11.1.2 构成空间几何体的基本元素(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦构成空间几何体的基本元素这一核心知识点，从点、线、面的基本构成入手，通过“点动成线、线动成面、面动成体”的运动观点理解几何体形成，系统梳理点与线、点与面、线与线、线与面、面与面的位置关系及符号表示，结合长方体实例构建知识支架。 该资料以流星、雨刷等生活实例引入培养数学眼光，通过表格清晰呈现位置关系的符号与图形强化数学抽象和语言表达，题型设计如运动形成几何体、长方体元素关系分析发展直观想象。课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾巩固，弥补知识盲点。

11.1.2　构成空间几何体的基本元素 课标要求 1.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系（数学抽象）. 2.掌握空间中点与直线、直线与直线的位置关系（直观想象）. 3.掌握空间中直线与平面、平面与平面的位置关系（直观想象）. 　　在现实生活中，有很多自然现象值得我们深入思考，也有一些生活细节需要大家用心体会.夜晚一颗流星突然划破长空，形成一道美丽的弧线；雨雪天气中行驶的汽车，不时地转动着雨刷；清晨起床后洗漱挤出的牙膏……看似风马牛不相及的事物，其实都包含着“点动成线”“线动成面”“面动成体”的数学规律. 【问题】　（1）天空中飘浮的气球是空间几何体吗？ （2）它是否是由点、线、面构成的？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间中的点、线、面 1.构成空间几何体的基本元素：　点、线、面　. 2.从运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成　线　，线动成　面　，面动成　体　. 下列不属于构成几何体的基本元素的是（　　） A.点 B.线 C.曲面 D.多边形（不含内部的点） 解析：D　本题考查了构成空间几何体的基本元素，关键是对概念的理解.由于一个几何体是由点、线、面组成的，而线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，故而只有D不属于构成几何体的基本元素，故选D. 知识点二　点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法 位置关系 符号表示 图形 点、线 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点、面 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 位置关系 符号表示 图形 线、线 两直线平行 a∥b 两直线异面 a∩b＝∅且a与b不平行 两直线相交 a∩b＝P 线、 面 直线a在平面α内 a⊂α 直线在平面外 直线a与平面α平行 a∥α 线、面 直线在平面外 直线a与平面α斜交于点A a∩α＝A 直线a与平面α垂直 a⊥α 面、面 两平面平行 α∥β 两平面相交 α∩β＝l 　　提醒：对异面直线的理解：①异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线；②注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线. 【想一想】 　分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ 提示：不一定.可能平行、相交或异面. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两直线若不是异面直线，则必相交或平行.（　√　　） （2）如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.（　√　　） （3）两个平面ABC与DBC相交于线段BC.（　×　） 2.点P在直线a上，直线a在平面α内可记为（　A　） A.P∈a，a⊂α B.P⊂a，a⊂α C.P⊂a，a∈α D.P∈a，a∈α 3.长方体和正方体都有8个顶点，12条棱，6个面. 4.若A∈α，B∉α，A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有1个公共点. 解析：∵A∈α，A∈l，∴直线l与平面α有公共点A，∴直线l⊂平面α 或直线l∩平面α＝A.下面用反证法证明直线l不可能在平面α内，假设直线l⊂平面α，∵B∈l，∴B∈α，这与已知条件“B∉α”矛盾，故“直线l⊂平面α”不能成立，∴直线l∩平面α＝A，直线l与平面α有唯一公共点（如图所示）. 知识点三　直线与平面垂直 1.定义：如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内　任意　一条过点A的直线m，都有　l⊥m　，则称直线l与平面α垂直（或l是平面α的一条　垂线　，α是直线l的一个　垂面　），记作　l⊥α　，其中点A称为　垂足　. 2.距离 概念 对应图形 投影 给定空间中一个平面α及一个点A，过点A可以作而且只可以作平面α的一条　垂线　.如果记垂足为B，则称　B　为A在平面α内的射影（也称为投影） 距 离 点、面 线段　AB　为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离 距 离 线、面 当直线与平面　平行　时，直线上　任意　一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离 面、面 当平面与平面　平行　时，一个平面上　任意　一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离 【想一想】 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗？ 提示：不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行. 线段AB的长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C'D'，再将C'D'沿水平方向向左移动4 cm后记为A'B'，依次连接构成长方体ABCD-A'B'C'D'. （1）该长方体的高为3cm； 解析：如图，（1）该长方体的高为3 cm. （2）平面A'B'BA与平面D'C'CD间的距离为4cm； 解析：平面A'B'BA与平面D'C'CD间的距离为4 cm. （3）点A到平面BCC'B'的距离为5cm. 解析：点A到平面BCC'B'的距离为5 cm. 题型一｜图形语言、文字语言、符号语言的相互转化 【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形： （1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于A，B； 解：用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图. （2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，C不在直线AB上. 解：用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图. 通性通法 三种语言的转换方法 （1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示； （2）要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”. 提醒　根据符号语言或文字语言画相应的图形时要注意实线和虚线的区别. 【跟踪训练】 　如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系： （1）点C与平面β：C∉β； （2）点A与平面α：A∉α； （3）直线AB与平面α：AB∩α＝B； （4）直线CD与平面α：CD⊂α； （5）平面α与平面β：α∩β＝BD. 题型二｜从运动观点认识几何体 【例2】　如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形. 解：线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形，如图所示. 通性通法 用运动观点认识几何体 （1）点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面； （2）在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟. 【跟踪训练】 若AB与l有如图所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形. 解：如图所示. 题型三｜长方体中基本元素之间的关系 【例3】　在长方体ABCD-A'B'C'D'中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中. （1）与直线B'C'平行的平面有哪几个？ 解：与直线B'C'平行的平面有平面ABCD，平面ADD'A'. （2）与平面BB'C'C平行的平面有哪几个？ 解：与平面BB'C'C平行的平面为平面ADD'A'. 【母题探究】 1.（变设问）在本例中其他条件不变. （1）与直线B'C'垂直的平面有哪几个？ 解：有平面ABB'A'，平面CDD'C'. （2）与平面BC'垂直的平面有哪几个？ 解：有平面AB'，平面A'C'，平面CD'，平面AC. 2.（变设问）本例中与棱A'D'相交的棱有哪几条？它们与棱A'D'所成的角是多少？ 解：有A'A，A'B'，D'D，D'C'. 由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱A'D'所成角都是90°. 通性通法 1.平行关系的判定 （1）直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行； （2）直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，棱所在的直线与某一平面不相交就平行； （3）平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行. 2.垂直关系的判定 （1）直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直； （2）平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直. 【跟踪训练】 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，请写出： （1）三对平行的平面； 解：平面ABB1A1与平面DCC1D1，平面ADD1A1与平面BCC1B1，平面ABCD与平面A1B1C1D1分别平行. （2）三对垂直的平面； 解：平面ABB1A1与平面ABCD，平面ABB1A1与平面ADD1A1，平面ABCD与平面BCC1B1分别垂直. （3）直线AD1与平面BCC1B1的位置关系； 解：直线AD1与平面BCC1B1平行. （4）直线AD与平面ABB1A1的位置关系. 解：直线AD与平面ABB1A1垂直. 1.能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是（　　） 解析：C　选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面α相交于点A；选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面，所以不能表示直线在平面α内，故选C. 2.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（　　） A.异面或平行 B.异面或相交 C.异面 D.相交、平行或异面 解析：D　可参考长方体中各条线的位置关系判断. 3.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面位置关系如何？试画图分析. 解：这两个平面平行（如图①）或相交（如图②）. 1.下列图形中不一定是平面图形的是（　　） A.三角形 B.平行四边形 C.梯形 D.四边相等的四边形 解析：D　三角形、平行四边形、梯形都是平面图形，只有四边相等的四边形可能不是平面图形. 2.如图，平面α，β，γ可将空间分成（　　） A.五部分 B.六部分 C.七部分 D.八部分 解析：B　由平面α，β，γ的位置关系可知，三平面将空间分成六部分，故选B. 3.已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则（　　） A.P∉α，Q∈α B.P∈α，Q∉α C.P∉α，Q∉α D.Q∈α 解析：D　由点、线、面之间的位置关系可判断P与α关系不确定，Q∈α. 4.若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是（　　） A.1或2 B.2或3 C.1或3 D.1或2或3 解析：C　若三个平面经过同一条直线，则有1条交线；若三个平面不过同一条直线，则有3条交线. 5.下列命题中的真命题是（　　） A.若点A∈α，点B∉α，则直线AB与平面α相交 B.若a⊂α，b⊄α，则a与b必异面 C.若点A∉α，点B∉α，则直线AB∥平面α D.若a∥α，b⊂α，则a∥b 解析：A　若a⊂α，b⊄α，则a与b平行或异面，B错；对直线AB上两点A，B虽然都不在α内，但直线AB与平面α可能有公共点，故直线AB与平面α也可能相交，C错；⇒a∥b或a，b异面，D错. 6.〔多选〕下列关于长方体ABCD-A1B1C1D1的说法中，正确的有（　　） A.它有3组对面互相平行 B.与AB垂直的棱只有AD，BC和AA1 C.它可看成是由一个矩形平移形成的 D.棱AA1，BB1，CC1，DD1相互平行且相等 解析：ACD　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，故A说法正确；与AB垂直的棱除了AD，BC，AA1外，还有B1C1，A1D1，BB1，CC1和DD1，故B说法错误；这个长方体可看成矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动与AA1长度相等的距离所形成的几何体，故C说法正确；棱AA1，BB1，CC1，DD1的长度等于长方体中平面ABCD和平面A1B1C1D1间的距离，它们相互平行且相等，故D说法正确. 7.如图所示，用符号语言表示以下各概念： （1）点A，B在直线a上A∈a，B∈a； （2）直线a在平面α内a⊂α； （3）点D在直线b上，点C在平面α内D∈b，C∈α. 解析：根据点、线、面位置关系及其表示方法可知（1）A∈a，B∈a，（2）a⊂α，（3）D∈b，C∈α. 8.把下列符号叙述所对应的图形的编号填在题后横线上. （1）A∉α，a⊂α③； （2）α∩β＝a，P∉α且P∉β④； （3）a⊄α，a∩α＝A①； （4）α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O②. 解析：（1）图③符合A∉α，a⊂α； （2）图④符合α∩β＝a，P∉α且P∉β； （3）图①符合a⊄α，a∩α＝A； （4）图②符合α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O. 9.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有6条. 解析：如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1. 10.请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形. 解：图①可看成平面β被α挡住一部分；图②可看成三棱锥；图③可看成是一个正方体，添加虚线即可（如图所示）. 11.与空间不共面的四个点距离相等的平面有（　　） A.3个 B.4个 C.7个 D.无数个 解析：C　把问题分成两类：首先是一点对应其余共面的三点，由这点向其余三点确定的面作垂线，则垂线的中垂面满足要求，这样的平面有4个；其次是异面直线，异面直线的公垂线的中垂面满足要求，而异面直线有3对，所以有3个平面.这样一共有7个平面. 12.〔多选〕下列说法中错误的有（　　） A.平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线 B.如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面 C.直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线 D.如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a⊂β 解析：ABC　A错误，平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有2条或3条交线，还有可能只有1条交线.B错误，如果a，b是两条直线，a∥b，那么直线a有可能在经过b的平面内.C错误，直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面α内无数条直线平行.D正确，如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a⊂β. 13.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，哪几条棱所在直线与棱AB所在直线是异面直线？哪几条棱所在直线与直线B1C是异面直线？哪几条棱所在直线与直线BD1是异面直线？ 解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱A1D1，D1D，B1C1，C1C所在直线与棱AB所在直线是异面直线；棱A1D1，D1D，DA，AA1，AB，D1C1所在直线与直线B1C是异面直线；棱AD，AA1，A1B1，B1C1，C1C，CD所在直线与直线BD1是异面直线. 14.在如图所示的长方体ABCD-A'B'C'D'中，互相平行的平面共有3对，与A'A垂直的平面是平面ABCD、平面A'B'C'D'. 解析：平面ABCD与平面A'B'C'D'平行，平面ABB'A'与平面DCC'D'平行，平面ADD'A'与平面BCC'B'平行，共3对.与AA'垂直的平面是平面ABCD，平面A'B'C'D'. 15.如图是课桌的大致轮廓. （1）请从这个几何体中寻找一些点、线、面，并将它们列举出来； （2）判断下列说法是否正确. ①直线AA1与直线CC1平行； ②直线AA1与平面C1D1D2C2相交； ③点A1与点B1到平面A2B2C2D2的距离相等. 解：（1）点列举如下： 点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2. 列举如下： 直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线B2C2，直线C2D2，直线A2D2，直线A1B1，直线B1C1，直线C1D1，直线A1D1. 面列举如下： 平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2. （2）①正确，由于直线AA1与直线CC1同在平面AA1C1C内，且没有交点，因此直线AA1与直线CC1平行. ②不正确，直线AA1与平面C1D1D2C2没有交点，因此直线AA1与平面C1D1D2C2平行. ③正确，点A1到平面A2B2C2D2的距离为A2A1的长，点B1到平面A2B2C2D2的距离为B2B1的长，又A2A1＝B2B1，所以距离相等. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $