章末检测（十） 复数(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

章末检测（十）　复数 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝（　　） A.8i B.6 C.6＋8i D.6－8i 解析：B　z1＋z2＝（3＋4i）＋（3－4i）＝（3＋3）＋（4－4）i＝6.故选B. 2.若复数z＝（1－i）（2＋ai）（a∈R）为纯虚数，则a的值为（　　） A.－2 B.1 C. D.2 解析：A　由题知，z＝a＋2＋（a－2）i，又z为纯虚数，∴2＋a＝0，∴a＝－2. 3.已知复数z与复平面内的点（2，2）对应，则＝（　　） A.－i B.＋i C.－＋i D.＋i 解析：C　由题设z＝2＋2i，则＝＝＝＝－＋i. 4.已知i为虚数单位，复数z满足z（1＋i）＝3i，则｜z｜＝（　　） A. B. C. D.2 解析：C　∵z（1＋i）＝3i，∴z＝＝＝＝＋，∴｜z｜＝＝，故选C. 5.已知复数z满足（1＋i）z＝｜－i｜，则＝（　　） A.1－i B.1＋i C.2－2i D.2＋2i 解析：B　因为｜－i｜＝＝2，所以（1＋i）z＝2，则z＝＝＝1－i，则＝1＋i.故选B. 6.已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝（　　） A.1＋2i B.2－2i C.2＋i D.2－i 解析：C　＝＝－i＝1－ni， 所以解得故m＋ni＝2＋i. 7.如果复数z满足｜z＋i｜＋｜z－i｜＝2，那么｜z＋1＋i｜的最小值是（　　） A.1 B. C.2 D. 解析：A　∵｜z＋i｜＋｜z－i｜＝2，∴点Z在以（0，1）和（0，－1）为端点的线段上，｜z＋1＋i｜表示点Z到（－1，－1）的距离.由数形结合（图略）知最小值为1. 8.已知z∈C，且｜z｜＝1，则复数（　　） A.是实数 B.是虚数但不一定是纯虚数 C.是纯虚数 D.可能是实数也可能是虚数 解析：A　法一　∵｜z｜＝1，∴设z＝a＋bi（a，b∈R，且a2＋b2＝1），∴＝＝＝＝＝＝2a∈R. 法二　∵｜z｜＝1，∴z＝1，∴＝＝z＋∈R. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知复数z＝－1＋i（i为虚数单位），为z的共轭复数，若复数ω＝，则下列结论正确的是（　　） A.ω在复平面内对应的点位于第二象限 B.｜ω｜＝1 C.ω的实部为－ D.ω的虚部为i 解析：ABC　∵z＝－1＋i，∴＝－1－i，∴ω＝＝＝－＋i.故A、B、C三个选项正确. 10.对于两个复数α＝－＋i，β＝－－i，下列四个结论中正确的是（　　） A.αβ＝1 B.＝1 C.＝1 D.α3＋β3＝2 解析：ACD　αβ＝＝＋＝1，≠1，＝＝1，α3＋β3＝＋＝1＋1＝2，故选A、C、D. 11.已知复数z1，z2，z3均为虚数，且z3＝，则（　　） A.z1z2z3＜0 B.｜z3｜＝｜z1｜｜z2｜ C.－为纯虚数 D.存在某个实系数二次方程，它的两个根为z1z2，z1z2z3 解析：BC　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R，b≠0，d≠0），∴z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i，∴z3＝＝（ac－bd）－（ad＋bc）i（ad＋bc≠0）.对于A，z1z2z3＝（ac－bd）2＋（ad＋bc）2≥0，故A错误；对于B，｜z3｜＝＝，｜z1｜｜z2｜＝·＝，∴｜z3｜＝｜z1｜｜z2｜，故B正确；对于C，＝＝，＝，∴－＝（ad＋bc≠0）为纯虚数，故C正确；对于D，∵z1z2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i（ad＋bc≠0）为虚数，z1z2z3＝（ac－bd）2＋（ad＋bc）2为实数，又对于实系数二次方程，要么Δ≥0，要么Δ＜0，不可能既有实数根，又有虚数根，故D错误.故选B、C. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上） 12.若复数z满足z（1＋i）＝2，则z的实部是1. 解析：z＝＝＝1－i，故z的实部是1. 13.在复平面内，已知复数z＝x－i所对应的点都在单位圆内，则实数x的取值范围是. 解析：∵z对应的点Z都在单位圆内，∴｜｜＜1，即 ＜1，∴x2＋＜1，∴x2＜，∴－＜x＜. 14.已知复数z1＝a（a－3i），z2＝－a＋（a2＋2）i，a∈Z，且｜z1＋z2｜＝2，则a＝－1或3. 解析：复数z1＝a（a－3i）＝a2－3ai，z2＝－a＋（a2＋2）i，a∈Z，可得z1＋z2＝a2－a＋（a2－3a＋2）i，a∈Z，则｜z1＋z2｜＝＝2，a∈Z，整理得（a－1）2（a2－2a＋2）＝20，即（a－1）2·[（a－1）2＋1]＝20.因为a∈Z，所以（a－1）2∈Z，（a－1）2＋1∈Z且（a－1）2＞0，（a－1）2＋1＞0.又因为20＝4×5＝22×（22＋1），故（a－1）2＝4，解得a＝3或a＝－1. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）计算下列各式： （1）＋； （2）＋. 解：（1）＋＝＋＝＝－1. （2）＋＝＋＝·＋＝i＋i＝2i. 16.（本小题满分15分）在①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 已知复数z＝（m2－m－2）＋（m2－1）i. （1）若　　，求实数m的值； （2）当z在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：（1）选择①，当z为实数时，有m2－1＝0， 解得m＝－1或m＝1. 选择②，当z为虚数时，有m2－1≠0，解得m≠－1且m≠1. 选择③，当z为纯虚数时，有 解得所以m＝2. （2）因为z在复平面内对应的点位于第三象限， 所以解得－1＜m＜1， 所以m的取值范围为（－1，1）. 17.（本小题满分15分）在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i. （1）求，，对应的复数； （2）判断△ABC的形状； （3）求△ABC的面积. 解：（1）∵A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.∴复平面内A，B，C对应的点坐标分别为（1，0）（2，1），（－1，2），∴＝（2，1）－（1，0）＝（1，1）， ＝（－1，2）－（2，1）＝（－3，1）， ＝（－1，2）－（1，0）＝（－2，2）. ∴，，对应的复数分别为1＋i，－3＋i，－2＋2i. （2）∵｜｜＝，｜｜＝，｜｜＝2， ∴｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，∴△ABC为直角三角形. （3）S△ABC＝｜｜｜｜＝××2＝2. 18.（本小题满分17分）已知复数z＝＋1＋i，i为虚数单位. （1）求； （2）若复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根，求实数m，n的值； （3）若＝r（cos θ＋isin θ），其中r＞0，θ∈[0，2π），求r，θ的值. 解：（1）z＝＋1＋i＝＋1＋i＝＋1＋i＝1－2i＋1＋i＝2－i， 所以＝2＋i. （2）法一　因为复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根， 所以（2－i）2＋m（2－i）＋n＝0， 可得4－4i＋i2＋2m－mi＋n＝0，即（3＋2m＋n）－（m＋4）i＝0， 所以解得m＝－4，n＝5. 法二　若复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则是该方程的另一个根， 由根与系数的关系得2＋i＋（2－i）＝－m，（2＋i）·（2－i）＝n， 解得m＝－4，n＝5. （3）＝＝＝＝－i＝（－i）＝（cos ＋isin ）， 所以r＝，θ＝. 19.（本小题满分17分）已知z∈C，z1＝z＋2i，z2＝. （1）若z1，z2都是实数，求复数z； （2）在（1）的条件下，若复数（z＋ai）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a取值范围； （3）若z1是纯虚数，且｜z1－z2｜＝，求｜z1＋z2｜. 解：（1）设复数z＝a＋bi（a，b∈R）. 则z1＝z＋2i＝a＋（b＋2）i，z2＝＝＝＝＝＋i， ∵z1，z2都是实数，∴ 解得∴z＝4－2i. （2）∵复数（z＋ai）2＝[4＋（a－2）i]2＝16－（a－2）2＋8（a－2）i＝12－a2＋4a＋8（a－2）i在复平面上对应的点在第四象限，∴解得－2＜a＜2. （3）∵z1是纯虚数，可设z＝mi（m∈R）， z1＝（m＋2）i（m＋2≠0）， z2＝＝＝＝－＋i. ∵｜z1－z2｜＝，∴＝， ∴＝， 化为m2＋6m＋5＝0，解得m＝－1或－5. 当m＝－1时，z1＝i，z2＝－i， 则｜z1＋z2｜＝＝＝. 当m＝－5时，z1＝－3i，z2＝1－2i， 则｜z1＋z2｜＝｜1－5i｜＝. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $