10.2.2 复数的乘法与除法-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第四册人教B版 10.2.2 复数的乘法与除法 学习目标 变式训练① (1)z=(1+2i)(2-i),则z的共轭复数 1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与 z等于() 除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法 A.3+4i B.3-4i 的运算 C.4+3i D.4-3i 2.理解复数乘法的交换律、结合律、 (2)已知i是虚数单位，若复数（1+ 分配律，掌握复数的正（负）整数次幂的 i)(2+i)是纯虚数，则实数a等于（) 意义 A.2 B 要点精析 c D.-2 川要点1复数代数形式的乘法运算 川要点2复数代数形式的除法运算 思考1若1,22∈C,是否有z子-= 思考2 复数除法的实质是怎样的？ (21+22)(31-22),(21+32)2=z7+2z1'22+23? 例3 (1+i)3 例1已知a,b∈R,i是虚数单位，若 (1-i)2( a-2i与3+bi互为共轭复数，则(a+bi)2= A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i A.5+12i 分析：利用乘法将分子、分母分别相 B.5-12i 乘后利用除法法则求解 C.13+12i 例4已知z=1+a (a∈R),若z为纯 1-i D.13-12i 虚数，则lz=（ 分析：利用共轭复数关系求出α，b的 A.V3 B.1 值，再利用乘法运算求解 C.2 D.V2 例2已知(1+2i)(a+i)的实部与虚部 互为相反数，则实数a=() 变式训练2 A.3 B.- 已知复数z满足z(1+i)=-1+3i(i为虚数 单位)，则在复平面内复数：所对应的点位于 c D () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 34)学 第十章复 数 变式训练③ 变式训练⑤ 已知复数z的共轭复数是z,且z-z=-4i, 若复数z满足z(1+四)=i,则z的虚部 2=13,试求名， 为() N B c D-2 数学文化 例国际数学教育大会(ICME)是世 川要点3的周期性及应用 界数学教育规模最大、水平最高的学术性会 : 议，第十四届大会在上海召开，其会标如 思考3i具有什么性质？ 图，包含着许多数学元素.主画面是非常优 例5计算：i+i+i+…+i21的值 美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和 分析：可以利用i严+i+1+i+2+i+3=0(n∈ 螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的 N)化简， “=三”是用中国古代八进制的计数符号 写出的八进制数3744，也可以读出其二进 制码(0)11111100100，换算成十进制的数 是，则（2 1+1}m (其中i为虚数 单位) 例6已知复数z满足(1+i)z=1-i,则 IcmE-14 三主国 z2023=( 图10-2-2 A.i B.-1 C.-i D.1 分析：由题意将八进制数3744换算成 十进制的数是2020，再利用复数的运算法 B变式训练④ 则及虚数单位ⅰ的周期性计算 1+i2020 设=，2+1 1+i2+, 则z的虚部为( 即可 A.-2 B.2 C.-2i D.2i 学 35N 高中数学必修第四册人教B版 得2， .z=2+3i y=3, 方法二：.z+2-2i=4+i,.z=(4+i)-(2-2i)=2+3i. (2)设复数z=x+i(x,yeR),则=Vx+y,又 -z=24i,∴Vx+-(x+i)=24i,由复数相等的定义，得 VW-=2.解得 x=3, ∴z=3+41, -y=4, y=4, 变式训练1(1)A(2)C 例3解：由题意，得z1-z=(3-a)+(a-2)i,复数z-a2在 I3-a>0, 复平面内对应的点位于第四象限，· .∴.a<2. a-2<0, 例4解：设复数，22，z1+忆2在复平面内对应的点分别为 A,B,C,则BA=z1-z2,k==2,k1-z=2V3,由平面 几何知识，可知四边形OACB为菱形，且cos∠AOB= 0408AE-24225卫-3LA0B=120. 20A·OB 2×2×2 △OBC为正三角形，OC=HOB1=2,即z1+z=2. 变式训练2(1)A(2)(2,+∞) 例5解：设复数z=x+i(x,y∈R),由复数几何意义可 知复平面内点A,B,C,D的坐标分别为A(2,0),B(1, -1),C(4,-2),D(x,y).:四边形ABCD为平行四边 形，·AC与BD有相同的中点，由中点坐标公式可得 2+4_1+x 22 解得5， D对应的复数为5-i, 0-2=-1y y=-1, 2 2 :BD=(4,0),.BD1=V4+0=4. 例6解：由z-3+2i=z-(3-2i)=2,∴.在复平面上z对应的 点Z与3-2i对应的点C之间的距离等于2，复数z对应 的点Z的轨迹是以C(3,-2)为圆心、2为半径的圆.而l 表示复数z对应的点到原点O的距离，又由IOC=V13 ∴lzlm=V13-2,zl=V13+2即1zl的取值范围是[V13-2, V13+2]. 变式训练3解：如图所示，I0=V(V3)2+12=2..z= 2+1=3,zlm=2-1=1. y -V3 M 变式训练3答图 34 数学文化 例A【解析】(4+4i)+(-5+6i)=(4-5)+(4+6)i=-1+ 10i.故选A. 10.2.2复数的乘法与除法 要点精析 例1A【解析】由题意，知a-2i=3-bi,.a=3,b=2,.(a+ bi)2=(3+2i)=5+12i,故选A. 例2A【解析】由于(1+2i)(a+i)=-2+(1+2a)i,(1+2i)(a+i) 的实部与虚部互为相反数，故a-2+(1+20)-0,a=了故 选A. 变式训练1(1)D(2)A 例3D【解析】1+=2i(1+=-1-,故选D, (1-i)2 -2i 例4B【解折】由题意，得：：日出》 (1-a)+(1+ai,z为纯虚数， 2 1-=0.故a=l,zi 1+a≠0， 故z=l.故选B. 变式训练2D 变式训练3解：设z=x+i(,yeR),则由已知，可得 [-ii即24，解得3，或3. 即 (+yi)(x-yi)=13, x2+y2-13, =-2=-2 因北3-2该3-2a于是号器820 5-121=511或=-3-2i=（3-212-5+12-5 13-1313 z-3+2i(-3+2i)(-3-2i)13-13+ 例5解：由i+im+l+i*2+i*3=0(neN+),i+i2+i+…+i221=(i+ iP+护+i)+(i+i6+i+i)+…+(i207+i2018+i09+i200)+i202=2=i. 例6A解折】由已知=话多立 (-i)05t3=[(-i)4]5“x(-i)2=i.故选A. 变式训练4A 变式训练5B 数学文化 例-1【解析】由题意将八进制数3744换算成十进 .1+i2m 制的数，得4x8+4x81+7×82+3×8=-2020,2三 =(i)100=(i)2=-1.