比·天炉 ,V小雄=对应线 段（如高、斜高、底面边长等）的立方之比 预习自测 1.A [设正三棱锥高为h,则有h= /(√15)2 号×号x0-,所以v=×9×6 ×3=9.] 2.解析：设圆柱的底面半径为rcm,高为hcm,则 6 4 2r。12或28:.=元或=元 h=8, 我{h=12,“h=8h=12, .V288 cm3192 cm2. 答案：288或192 0