11.1.4 棱锥与棱台（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十一章立体几何初步 11.1.4棱锥与棱台 课程标准 素养解读 1.利用实物观察图形，认识棱锥、棱台的几何结构特征 通过利用实物归纳棱锥、棱台的结构特征及其 2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，进行 表面积的计算，培养学生的数学抽象素养，提升 简单计算，会求表面积 学生的直观想象、数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] 4.正棱锥的有关概念及其特征：如果棱锥的底面是正 金字塔在埃及和美洲等地均有分布，今天的苏丹和 多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底 埃及境内，也就是现在的尼罗河下游散布着约80 面，则称这个棱锥为正棱锥，可以看出，正棱锥的侧 座金字塔遗迹， 面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形 底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高： 5.正棱锥中的直角三角形的应用 已知正棱锥如图（以正四棱锥为例），其高PO,底面 为正方形，作PE⊥CD于E,则PE为斜高. D 问题 从金字塔中可以看出怎样的几何体？ 6 [知识梳理] (1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC. [知识点一]棱锥 (2)斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE. 1棱锥的定义：如果一个多面体有一个面是多边形， (3)侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC 其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个 多面体为棱锥.如图所示，棱锥可记作：棱锥S一 2思考1.正棱锥有什么特点？ ABCD或棱锥S-AC. 一顶点 高 侧棱 侧面 D 0 底面 2.棱锥中的相关概念： 底面（底）：是多边形的那个面； [知识点二]棱台 侧面：有公共顶点的各个三角形； 1.棱台的定义：一般地，用平行于棱锥底面的平面去 侧棱：相邻两侧面的公共边； 截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台.如 顶点：各侧面的公共顶点； 图所示，棱台可记作：棱台ABCD一A'B'C'D. 高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线 段（或它的长度）； 侧面积：所有侧面的面积之和. D 上底面 3.棱锥的分类： B 侧面 侧棱 ①依据：底面多边形的边数； -->C ②举例：三棱锥（底面是三角形）、四棱锥（底面是四 A 下底面 的 边形)… 顶点 ·41· 数学B版·必修第四册 2.棱台中的相关概念 ?思考2.如何判断一个几何体是棱台？ (1)上底面：原棱锥的截面； (2)下底面：原棱锥的底面； (3)侧面：其余各面： (4)侧棱：相邻两侧面的公共边； (5)顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点； 3.正棱台有怎样的性质？ (6)高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个 底面的垂线所得到的线段（或它的长度）； (7)侧面积：所有侧面的面积之和. 3.棱台的分类： ①依据：由几棱锥截得： [预习自测] ②举例：三棱台（由三棱锥截得）、四棱台（由四棱锥 1.下列关于棱锥、棱台的说法正确的有 截得)… ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两 4.正棱台的有关概念及其特征： 个面互相平行的五面体是棱台：③两个底面平行且 由正棱锥截得的棱台称为正棱台，不难看出，正棱 相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两 台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱 个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体 台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯 是棱台 形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高。 A.0个 B.1个C.2个D.3个 5.正棱台中的直角梯形的应用 2.给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全 等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底 已知正棱台如图（以正四棱台为例），O,O分别为 面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧 上、下底面中心，作OE⊥B,C于E,OE⊥BC于 棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的 E,则EE为斜高， 侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形.其中正确 命题的序号有 ( A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.③ 3.如图所示，下列关于这个几何体的说 法正确有的 (1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E,ECC1: ①这是一个六面体；②这是一个四棱 台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截 (2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E,EO. 去一个三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一 (3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O,OCC. 个三棱柱得到. 课堂 。互动学案 题型一棱锥和棱合的概念及结构特点 ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面 [例1](1)下列说法正确的是 体是棱台； ①棱锥的侧面不一定是三角形；②棱锥的各侧棱长 ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的 一定相等；③棱台的各侧棱的延长线交于一点； 六面体是棱台 ④有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几 何体是棱台 汇思路点拨]依据棱锥、棱台的结构特点逐一判 (2)下列三个命题，其中不正确的是 断. ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部 分是棱台： [尝试解答](1) (2) ·43· 第十一章立体几何初步 规律方法 ⊙[变式训练] 判断棱锥、棱台形状的两个方法 2.正四棱锥的底面边长为3，侧棱长为2√5，求正四 (1)举反例法： 棱锥的高. 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、 棱台结构特征的某些说法不正确】 (2)直接法： 棱锥 棱台 只有一个面是多 两个互相平行的面， 定底面 边形，此面即为 即为底面 底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 题型 棱合的有关计算 [例3]如图，正四棱台ABCD一A'B'C'D'的高是 ◇[变式训练] 17cm,两底面的边长分别是4cm和16cm,求这 1.(1)以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把 个棱台的侧棱长和斜高. 一个三棱台分成三棱锥的个数为 D A.1 B.2 C.3 D.0 B (2)(多选题)下列关于棱锥、棱台的说法正确的是 A.棱台的侧面一定不会是平行四边形 B.棱锥的侧面只能是三角形 C.由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 [思路点拨]构造直角梯形OBB'O,OOEE'在 D.棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 直角梯形中，利用平面几何知识求解. 题型二 棱锥的有关计算 [尝试解答] [例2]已知正四棱锥的高为√3，侧棱长为√7，求： (1)正四棱锥的底面边长和斜高； (2)正四棱锥的侧面积. 规律方法 汇思路点拨]根据棱锥的结构特征，构造直角三 正棱台中两底面中心的连线、相应的边心距和斜 角形求解. 高组成一个直角梯形；两底面中心的连线、侧棱和 [尝试解答] 两底面外接圆相应的半径也组成一个直角梯形. ◇[变式训练] 3.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm 和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且 规律方法 侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和 正棱锥的高是顶点与底面中心 侧棱长. 的连线，在正棱锥的计算中需要 构造直角三角形，正棱锥的高、 斜高和斜高在底面上的射影组 D 成一个直角三角形；正棱锥的 B 高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角 三角形；正棱锥的侧棱、底面边长的一半和斜高也 组成一个直角三角形.如图所示，△VOE,△VOB 和△VBE都是直角三角形，像这样的直角三角形 称为正棱锥的特征三角形. ·43· 数学B版·必修第四册 题型四棱锥、棱合的展并图及其计算 ⊙[变式训练] 4.如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几 [例4幻如图，在侧棱长为2√3的正三 何体？ 棱锥V一ABC中，∠AVB= ∠BVC=∠CVA=40°，过点A作 截面△AEF,求截面△AEF周长 A 的最小值. 汇思路点拔沿VA剪开，在平面图形中求解， [尝试解答] 规律方法 多面体展开图问题的解题策略 (1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合 多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲 手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体 的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后 依次画出各侧面，便可得到其表面展开图 (2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面 展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把 上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能 是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面 展开图 随堂。步步夯实 1.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是 4.如图，三棱台ABC-A'B'C',沿A'BC截去三棱锥 A'-ABC,则剩余部分是 ② 5.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2√3，求正三 棱锥的高. ④ A.①是棱柱 B.②不是棱锥 C.③不是棱锥 D.④是棱台 2.具备下列条件的多面体是棱台的是 A.两底面是相似多边形的多面体 B.侧面是梯形的多面体 C.两底面平行的多面体 ⊙温攀提 D.两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体 学习至此，请完成配套训练 3.一个五棱台有 条对角线。 ·44·数学B版·必修第四册 S树=3×6×4=72(cm2). D D)e=----1 C B 答案：(1)A(2)72 [例4][解] 将三棱柱沿AA'展开，如图所示. A' B' C'D'(A') A B C D(A) 则线段AD'的长即为最小距离，最小距离为AD= √JAA+AD2=√12+32=√10. 变式训练 4.解析：结合长方体的三种展开图，如图，不难求得AC1的 长分别是√22+42=√20，√32+32=√/18=3√2， √52+1=√26，显然最小值为3√2 答案：3√瓦 随堂步步夯实 1.A[三棱柱只有面对角线，没有体对角线.] 2.D[正方体是侧棱长等于底面边长的正四棱柱，正四棱 柱的上、下两个底面都是正方形，其余各面都是矩形，因 此正四棱柱一定是长方体，长方体的侧棱和上、下两底面 垂直，因此长方体一定是直四棱柱，故P2N2M口Q.] 3.解析：①③⑤是棱柱. 答案：3 4.解析：依题意，M,N,P分别是正方形 D ABCD、正方形BB1C1C和正方形 ABB1A1的中心，即M,N,P分别为 AC,B1C,AB1的中点，所以用过点M、 N、P的平面截正方体所得的截面为 △ABC,如图所示，因为正方体的棱 长为a,所以△AB1C的边长为√2a,所以△AB1C的面积 s=9= 4 答案9 5.解：(1)不对：水面的形状是矩形，不可能是其他非矩形的 平行四边形. (2)不对；此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多 时，可能是四棱柱，或五棱柱：但不可能是棱台和棱锥。 (3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角 形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角 形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱， 但不可能是棱台. ·10 11.1.4棱锥与棱台 课前预习学案 情境引入 提示棱锥， 知识梳理 [思考] 1.[提示](1)正棱锥的侧棱都相等，底面是正多边形，侧 面是全等的等腰三角形：(2)正棱锥的高、侧棱和侧棱在 底面上的射影组成一个直角三角形，斜高、侧棱、底边的 一半组成一个直角三角形，高、斜高和斜高在底面上的射 影也组成一个直角三角形. 2.[提示]需具备两个特征：(1)上、下底面平行且相似； (2)侧棱延长线交于一点.二者缺一不可 3.[提示](1)正棱台的各侧棱都相等，侧面均为全等的等 腰梯形； (2)两底面及平行于底面的截面是相似正多边形； (3)两底面中心连线、对应的两底面内切圆半径、斜高组 成一个直角梯形：两底面中心连线、侧棱和两底面外接圆 半径组成一个直角梯形：上下底面相应边长的一半，侧棱 和斜高也组成一个直角梯形， 预习自测 1.A[①错误，由五个面围成的多面体可能是三棱柱；②错 误，仅有两个面互相平行的五面体可以是三棱柱：③④错 误，棱台的侧棱延长线必须交于一点.故选A.] 2.D[对于①，棱柱的侧面不一定全等，故错误：对于②，由 棱台的定义可知只有当截面与底面平行时，棱锥底面与 截面之间的部分才是棱台，故错误；对于③，若三棱锥的 三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方 体中共，点的三个相邻平面，故正确；对于④，棱台的侧面 不一定是等腰梯形，故错误.故选D.] 3.解析：①正确，因为几何体有6个面，所以属于六面体的 范围：②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不 正确：③正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱 柱：④⑤都正确，如图所示」 答案：①③④⑤ 课堂互动学案 [例1][解析](1)棱锥的侧面是有公共顶点的三角形， 但是各侧棱不一定相等，故①②不正确：棱台是由平行于 棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各个侧棱的延长线一 定交于一点，③正确：棱台的各条侧棱必须交于一点，故 ④错误. (2)必须用一个平行底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截 面之间的部分才是棱台，故①不正确；两个底面平行且相 似，其余各面都是梯形的多面体并不能说明各条侧棱是 否交于一点，故不能判定②正确：有两个面互相平行，其 余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，③不 正确. [答案](1)③(2)①②③ 6 变式训练 1.解析：(1)如图，三棱台ABC一A1B1C1可分割成三棱锥 A1-ABC,三棱锥B1一A1BC1,三棱锥C-A1BC,共 3个. A B (2)A正确，棱台的侧面一定是梯形，而不 是平行四边形；B正确，由棱锥的定义知棱 锥的侧面只能是三角形；C正确，由四个 平面围成的封闭图形只能是三棱锥：D错 误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分 都是棱锥. 答案：(1)C(2)ABC [例2][解](1)如图，在正四棱锥S -ABCD中，高OS=√3， 侧棱SA=SB=SC=SD=√7， 则△SOA为直角三角形， 在Rt△SOA中，OS=3,SA=√7， ∴.OA=2,∴AC=4, .四边形ABCD为正方形， ..AB=BC=CD=DA=2√2 作OE⊥AB交AB于E,则E为AB的中点，SO⊥OE.连 接SE,则SE即为正四棱锥的斜高. 在R△S0E中，：0B=2BC=E,S0=E, ∴.SE=√5，即正四棱锥的斜高为√5. 故正四棱锥的底面边长为2√厄，斜高为√5. (2)由1)知，SasB=7×22×,后=V而. 所以正四棱锥的侧面积为S=4×S△sAB=4√10. 变式训练 2.解析：作出正四棱锥如图，SO为其高，连接BO, 0 B (注AD为虚线)则在R△SOB中，SB=2厅，OB=号E :S0=√SB-OB=50,故正四棱锥的高为@ 2 2 [例3][解]设棱台两底面的中心分别是O和O,B'C, BC的中点分别是E',E,连接O'O,EE,OB,OB',OE', OE,则四边形OBB'O',OEE'O'都是直角梯形，且OO= 17cm. 在正方形ABCD中，BC=16cm,则OB=8√瓦cm,OE 8cm,在正方形A'B'C'D'中，B'C'=4cm, 则OB'=2√2cm,O'E=2cm. 在直角梯形OOBB'中，BB'=√OO+(OB-OB)z= √J172+(8√2-2√2)2=19(cm. ·10 参考答案 在直角梯形OOEE'中，EE'= √002+(OE-0E)2=√172+(8-2)2=5√13(cm). 故这个棱台的侧棱长为19cm,斜高为5√13cm. D C D 变式训练 3.解：如图，在三棱台ABC-A'B'C' 中，O',O分别为上、下底面的中 心，D,D'分别是BC,B'C'的中点， 连接OO,OD',OD,DD',则DD 是等腰梯形BCC'B'的高，所以S树 =3×号×(20+30)×DD D 75DD'.又A'B'=20cm,AB=30cm,则上、下底面面积 之和为S4+5,=5×(20:+302)=3255(cm2). 由S=SL+S下，得75DD=3255,所以DD-吕5cm, 又0D=5×20=103(cm), 6 3 OD=5×30=5B(cm),所以棱台的高为h=00= 6 √DD2-(OD-OD)2 133 3 =4√3(cm). 在直角梯形BDD'B'中，B'D'=l0cm,BD=15cm,DD -1服5-1o 13w 3 283(cm.故 3 校台的高为4尽cm,侧棱长为28丽 cm 3 [例4][解]沿着侧棱VA把正三 A'(A) 棱锥V一ABC展开在一个平面内， 如图. 23 则AA'的长即为截面△AEF周长 ‘E 的最小值，且∠AVA'=3×40°= A B 120,在△VAA'中，AA'=2X25×3 =6,故截面 △AEF周长的最小值为6. 变式训练 4.解：图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边 形，符合棱柱特点：图②中，有5个三角形，且具有共同的顶 点，还有一个五边形，符合棱锥特点：图③中，有3个梯形，且 其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台 的特点，把表面展开图还原为原几何体，如图所示： ① ② ③ 所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台. 随堂步步夯实 1.B[结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱 锥，③是棱台，④不是棱锥，故B错误.] 数学B版·必修第四册 2.D[棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体要成为棱台 应有两个条件：一是上、下底面平行；二是各侧棱延长后 必须交于一点，选项C只具备一个条件，选项A、B则两 条件都不具备，] 3.解析：五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1的对角线有AC1, AD;BD1,BE,CE,CA1,DA,DB1,EB,EC 10条. 答案：10 4.解析：在题图中截去三棱锥A'一ABC后，剩余的是以 BCCB'为底面，A'为顶，点的四棱锥 答案：四棱锥A'一BCC'B 5.解：作出正三棱锥如图，SO为其高， 连接AO,作OD⊥AB于点D,则点 D为AB的中点.在Rt△ADO中， AD=2,∠0AD=30,故A0= 3 0 2 cos∠OAD =√3.故S0= √SA2-AP=3,故三棱锥的高为3. 11.1.5旋转体 第一课时圆柱、圆锥、圆台 课前预习学案 情境引入 提示以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转 轴，将直角梯形旋转一周可形成圆台. 知识梳理 [思考] 1.[提示]不相同 2.[提示]都是圆面，截圆柱所得的圆面与上、下底面相 同，圆锥、圆台所得到的圆面从下向上逐渐变小 3.[提示]圆柱的轴截面是矩形，一边为圆柱的底面圆直 径，另一边为母线长；圆锥的轴截面是等腰三角形，腰为 母线长，底边长为底面圆直径；圆台的轴截面为等腰梯 形，两腰为母线长，上、下分别为上、下底面圆直径. 4.[提示]圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为母线 长，圆孤为底面圆周长：圆台的侧面展开图为扇形再剪去 一个扇形剩余部分，其面积为两个扇形面积的差，S圆维侧 =πrl,其中r为底面圆半径，l为母线长；S图台侧=π(r1十 r2)·l,其中r1,r2分别为上、下底面半径，l为母线长. 预习自测 1.D[连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕 其一条对角线所在直线旋转一周形成两个圆锥.] 2.D[只有D不是旋转体.] 3.解析：h=20c0s30°=10√3. 答案：10√3 课堂互动学案 [例1][解析](1)错误.若以直角梯形的不垂直于底边 的腰为轴旋转一周形成的旋转体不是圆台，是圆锥和圆 台的组合体.(2)正确.圆柱、圆锥、圆台的底面都是垂直 于轴的矩形、直角三角形、直角梯形的一边旋转而成的圆 面.(3)正确.若矩形的两邻边长不相等，则其旋转形成的 曲面或圆面的半径也不一样，故所得圆柱也不同.(4)错 误.当此平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和 一个圆台，否则不能得到 [答案](2)(3) 变式训练 1.BDL由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知B,D 正确，A,C错误.] ·10 [例2][解](1)法一圆 B 台的轴截面如图所示，根据 题意可设圆台的上、下底面 半径分别为xcm和3rcm, D 0 即A'O'=xcm,AO=3xcm (O',O分别为上、下底面圆圆心)，过A'作AB的垂线，垂 足为点D 在Rt△AA'D中，∠AA'D=45°，AD=AO-A'O=2xcm,所 以A'D=AD=2xcm. 图为S我西=(Ag'+AB)·AD=号(2z+6x)X2 =392,所以x=7,故圆台的高0=14cm,母线长AA'= √2OO=14√2cm,上、下底面的半径分别为7cm和21cm. 法二圆台的轴截面为梯形 A'ABB',设圆台上、下底面半径 分别为xcm和3.xcm. A 0' 延长AA',BB',交OO的延长线 于点S.在Rt△SOA中，∠ASOA 0 B =45°，所以S0=AO=3.xcm,SO'=A'O'=xcm,所以 00=2xcm,S轴我而=7(2r十6x)X2x=392,所以x=7 所以圆台的高O0=14cm,母线AA'=√2O0=14√2cm, 上、下底面半径分别为7cm和21cm. (2)画出圆台的轴截面，如图所示，延 长梯形两腰交于点V,O2,O1,O分别 是圆台上底面、截面和下底面的圆心， 0 VO2=h,02O=h1,01O=h2, 49π干元 h+h1W2π h201 h 0 (h,=4h, 则 所以 /49π (h2=2h, h+h+h2x 所以h1:h2=2:1,即圆台的高被截面分成的两部分的 比为2：1. 变式训练 2.解：如图，轴截面SAB,圆维SO的底面直 径为AB,SO为高，SA为母线，则∠ASO =30°.在Rt△SOA中，AO=SO·tan30 _25(cm). 3 SA=-SO c0s30 2=43(cm. 3 所以S△ASB= 50·2A0-4(cm2).所以园锥的母线 3 长为4 3 cm,圆维的轴藏面的面积为4y5cm 3cm2. [例3][解析](1)如图所示，设圆台 的上底面周长为ccm,由于扇形的圆 心角是180°，则c=x·SA=2πX10, 解得SA=20cm.同理可得SB= 40cm,所以AB=SB-SA=20cm. 所以S表=S侧十S上十S下=π×(10 01 +20)×20+元×102+x×202= 1100π(cm2). 18