10.2.2 复数的乘法与除法(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学复数的乘法与除法，系统梳理复数乘法（定义、运算律、乘方）、除法（法则、分母实数化）及实系数一元二次方程解法，从实数运算律引入复数运算探究，构建从基础运算到方程应用的学习支架。 资料以问题驱动，通过类比多项式乘法讲复数乘法，分母实数化类比根式有理化，培养数学运算素养，实系数方程求解强化逻辑推理，课中助教师系统授课，课后练习题与解析帮助学生查漏补缺。

10.2.2　复数的乘法与除法 课标要求 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算（数学抽象）. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律（数学运算）. 　　我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足aman＝am＋n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn，其中m，n均为正整数. 【问题】　复数的运算满足上述的运算律吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　复数的乘法 1.复数的乘法 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），称z1z2（或z1×z2）为z1与z2的积，并规定：z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝　（ac－bd）＋（ad＋bc）i　. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝　z2z1　 结合律 （z1z2）z3＝　z1（z2z3）　 乘法对加法的分配律 z1（z2＋z3）＝　z1z2＋z1z3　 3.复数的乘方 n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方（或n次幂），并记作zn，即zn＝ 当m，n均为正整数时，zmzn＝　zm＋n　，（zm）n＝　zmn　，（z1z2）n＝　　. 【想一想】 1.以前学过的完全平方公式、平方差公式等，对于复数来说是否还成立呢？ 提示：成立. 2.复数的乘法与多项式的乘法有何不同？ 提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并. 3.｜z｜2＝z2，正确吗？ 提示：不正确.例如，｜i｜2＝1，而i2＝－1. 1.已知复数z＝2－i，则z·的值为（　　） A.5 B. C.3 D. 解析：A　z·＝（2－i）（2＋i）＝22－i2＝4＋1＝5，故选A. 2.复数（1＋i）2（2＋3i）的值为（　　） A.6－4i B.－6－4i C.6＋4i D.－6＋4i 解析：D　（1＋i）2（2＋3i）＝2i（2＋3i）＝－6＋4i.故选D. 知识点二　复数的除法 1.复数的倒数 一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数. 2.复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R，c＋di≠0）， 则＝＝＝＋i. 　　提醒：对复数除法的两点说明：①实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似；②代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开. 1.复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：C　因为z＝＝＝＝－1－i，故复数对应的点在第三象限. 2.若z（1＋i）＝2i，则z＝（　　） A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i 解析：D　由z（1＋i）＝2i，得z＝＝＝＝i（1－i）＝1＋i. 知识点三　实系数一元二次方程 1.定义：当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程. 2.实系数一元二次方程的解 设ax2＋bx＋c＝0（a，b，c∈R且a≠0）， （1）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； （3）当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根. 1.在复数集内分解因式：x4－25＝（x＋i）（x－i）（x＋）（x－）. 解析：x4－25＝（x2＋5）（x2－5）＝（x2＋5）（x＋）（x－）＝（x＋i）（x－i）（x＋）（x－）. 2.在复数范围内方程x2－2x＋3＝0的根为1＋i或1－i. 解析：∵Δ＝（－2）2－4×3＝－8＜0，∴原方程的根为x＝＝1±i. 题型一｜复数代数形式的乘法运算 【例1】　计算下列各题： （1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）； 解：（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i ＝1＋i. （2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i； 解：（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i ＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i ＝（3＋11i）（3－4i）＋2i ＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i. （3）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）. 解：（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i） ＝2（4－i）（3－i）＋（7－i）（4－3i） ＝2（12－7i＋i2）＋（28－25i＋3i2） ＝47－39i. 通性通法 复数的乘法运算法则的应用 （1）①复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简； ②对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等. （2）灵活运用一些常用结论 in（n∈N）的周期性（拓展）：i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0. 【跟踪训练】 1.（2024·全国甲卷理1题）若z＝5＋i，则i（＋z）＝（　　） A.10i B.2i C.10 D.2 解析：A　因为z＝5＋i，所以＝5－i，所以i（＋z）＝10i，故选A. 2.已知复数z1＝2（ cos＋isin），z2＝cos＋isin，则z1z2在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：B　因为z1＝2（ cos＋isin）＝＋i，z2＝cos＋isin＝i，所以z1z2＝（＋i）i＝－1＋i，所以z1z2在复平面内对应的点为（－1，），位于第二象限. 题型二｜复数代数形式的除法运算 【例2】　计算：（1）（－2＋3i）÷（1＋2i）； 解：原式＝＝ ＝ ＝＝＋i. （2）； 解：法一　＝ ＝＝－2＋i. 法二　＝＝ ＝＝＝－2＋i. （3）＋－. 解：原式＝[（1＋i）2]3·＋[（1－i）2]3·－＝（2i）3·i＋（－2i）3·（－i）－ ＝8＋8－16－16i＝－16i. 通性通法 1.两个复数代数形式的除法运算的步骤 （1）首先将除式写为分式； （2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； （3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. 2.常用公式 （1）＝－i；（2）＝i；（3）＝－i. 【跟踪训练】 1.复数z＝，则在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：B　因为z＝＝＝＝－1－2i，则＝－1＋2i，所以复数在复平面内对应的点为（－1，2），位于第二象限. 2.若复数z＝为纯虚数，b＝｜a＋i｜，则a＋bi的共轭复数为（　　） A.－2－i B.＋i C.－i D.2＋i 解析：C　依题意，z＝＝＝＋i，由z为纯虚数，得解得a＝，b＝＝，所以a＋bi的共轭复数为a－bi＝－i. 题型三｜解实系数一元二次方程 【例3】　已知关于x的方程x2－px＋1＝0（p∈R）在复数集范围内有两个根x1，x2，若｜x1－x2｜＝1，求实数p的值. 解：∵Δ＝p2－4， （1）当Δ≥0时，即p≥2或p≤－2时， 此方程有两个实数根x1，x2， 又∵｜x1－x2｜＝1，即｜x1－x2｜2＝1， ∴（x1－x2）2＝1，∴（x1＋x2）2－4x1x2＝1， 由根与系数的关系可知p2－4＝1，∴p＝±. （2）当Δ＜0时，即－2＜p＜2时， 此方程存在两个虚数根x1，x2，且x1，x2互为共轭复数，即x1－x2是纯虚数. 又∵｜x1－x2｜＝1， ∴｜x1－x2｜2＝1， 即（x1－x2）2＝－1， ∴（x1＋x2）2－4x1x2＝－1， 根据根与系数的关系，可知p2－4＝－1， ∴p＝±， 综上所述p＝±或±. 通性通法 实系数一元二次方程在复数范围内的求解策略 （1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a，b，c∈R且a≠0）在复数集内的解有以下三种情况： 当Δ＝b2－4ac＞0时，方程存在两个不相等的实根； 当Δ＝b2－4ac＝0时，方程存在两个相等的实根； 当Δ＝b2－4ac＜0时，方程存在两个不相等的虚数根，且两根互为共轭复数. （2）方程两根满足根与系数的关系 【跟踪训练】 1.复数z1＝3＋2i（i为虚数单位）是方程z2－6z＋b＝0（b∈R）的根，则b的值为（　　） A. B.13 C. D.5 解析：B　∵z1＝3＋2i是方程z2－6z＋b＝0（b∈R）的根，∴方程的另一根z2＝3－2i，∴b＝（3＋2i）（3－2i）＝13.故选B. 2.在复数范围内方程x2＋6x＋13＝0的根是（　　） A.－3±2i B.3－2i C.－2＋3i D.2＋3i 解析：A　法一　因为x2＋6x＋13＝（x＋3）2＋4，所以原方程可化为（x＋3）2＝－4，所以x＋3＝2i或x＋3＝－2i，所以x＝－3＋2i或x＝－3－2i.故选A. 法二　令x＝a＋bi，a，b∈R，则（a＋bi）2＋6（a＋bi）＋13＝0，即a2－b2＋6a＋13＋（2ab＋6b）i＝0， 所以 解得即x＝－3±2i.故选A. 1.已知a∈R，（1＋ai）i＝3＋i（i为虚数单位），则a＝（　　） A.－1 B.1 C.－3 D.3 解析：C　因为（1＋ai）i＝3＋i，所以1＋ai＝＝1－3i，所以a＝－3.故选C. 2.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：B　由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限. 3.〔多选〕已知复数z＝，则下列说法正确的是（　　） A.｜z｜＝ B.z的虚部为－2i C.z在复平面内对应的点在第四象限 D.z的共轭复数为3＋2i 解析：ACD　因为z＝＝＝＝＝3－2i，所以z的虚部为－2，B错误；＝3＋2i，D正确；｜z｜＝＝，A正确；z在复平面内对应的点（3，－2）在第四象限，C正确.故选A、C、D. 4.设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为. 解析：设＝bi（b∈R且b≠0），所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi（3－4i）＝4b＋3bi，所以所以a＝. 5.计算： （1）（1－i）（1＋i）； （2）； （3）（2－i）2. 解：（1）法一　（1－i）（1＋i） ＝（1＋i） ＝（1＋i） ＝＋i＋i＋i2 ＝－1＋i. 法二　原式＝（1－i）（1＋i） ＝（1－i2）＝2 ＝－1＋i. （2）＝ ＝ ＝＝＝i. （3）（2－i）2＝4－4i＋i2＝3－4i. 1.已知复数z在复平面内对应的点的坐标是（1，－2），则i＝（　　） A.1＋2i B.1－2i C.2＋i D.－2＋i 解析：D　由题意可得z＝1－2i，则i＝i（1＋2i）＝－2＋i. 2.若复数z满足（z＋i）（1－2i）＝5，则｜z｜＝（　　） A. B.1 C.2 D. 解析：A　因为（z＋i）（1－2i）＝5，所以z＝－i＝－i＝1＋2i－i＝1＋i，所以｜z｜＝＝. 3.方程z2－4｜z｜＋3＝0在复数集内解的个数为（　　） A.4　　　　B.5 C.6　　　　D.8 解析：C　令z＝a＋bi（a，b∈R），则a2－b2＋2abi－4＋3＝0，得当b＝0时，a2－4｜a｜＋3＝0，a＝±1或a＝±3；当a＝0时，b2＋4｜b｜－3＝0，｜b｜＝－2＋或｜b｜＝－2－（舍）.综上共有6个解：z＝±1，z＝±3，z＝±（－2）i，故选C. 4.在如图所示的复平面内，复数z1，z2，z3对应的向量分别是，，，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：C　由题图，知z1＝3＋2i，z2＝－2＋2i，z3＝1－2i，则＝＝－－i，所以其在复平面内对应的点为，此点位于第三象限.故选C. 5.〔多选〕复数z1，z2满足z1＋z2＝4，z1z2＝8，则（　　） A.｜z1｜｜z2｜＝8 B.｜z1－z2｜＝4 C.｜z1｜＋｜z2｜＝4 D.｜｜＝1 解析：ABD　依题意，复数z1，z2是方程x2－4x＋8＝0的两个根，可得Δ＝（－4）2－4×8＝－16＝（4i）2，解得x＝＝＝2±2i，则不妨设z1＝2＋2i，z2＝2－2i，所以｜z1｜｜z2｜＝×＝2×2＝8，故A正确；｜z1－z2｜＝｜4i｜＝4，故B正确；｜z1｜＋｜z2｜＝2＋2＝4，故C错误；｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜i｜＝1，故D正确. 6.〔多选〕已知两个复数z1，z2满足z1z2＝i，且z1＝1－i，则下面说法正确的是（　　） A.z2＝－＋i B.｜z1｜＝ C.｜z1＋z2｜≥2 D.·＝－i 解析：ABD　由题意知，设z2＝a＋bi（a，b为实数），则z1z2＝（1－i）（a＋bi）＝i，即a＋b＋（b－a）i＝i，所以解得a＝－，b＝，所以z2＝－＋i，故A正确；｜z1｜＝＝，｜z2｜＝＝，所以｜z1｜＝，故B正确；z1＋z2＝1－i－＋i＝－i，所以｜z1＋z2｜＝＝＜2，故C错误；＝1＋i，＝－－i，所以·＝（1＋i）·＝－i，故D正确.故选A、B、D. 7.若复数z＝（m∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则m＝. 解析：因为z＝＝＝为纯虚数，所以6＋m≠0且3－2m＝0，解得m＝. 8.是z的共轭复数，若z＋＝2，（z－）i＝2（i为虚数单位），则z＝1－i. 解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），由题意知z＋＝a＋bi＋（a－bi）＝2a＝2.（z－）i＝（a＋bi－a＋bi）i＝－2b＝2，∴a＝1，b＝－1，则z＝1－i. 9.设复数z＝－1－i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则＝－1＋2i. 解析：∵z＝－1－i，∴＝－1＋i，＝＝＝＝＝－1＋2i. 10.已知复数z＝. （1）求z的实部与虚部； （2）若z2＋m＋n＝1－i（m，n∈R，是z的共轭复数），求m和n的值. 解：（1）z＝＝＝2＋i， 所以z的实部为2，虚部为1. （2）把z＝2＋i代入z2＋m＋n＝1－i， 得（2＋i）2＋m（2－i）＋n＝1－i， 所以解得m＝5，n＝－12. 11.已知复数z＝，则在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：A　因为i4＝1，所以i2 025＝i506×4＋1＝i，i2 026＝i506×4＋2＝－1，所以z＝＝－i，则＝＋i，故在复平面内对应的点位于第一象限.故选A. 12.若＝1＋i，则z＝（　　） A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i 解析：C　法一　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C. 法二　由＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i. 13.已知复数z满足z＝（－1＋3i）（1－i）－4. （1）求复数z的共轭复数； （2）若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围. 解：（1）z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i， 所以复数z的共轭复数为－2－4i. （2）w＝－2＋（4＋a）i，复数w对应向量为（－2，4＋a），其模为＝. 又复数z所对应向量为（－2，4），其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a（a＋8）≤0， 所以实数a的取值范围是[－8，0]. 14.已知＋i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根，则a＝1，b＝－. 解析：把＋i代入方程，得a＋b（＋i）＋1＝0，即＋i＝0，所以即 解得 15.设复数z1＝1－i，z2＝cos θ＋isin θ，其中θ∈[0，π]. （1）若复数z＝·z2为实数，求θ的值； （2）求｜z1＋z2｜的取值范围. 解：（1）由题意，z＝·z2＝（1＋i）（cos θ＋isin θ）＝（cos θ－sin θ）＋（cos θ＋sin θ）i，若复数z＝·z2为实数，则cos θ＋sin θ＝0，故tan θ＝－1，θ∈[0，π]，解得θ＝. （2）由题意，z1＝1－i，z2＝cos θ＋isin θ， ｜z1＋z2｜＝｜（1－i）＋cos θ＋isin θ｜＝｜（1＋cos θ）＋（－1＋sin θ）i｜＝＝＝， 由于θ∈[0，π]，故θ＋∈，故－1≤cos≤，故－1＝≤｜z1＋z2｜≤，故｜z1＋z2｜的取值范围是[－1，]. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $