第十章 复数 阶段质量评价-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

[阶段质量评价]　　　　　　　　第十章　复　数 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.= (　　) A.2-i B.2+i C.-2i D.2i 解析:选D　==(1+i)2=2i.故选D. 2.(2025·全国Ⅰ卷)(1+5i)i的虚部为 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.6 解析:选C　(1+5i)i=i+5i2=i-5,故虚部为1. 3.(2024·新课标Ⅰ卷)若=1+i,则z= (　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 解析:选C　因为==1+=1+i,所以z=1+=1-i.故选C. 4.以-+2i的虚部为实部,以i+2i2的实部为虚部的新复数是 (　　) A.2-2i B.-+i C.2+i D.+i 解析:选A　设所求新复数z=a+bi(a,b∈R),由题意知,复数-+2i的虚部为2;复数i+2i2=i+2×(-1)=-2+i的实部为-2,则所求的z=2-2i.故选A. 5.复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选C　z=====--i,即z对应的点为,位于第三象限.故选C. 6.已知复数z1,z2是关于x的方程x2-2x+3=0的两根,则z1z2的值为 (　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 解析:选D　法一　由x2-2x+3=0,得z1=1+i,z2=1-i,所以z1z2=(1+i)(1-i)=3; 法二　方程x2-2x+3=0,由根与系数的关系可得z1z2==3.故选D. 7.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则= (　　) A.-i　　　　　B.+i C.--i D.-+i 解析:选C　由题图知,z1=1-2i,z2=1+i,所以====--i,故选C. 8.定义复数的一种运算z1*z2=(等式右边为普通运算),若复数z=a+bi,为z的共轭复数,且正实数a,b满足a+b=3,则z*的最小值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　z*====.∵ab≤=,∴-ab≥-.∴z*≥==,当且仅当a=b=时,等号成立. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知复数z满足z2+2z+5=0,则 (　　) A.z的实部为-1 B.z的虚部为2或-2 C.|z|= D.=-1+2i 解析:选ABC　因为z2+2z+5=(z+1)2+4=0,所以z+1=±2i,得z=-1±2i.所以z的实部为-1,A正确;z的虚部为-2或2,B正确;|z|==,C正确;当z=-1+2i时,=-1-2i,当z=-1-2i时,=-1+2i,D错误.故选A、B、C. 10.已知复数z=,则下列结论正确的是 (　　) A.z对应的点位于第一象限 B.的虚部为2 C.|z|= D.z=5 解析:选ACD　z====1+2i,z对应的点(1,2)位于第一象限,A正确;=1-2i的虚部为-2,B错误;|z|==,C正确;z=(1+2i)(1-2i)=1+4=5,D正确.故选A、C、D. 11.对任意z1,z2,z∈C,下列结论成立的是 (　　) A.当m,n∈N*时,有zmzn=zm+n B.当z1,z2∈C时,若+=0,则z1=0且z2=0 C.互为共轭复数的两个复数的模相等,且||2=|z|2=z· D.z1=z2的充要条件是|z1|=|z2| 解析:选AC　由复数乘法的运算律知A正确;取z1=1,z2=i,满足+=0,但z1=0且z2=0不成立,B错误;由复数的模及共轭复数的概念知结论成立,C正确;由z1=z2能推出|z1|=|z2|,但|z1|=|z2|推不出z1=z2,因此z1=z2的必要不充分条件是|z1|=|z2|,D错误. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)(2024·天津高考)已知i是虚数单位,复数(+i)·(-2i)=　　　　.  解析:(+i)(-2i)=()2-2i+i-2i2=7-i. 答案:7-i 13.(5分)已知a,b∈R,a+3i-3=(b+i)i2 023(i为虚数单位),则a+b=　　　.  解析:由a+3i-3=(b+i)i2 023得a+3i=(b+i)(-i),即a+3i=1-bi,而a,b∈R,则a=1,b=-3,所以a+b=-2. 答案:-2 14.(5分)在复平面内,O为原点,向量=(a,b),对应复数为a+bi(a∈R,b∈R),将绕O点沿逆时针方向旋转,且将向量的模变为原来的倍,得向量,此时向量对应的复数为(a+bi)·(1+i)=a-b+(a+b)i.现有一平行四边形ABCD,如图,A(1,1),B(3,2),|AD|=|AB|,∠BAD=45°,则D点直角坐标为　　　　.  解析:易得=(2,1),故对应的复数为2-1+(2+1)i,即=(1,3),=+=(2,4). 答案:(2,4) 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知复数z=(m2+2m)+(m2-2m-3)i,m∈R(i为虚数单位). (1)当m=1时,求复数的值;(5分) (2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限,求m的取值范围.(8分) 解:(1)当m=1时,z=3-4i,∴==--i. (2)∵复数z在复平面内对应的点位于第二象限, ∴解得-2<m<-1,∴m的取值范围是(-2,-1). 16.(15分)设m∈R,复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数. (1)求m的值;(7分) (2)若-2+mi是方程x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.(8分) 解:(1)由题设,知解得m=2. (2)由(1)及题设知,-2+2i,-2-2i是方程的两个根, 所以故p=4,q=8. 17.(15分)已知复数z1=2+i,z2=2-3i. (1)计算z1z2.(5分) (2)若|z|=5,且复数z的实部为复数z1-z2的虚部,求复数z.(10分) 解:(1)因为复数z1=2+i,z2=2-3i,所以z1z2=(2+i)(2-3i)=4-6i+2i-3·i2=7-4i. (2)设z=a+bi(a,b∈R), 因为|z|=5,所以a2+b2=25. 又复数z1-z2=(2+i)-(2-3i)=4i,所以复数z1-z2的虚部为4.又因为复数z的实部为复数z1-z2的虚部,所以a=4. 又a2+b2=25,解得b=±3,所以z=4+3i或z=4-3i. 18.(17分)已知复数z1=1+3i,z2=2+2i,i为虚数单位. (1)求z1-z2及|z1+|;(8分) (2)若z=,求z的共轭复数.(9分) 解:(1)∵z1=1+3i,z2=2+2i,∴=2-2i,z1-z2=(1+3i)-(2+2i)=-1+i,|z1+|=|1+3i+2-2i|=|3+i|==. (2)∵z======1+i, ∴=1-i. 19.(17分)已知复数z=a+bi,其中a,b为实数且a≠0. (1)若z(z+)=2+4i,求z;(7分) (2)若ω=z-为纯虚数,且1≤|ω|≤2,求|b|的取值范围.(10分) 解:(1)∵z=a+bi,∴=a-bi,∴z(z+)=2a(a+bi)=2a2+2abi=2+4i. ∴解得或∴z=1+2i或z=-1-2i. (2)∵ω=a+bi-=a+bi-=a+bi-=+i为纯虚数,∴ 又a≠0,∴a2+b2=2,则2b≠0,即b≠0. ∴ω=2bi.∴|ω|=2|b|∈[1,2],解得≤|b|≤1. 即|b|的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $