10.2.2 复数的乘法与除法(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

10.2.2　复数的乘法与除法

课标要求

　　我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足aman＝am＋n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn，其中m，n均为正整数.

【问题】　复数的运算满足上述的运算律吗？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　复数的乘法

1.复数的乘法

一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），称z1z2（或z1×z2）为z1与z2的积，并规定：z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝　（ac－bd）＋（ad＋bc）i　.

2.复数乘法的运算律

对任意复数z1，z2，z3∈C，有

3.复数的乘方

n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方（或n次幂），并记作zn，即zn＝

当m，n均为正整数时，zmzn＝　zm＋n　，（zm）n＝　zmn　，（z1z2）n＝　　.

【想一想】

1.以前学过的完全平方公式、平方差公式等，对于复数来说是否还成立呢？

提示：成立.

2.复数的乘法与多项式的乘法有何不同？

提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并.

3.｜z｜2＝z2，正确吗？

提示：不正确.例如，｜i｜2＝1，而i2＝－1.

1.已知复数z＝2－i，则z·的值为（　　）

A.5 B.

C.3 D.

解析：A　z·＝（2－i）（2＋i）＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.

2.复数（1＋i）2（2＋3i）的值为（　　）

A.6－4i B.－6－4i

C.6＋4i D.－6＋4i

解析：D　（1＋i）2（2＋3i）＝2i（2＋3i）＝－6＋4i.故选D.

知识点二　复数的除法

1.复数的倒数

一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数.

2.复数的除法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R，c＋di≠0），

则＝＝＝＋i.

　　提醒：对复数除法的两点说明：①实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似；②代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.

1.复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（　　）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析：C　因为z＝＝＝＝－1－i，故复数对应的点在第三象限.

2.若z（1＋i）＝2i，则z＝（　　）

A.－1－i B.－1＋i

C.1－i D.1＋i

解析：D　由z（1＋i）＝2i，得z＝＝＝＝i（1－i）＝1＋i.

知识点三　实系数一元二次方程

1.定义：当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程.

2.实系数一元二次方程的解

设ax2＋bx＋c＝0（a，b，c∈R且a≠0），

（1）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；

（3）当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根.

1.在复数集内分解因式：x4－25＝（x＋i）（x－i）（x＋）（x－）.

解析：x4－25＝（x2＋5）（x2－5）＝（x2＋5）（x＋）（x－）＝（x＋i）（x－i）（x＋）（x－）.

2.在复数范围内方程x2－2x＋3＝0的根为1＋i或1－i.

解析：∵Δ＝（－2）2－4×3＝－8＜0，∴原方程的根为x＝＝1±i.