11.1.1 空间几何体与斜二测画法(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦空间几何体的认识与斜二测画法，先通过“水立方”抽象为长方体引入几何体概念，再系统讲解斜二测画法规则，涵盖平面图形与立体图形直观图的绘制及还原，形成从具体到抽象的学习支架。 资料以生活实例培养数学抽象，通过分步示范和题型训练发展直观想象，如等腰梯形直观图绘制、四棱锥直观图构建等实例。课中辅助教师清晰授课，课后练习题帮助学生巩固画法规则，查漏补缺。

11.1.1　空间几何体与斜二测画法 课标要求 1.认识实际生活中各种各样的几何体（数学抽象）. 2.掌握斜二测画法的作图规则（直观想象）. 3.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图（直观想象）. 　　图中的国家游泳中心（又称“水立方”）可以抽象成一个几何体——长方体. 【问题】　你能画出一个长方体吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间几何体 1.定义：如果只考虑一个物体占有的空间　形状　和　大小　，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体. 2.常见空间几何体： 知识点二　用斜二测画法作平面图形的直观图的步骤 　　提醒：对斜二测画法的理解：①“斜”：把直角坐标系xOy变为斜坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°（或135°），即y'轴是斜的，反映投影线是斜的；②“二测”：平行于x轴，z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，即有“两种测度”. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变.（　×　） （2）在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.（　×　） （3）用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.（　×　） （4）用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变.（　×　） 2.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的（　　） 解析：C　正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1. 3.下列几何体分别是球 、圆柱 、圆锥 . 知识点三　用斜二测画法作立体图形的直观图的步骤 一般地，用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下： （1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的　直观图　（保留　x'轴　与　y'轴　）. （2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴.过　x'轴　与　y'轴　的交点作z轴对应的z'轴，且z'轴垂直于　x'轴　.图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z'轴平行（或重合）的线段，且长度　不变　，连接有关线段. （3）擦去有关辅助线，并把　被面遮挡住的线段　改成虚线（或擦除）. 【想一想】 空间几何体的直观图中实、虚线表示什么意思？ 提示：在用斜二测画法画立体图形时，实线表示看得见的部分，虚线表示看不见（被遮挡）的部分. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）画空间几何体的直观图时，为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示.（　√　） （2）正方体的直观图仍然是正方体.（　×　） 2.若把一个高为10 cm的棱柱的底面画在x'O'y'平面上，则棱柱的高应画成（　　） A.平行于z'轴且大小为10 cm B.平行于z'轴且大小为5 cm C.与z'轴成45°且大小为10 cm D.与z'轴成45°且大小为5 cm 解析：A　平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.故选A. 题型一｜平面图形直观图的画法 【例1】　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图. 解：画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°. （2）以O'为中点在x'轴上取A'B'＝AB，在y'轴上取O'E'＝OE，以E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'＝CD. （3）连接B'C'，D'A'，所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图. 通性通法 画平面图形直观图的技巧 （1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点； （2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段. 【跟踪训练】 用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形OBCD的直观图. 解：（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示. （2）画出相应的x'轴、y'轴，使它们相交于O'点，且∠x'O'y'＝45°，如图②所示，在x'轴上取点B'，E'，使得O'B'＝OB，O'E'＝OE；在y'轴上取点D'， 使得O'D'＝OD；过点E'作E'C'∥y'轴， 使E'C'＝EC. （3）连接B'C'，C'D'，并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O'B'C'D'就是所求的直观图. 题型二｜空间几何体的直观图 【例2】　画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图. 解：画法：（1）画轴.画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°（或135°），∠xOz＝90°，如图. （2）画底面.以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD. （3）画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高. （4）成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图. 通性通法 画空间图形直观图的原则 （1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系O-xyz，并且把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z'轴与平面x'O'y'垂直； （2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线段，并且长度不变； （3）平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段，且线段长度画成原来的一半； （4）平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段，并且长度不变. 【跟踪训练】 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图. 解：（1）画轴.如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. （2）画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体ABCD-A'B'C'D'的底面ABCD（如图①）. （3）画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'（如图①）. （4）成图.顺次连接点A'，B'，C'，D'，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得到长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图（如图②）. 题型三｜直观图的还原与计算 【例3】　如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y'，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O'D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积. 解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O'D1＝1，OC＝O'C1＝2. 在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2. 在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形（如图）. 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2. 所以面积为S＝×2＝5. 【母题探究】 　（变条件）若本例中的条件变为：“如图所示的直角梯形是一平面图形的直观图，若∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC”，求原图形的面积. 解：如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝. 而四边形AECD为矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1.所以BC＝BE＋EC＝＋1. 由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形. 在原图形中，A'D'＝1，A'B'＝2，B'C'＝＋1，且A'D'∥B'C'，A'B'⊥B'C'，所以原图形的面积为S＝（A'D'＋B'C'）·A'B'＝××2＝2＋. 通性通法 1.直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 2.直观图与原图面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S'，则有S'＝S或S＝2S'.利用这一公式可由原图形面积直接求其直观图面积或由直观图面积直接求原图形面积. 【跟踪训练】 已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A'B'C'的面积为（　　） A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 解析：D　图1，图2分别为正三角形ABC的实际图形和直观图. 由图2可知，B'C'＝BC＝a，O'A'＝OA＝a，在图2中作A'D'⊥B'C'于点D'，则A'D'＝O'A'＝a，所以S△A'B'C'＝B'C'·A'D'＝×a×a＝a2. 1.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是（　　） A.直角三角形的直观图仍是直角三角形 B.梯形的直观图是平行四边形 C.正方形的直观图是菱形 D.平行四边形的直观图仍是平行四边形 解析：D　由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确. 2.如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB中OA边上的高等于（　　 ） A.4　 　　B.2 C.2　　　D. 解析：A　由题意可知，OA⊥OB，且OB＝2OB'＝4，即OA边上的高为4. 故选A. 3.如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，2），则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B'到x'轴的距离为. 解析：画出直观图，BC对应B'C'，且B'C'＝1，∠B'C'x'＝45°，故顶点B'到x'轴的距离为. 4.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'O'＝O'B'＝1，B'C'＝1，则四边形ABCD的周长为10. 解析：由题设知原四边形中AB＝CD＝A'B'＝C'D'＝2且AB∥CD，所以原四边形ABCD为平行四边形，而O'C'＝，则原四边形中OC＝2，故AD＝BC＝＝3.综上，四边形ABCD的周长为AB＋CD＋AD＋BC＝10. 1.如图所示，平行四边形A'B'C'D'为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为（　　） A.平行四边形 B.梯形 C.菱形 D.矩形 解析：D　因为∠D'A'B'＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A'B'C'D'为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形. 2.下面选项中边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是（　　） 解析：C　可分别画出各组图形的直观图（图略），观察可得C中正△ABC的直观图不是全等三角形，故选C. 3.已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起（底面平行于水平面），其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为（　　） A.2 cm B.3 cm C.2.5 cm D.5 cm 解析：D　圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间的距离为2＋3＝5（cm），在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.故选D. 4.已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B'O'＝C'O'＝1，A'O'＝，那么在△ABC中，∠ABC的大小是（　　） A.30°　　　 B.45° C.60°　　　D.90° 解析：C　根据斜二测画法，可知在△ABC中，BC＝2，AO＝，AO⊥BC，∴AB＝AC＝＝2，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°. 5.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A'B'C'.已知O'是斜边B'C'的中点，且A'O'＝1，则△ABC的边BC上的高为（　　） A.1　　　 B.2 C.2　　　 D. 解析：C　因为直观图是等腰直角三角形A'B'C'，∠B'A'C'＝90°，A'O'＝1，所以A'C'＝，根据直观图中平行于y轴的长度变为原来的一半，所以△ABC的边BC上的高AC＝2A'C'＝2. 6.〔多选〕如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是（　　） A.A'D'＝2 B.AB＝4 C.四边形ABCD的面积为6 D.四边形ABCD的周长为6＋＋ 解析：BC　A选项，分别过点C'，D'作C'N，D'M⊥x'轴于点N，M，因为等腰梯形A'B'C'D'中A'B'＝4，C'D'＝2，所以MN＝2，A'M＝B'N＝1，又∠D'A'M＝45°，所以A'D'＝，A错误；B选项，由斜二测画法可知AB＝A'B'＝4，B正确；C选项，作出原图形，可知AD＝2A'D'＝2，AB＝4，CD＝2，AD⊥AB，故四边形ABCD的面积为＝6，C正确； D选项，过点C作CH⊥AB于点H，则AH＝CD＝2，BH＝4－2＝2，CH＝AD＝2，由勾股定理得BC＝＝2，四边形ABCD的周长为AB＋CD＋AD＋BC＝4＋2＋2＋2＝6＋2＋2，D错误. 7.关于斜二测画法，下列说法不正确的是③. ①原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x'轴，长度不变； ②原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y'轴，长度变为原来的； ③画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时，∠x'O'y'必须是45°； ④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同. 解析：画与直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时，∠x'O'y'也可以是135°. 8.利用斜二测画法得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形. 以上结论中，正确的是①②（填序号）. 解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形. 9.若平行四边形A'B'C'D'是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABCD的直观图.已知A'B'＝4，∠D'A'B'＝45°，平行四边形A'B'C'D'的面积为8，则原平面图形ABCD中AD的长度为4. 解析：如图，过点D'作D'E⊥A'B'于点E，则△A'ED'为等腰直角三角形， 由平行四边形A'B'C'D'的面积为8得A'B'·D'E＝8， ∵A'B'＝4，∴D'E＝2，∴A'D'＝2， ∴原平面图形ABCD中，∠DAB＝90°，AD＝2A'D'＝4. 10.如图，四边形A'B'C'D'是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积. 解：由已知中四边形A'B'C'D'是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示，这是一个底边长为2，高为的平行四边形.故原图形的面积为2. 11.〔多选〕如图所示，用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图，得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（　　） A.AB＝2BC B.AD⊥BC C.AC＞AD＞AB＞BC D.AC＞AD＞AB＝BC 解析：AC　由直观图画出△ABC如图所示.其中AB＝2BC，∠ABC＝90°，所以AC＞AD＞AB＞BC.故选A、C. 12.已知△ABC用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形A'B'C'（如图），则△ABC中边长与△A'B'C'的边长相等的边上的高为. 解析：由于△ABC用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形A'B'C'，则△ABC中边长与△A'B'C'的边长相等的边为A'B'＝AB.在△O'A'C'中A'C'＝1，∠A'O'C'＝45°，∠C'A'B'＝60°，所以∠C'A'O'＝120°，由正弦定理得＝，所以O'C'＝＝，所以△ABC中AB边上的高为OC＝2×＝. 13.如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图. 解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示. 14.若用“斜二测画法”作出边长为2的正三角形ABC的直观图是△A1B1C1，则△A1B1C1的重心G1到底边A1B1的距离是. 解析：如图为正三角形ABC的直观图△A1B1C1，G1F为重心G1到底边A1B1的距离，则O1C1＝2××＝，∵G1为△A1B1C1的重心，∴O1G1＝O1C1＝，∴G1F＝O1G1sin 45°＝×＝. 15.一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图. 解：（1）如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. （2）画圆柱的两底面的直观图.在xOy平面上画出底面圆O的直观图，使AB为3 cm，CD为1.5 cm，在z轴上截取OO'，使OO'＝3 cm，过O'作Ox的平行线O'x'，Oy的平行线O'y'，在x'O'y'平面上画出底面圆O'的直观图，使A'B'＝3 cm，C'D'＝1.5 cm. （3）画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO'等于圆锥的高3 cm. （4）成图.连接A'A，B'B，PA'，PB'，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体（机器部件）的直观图，如图②. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $