9.2 正弦定理与余弦定理的应用(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦正弦定理与余弦定理的应用，承接正余弦定理基础内容，通过实际测量问题（距离、高度、角度等）展开，先明确仰角、俯角等术语，再分类型归纳通性通法，构建从理论到应用的学习支架。 以故宫角楼高度测量等真实问题驱动，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过题型分类与通性通法总结发展数学思维，结合跟踪训练与练习题，课中助力教师系统授课，课后辅助学生巩固应用，提升数学语言表达与问题解决能力。

9.2　正弦定理与余弦定理的应用 课标要求 1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度的测量问题（直观想象）. 2.能够运用正弦、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题（数学建模、数学运算）. 　　在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量. 【问题】　假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　实际应用问题中的有关名词、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线　上　方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线　下　方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到　目标方向线　的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 【想一想】 李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？ 提示：东南方向. 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）方位角是从正北方向逆时针旋转到目标方向线的水平角.（　×　） （2）东偏北45°的方向就是东北方向.（　√　） （3）俯角和仰角都是对于水平线而言的.（　√　） （4）仰角与俯角所在的平面是铅垂面.（　√　） （5）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.（　×　） 2.若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（　　） A.东偏北45°10'方向上　B.东偏北44°50'方向上 C.南偏西44°50'方向上 D.西偏南44°50'方向上 解析：C　如图所示. 3.两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a（km），灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为（　　） A.a km　B.a km C.a km　D.2a km 解析：A　如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝a. 4.如图，为测量塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20m到达D点，测得∠ADB＝30°，则塔高为（　　） A.40 m　 B.20 m C.40 m　 D.20 m 解析：D　在Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°可知AC＝x，在Rt△ABD中，AD＝x＋20（ －1），∠ADB＝30°，所以＝tan 30°，＝，解得x＝20.则塔高为20 m. 题型一｜测量距离问题 【例1】　（1）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是60m； 解析： tan 30°＝，tan 75°＝，又∵AD＋DB＝120，∴AD·tan 30°＝（120－AD）·tan 75°，∴AD＝60，故CD＝60 m. （2）如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点间的距离是20m. 解析：在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝ ＝40.在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－（30°＋105°）＝45°.由正弦定理，得AC＝＝20.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA＝（20）2＋（40）2－2×40×20cos 60°＝2 400，∴AB＝20，故A，B两点之间的距离为20 m. 通性通法 测量距离的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可通或不可视 A，B两点间可视但有一点不可达 A，B两点都不可达 简图 方法 先测∠ACB，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 先测∠ACB，∠ABC，BC＝a，再用正弦定理求AB 先测CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB 结论 AB＝ AB＝ ①AC＝； ②BC＝； ③AB＝ 【跟踪训练】 1.如图，计划在两个山顶M，N间架设一条索道.为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔MC＝100 m，NB＝50 m，在BC同一水平面上选一点A，在A处测得山顶M，N的仰角分别为60°和30°，且测得∠MAN＝45°，则M，N间的距离为（　　） A.100 m B.50 m C.100 m D.100 m 解析：C　由题意，可得∠MAC＝60°，∠NAB＝30°，MC＝100 m，NB＝50 m，∠MAN＝45°，且∠MCA＝∠NBA＝90°.在Rt△ACM中，可得AM＝＝200 m.在Rt△ABN中，可得AN＝＝100 m.在△AMN中，由余弦定理得MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos∠MAN＝1002［22＋（）2－2×2××］＝20 000，所以MN＝100 m. 2.某海轮以每小时30海里的速度航行，在点A测得海面上油井P在其南偏东60°方向上；海轮向北航行40分钟后到达点B，测得油井P在其南偏东30°方向上；海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达点C，则P，C两点的距离为（　　） A.20 海里 B. 海里 C.20 海里 D. 海里 解析：A　如图，过点P作AB的垂线，垂足为点E.由题意得∠APB＝∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝30×＝20（海里）.在Rt△PAE中，PE＝APsin 60°＝10（海里）.在Rt△PBE中，PB＝＝20（海里）.由已知可得∠PBC＝90°，BC＝30×＝40（海里），∴在Rt△PBC中，PC＝＝＝20（海里）. 题型二｜测量高度问题 【例2】　遵义市正安县被誉为“中国吉他制造之乡”，正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中心.现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安“大吉他”建筑的高度进行测量，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距30米的C，D两观测点，且C，D与“大吉他”建筑的底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得“大吉他”建筑顶部A的仰角分别为45°，30°，测得∠CBD＝30°，则“大吉他”建筑AB的高度为（　　） A.30米　　B.34米 C.34米　　D.30米 解析：D　设“大吉他”的高度为h，在Rt△ABC中，因为∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝h.在Rt△ABD中，因为∠ADB＝30°，所以＝tan 30°，所以BD＝AB＝h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos∠CBD，代入数值可得302＝h2＋（h）2－2h·h×，解得h＝30或h＝－30（舍），故选D. 通性通法 测量高度的基本类型及方案 类型 简图 计算方法 底 部 不 可 达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数. 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 底部可达 测得BC＝a， ∠BCA＝C， AB＝a·tan C 【跟踪训练】 如图，无人机在离地面高200 m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN＝60°，则山的高度MN为（　　） A.200 m B.300 m C.300 m D.300 m 解析：B　因为AD∥EC，所以∠ACE＝∠DAC＝45°，又AE⊥EC，所以∠CAE＝90°－∠ACE＝45°，所以AE＝CE，所以AC＝AE＝200.又∠MCA＝180°－60°－45°＝75°，∠MAC＝15°＋45°＝60°，所以∠AMC＝180°－75°－60°＝45°.在△AMC中，由正弦定理可得＝，所以MC＝＝200.在Rt△MNC中，因为∠MCN＝60°，所以MN＝MCsin∠MCN＝200sin 60°＝300 m. 题型三｜测量角度问题 【例3】　在海岸A处发现北偏东45°方向，距A点n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的我方缉私船，奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？ 解：如图，设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获（在D点）走私船，则CD＝10t n mile，BD＝10t n mile. 在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A ＝＋22－2（ －1）·2cos 120°＝6， ∴BC＝， ∵＝， ∴sin∠ABC＝＝＝， ∴∠ABC＝45°， ∴B点在C点的正东方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°. 在△BCD中，由正弦定理得 ＝， ∴sin∠BCD＝＝＝， ∴∠BCD＝30°. 故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船. 通性通法 测量角度问题画示意图的基本步骤 【跟踪训练】 如图，当甲船位于A处时，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，现乙船朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则cos θ＝. 解析：在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝202＋102－2×20×10×cos 120°＝700，所以BC＝10海里.由正弦定理＝，得sin∠ACB＝＝＝，则cos∠ACB＝.从而cos θ＝cos（∠ACB＋30°）＝cos∠ACB·cos 30°－sin ∠ACBsin 30°＝. 题型四｜求速度问题 【例4】　如图，某交警队为了了解山底一段水平公路上行驶车辆的车速情况，现派交警进行测量.交警小明在山顶A处观测到一辆汽车在这段水平公路上沿直线匀速行驶，交警小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度为m/s. 解析：由题意知∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，∴在△ABD和△ACD中，AB＝200 m，AC＝100 m，∴在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC＝100 000，即BC＝100 m，∴这辆汽车的速度为＝＝ m/s. 通性通法 解决实际问题应注意的问题 （1）首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步； （2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题. 【跟踪训练】 一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向上，且与它相距8 海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，则此船的航行速度为（　　） A.8（＋）海里/时 B.8（－）海里/时 C.16（＋）海里/时 D.16（－）海里/时 解析：D　如图，由题意得，在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得＝，即＝，得AB＝8（－），因此该船的航行速度为＝16（－）（海里/时）. 1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（　　） A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东80° D.南偏西80° 解析：D　由条件及题图可知，A＝B＝40°，又因为∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°. 2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）：①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为（　　） A.3 B.2 C.1 D.0 解析：A　对于①，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于②，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c.故选A. 3.如图，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100 m，点C位于BD上，则山高AB＝（　　） A.100 m B.50 m C.50 m D.50（ ＋1）m 解析：D　设山高为h，则由题意知CB＝h，DB＝h，∴h－h＝100，即h＝50（ ＋1）. 4.一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的航行速度是（　　） A.5海里/时 B.5海里/时 C.10海里/时 D.10海里/时 解析：D　如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，可得AB＝5海里，于是这艘船的航行速度是10海里/时. 5.已知A，B，C，D四个景点，如图所示，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D相距2 km，C，D相距km，求A，B两景点间的距离. 解：在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°， 由正弦定理得＝， 即BD＝＝2. 在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD， 所以△ABD为等边三角形，所以AB＝2. 所以A，B两景点间的距离为2 km. 1.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平线，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角∠CAD的大小是（　　） A.30° B.45° C.60° D.75° 解析：B　AD2＝602＋202＝4 000，AC2＝602＋302＝4 500.在△CAD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝＝，故∠CAD＝45°.故选B. 2.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（　　） A.10 m B.100 m C.20 m D.30 m 解析：D　如图，设炮台顶为A，底为D，两船为B，C，则∠ABD＝45°，∠ACD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB＝30，DC＝30，∴BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos 30°＝900，∴BC＝30. 3.一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，经过 h船实际航程为（　　） A.2 km B.6 km C.2 km D.8 km 解析：B　如图所示，在△ACD中，AC＝2，CD＝4，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2×4×＝36.∴AD＝6.即该船实际航程为6 km.故选B. 4.如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处.设连杆AB长100 mm，曲柄CB长35 mm，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）约为（结果保留整数）（参考数据：sin 53.2°≈0.8）（　　） A.17 mm B.18 mm C.19 mm D.20 mm 解析：B　在△ABC中，AB＝100，BC＝35，∠ACB＝53.2°，因为sin 53.2°≈0.8，所以cos 53.2°≈0.6.由余弦定理得：AB2＝CB2＋CA2－2CA·CB·cos 53.2°，所以1002＝352＋CA2－2CA×35×0.6⇒CA2－42CA－8 775＝0⇒CA＝117或CA＝－75（舍去）.因为135－117＝18，所以A0A＝18 mm.故选B. 5.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（　　） A.10 海里 B.10 海里 C.20 海里 D.20 海里 解析：A　如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10海里. 6.一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东15°，距离为12海里，灯塔C在A的北偏东60°，距离为12海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西30°方向，则此时灯塔C位于渔船的（　　） A.南偏东60°方向 B.南偏西30°方向 C.北偏西60°方向 D.北偏西30°方向 解析：D　如图，由题意，在△ABD中，B＝15°＋30°＝45°，AB＝12，∠ADB＝60°，由正弦定理得＝＝＝24，所以AD＝24.在△ACD中，因为AC＝12，∠CAD＝30°，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD×cos 30°＝（12）2＋242－2×12×24×＝144，所以CD＝12，由正弦定理得＝，所以sin∠CDA＝＝.因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，故∠CDA＝60°，此时灯塔C位于渔船的北偏西30°方向. 7.如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为4.55尺. 解析：设折断处离地面的高为x尺，由勾股定理得x2＋32＝（10－x）2，化简得20x＝91，解得x＝4.55. 8.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡角为15°的看台上，同一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，若同一列的第一排和最后一排之间的距离为10 m（如图所示），则旗杆的高度为30m. 解析：如图所示，依题意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，∴∠CPB＝180°－45°－105°＝30°，∴在△PBC中，由正弦定理，可知PB＝＝20（m），∴在Rt△POB中，OP＝PB×sin∠PBO＝20×＝30（m），即旗杆的高度为30 m. 9.如图，某城市有一条公路从正西方MO通过市中心O后转向东北方ON，为了缓解市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L，并在MO，ON上分别设置两个出口A，B，若AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为40（＋1）千米. 解析：如图所示，作OP⊥AB，垂足为P，则OP＝20，由题意知∠AOB＝135°.设∠BAO＝α，0°＜α＜45°，∠OBA＝45°－α.在△AOB中，由正弦定理得＝，可得AB＝·.在△POB中，OB＝，所以AB＝·＝＝＝＝.因为0°＜α＜45°，所以当α＝22.5°时，AB取得最小值40（＋1）. 10.如图所示，一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东20°方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°方向，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海域为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？（≈1.414，sin 115°≈0.906，sin 20°≈0.342） 解：在△ABS中，AB＝32.2×0.5＝16.1 n mile， ∠ABS＝115°， 根据正弦定理，得＝， AS＝＝AB×sin∠ABS×＝16.1×sin 115°×， S到直线AB的距离是d＝AS×sin 20°＝16.1×sin 115°××sin 20°≈7.06（n mile）＞6.5（n mile）. 所以这艘船可以继续沿正北方向航行. 11.如图，一艘客船在A处测得灯塔D在它的南偏东15°方向，测得灯塔C在它的南偏东60°方向.该客船向正东方向行驶60 km后到达B处，此时客船测得灯塔D在它的南偏西45°方向，测得灯塔C在它的南偏西30°方向，则灯塔C与灯塔D之间的距离CD＝（　　） A.10 km B.30 km C.20 km D.30 km 解析：A　由题意可知，∠DAC＝60°－15°＝45°，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝45°－30°＝15°，∠ABD＝45°，所以在△ABD中，∠DAB＝30°＋45°＝75°，∠ADB＝180°－75°－45°＝60°.因为sin 75°＝sin（45°＋30°）＝sin 45°cos 30°＋cos 45°·sin 30°＝，cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝，由正弦定理可得＝，则＝，解得BD＝＝10＋30.在△ABC中，∠ACB＝180°－30°－60°＝90°，所以BC＝30.在△BDC中，由余弦定理可得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos 15°＝（10＋30）2＋900－2×（10＋30）×30×＝1 500，所以CD＝10 km. 12.〔多选〕一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S可能在B处的（　　） A.北偏东75° B.南偏东15° C.东北方向 D.东南方向 解析：AB　画出示意图如图，客船半小时航行的路程为32×＝16（n mile），∴AB＝16 n mile. 又∵BS＝8 n mile，∠BAS＝30°，∴＝， ∴sin∠ASB＝，∴∠ASB＝45°或∠ASB＝135°.当船在B处时，∠ASB＝45°，∠B'BS＝75°，当船在B'处时，∠ASB'＝135°，∠AB'S＝15°.综上，灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°，故选A、B. 13.如图，某人在塔的底端B的正东方向上的C处，与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行1分钟后到达D处，在D处望见塔的底端B在东北方向上.已知沿途某点E处塔的仰角∠AEB＝α，且α的最大值为60°. （1）该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大处时，走了几分钟？ （2）求塔高. 解：（1）依题意知在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝100米，D＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理得＝， 故BC＝＝＝＝＝50（－1）（米）. 在Rt△ABE中，tan α＝，∵AB为定长， ∴当BE的长最小时，α取得最大值60°，此时BE⊥CD. 当BE⊥CD时，在Rt△BEC中， EC＝BCcos∠BCE＝50（－1）×＝25（3－）（米）. 设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大处时，走了t分钟. 则t＝＝＝（分钟），故走了分钟. （2）由（1）知当α取得最大值60°时，BE⊥CD. 在Rt△BEC中，BE＝BCsin∠BCE， ∴在Rt△ABE中，AB＝BEtan 60°＝BCsin∠BCE·tan 60°＝50（－1）××＝25（3－）（米）. ∴所求塔高为25（3－）米. 14.如图，一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，则此船航行的方向为北偏东65度，航行路程为20（＋）海里. 解析：由题意，在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40， 根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos ∠ABC＝402＋（40）2－2×40×40×＝3 200＋1 600，∴AC＝20（＋）. 根据正弦定理得＝， 得sin∠CAB＝，又BC＜AC，∴∠CAB＝45°， ∴此船航行的方向和路程分别为北偏东65°，20（＋）海里. 15.某校学生在学农期间参观了某农村的蔬菜园地，已知该农村中某块蔬菜园地的形状为如图所示的四边形ABCD，经测量，边界CD＝BC＝12 m，∠A＝，∠C＝. （1）若AD的长为8 m，求AB的长； （2）现需要沿该园地的边界修建篱笆（不计宽度）以提醒同学们不要随意进入该园地，问所需要的篱笆的最大长度为多少米？（提示：设∠ADB＝α） 解：（1）由题意可知△BCD为等边三角形，即CD＝BC＝BD＝12 m， 在△BAD中，利用余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD×ABcos， 即AB2＋8AB－80＝0，解得AB＝（4－4）m. （2）设∠ADB＝α，且0＜α＜， 则在△BAD中，利用正弦定理得＝＝， 即AB＝8sin α，AD＝8sin（ －α）， 则AB＋AD＝8sin α＋8sin（ －α）＝8sin α＋8（ cos α－sin α） ＝4sin α＋12cos α＝8sin（ α＋）. 因为0＜α＜，则＜α＋＜，结合正弦函数图象可知，＜sin（ α＋）≤1， 则AB＋AD∈（12，8]，故AB＋AD＋DC＋BC∈（36，8＋24]， 则所需要的篱笆的最大长度为（8＋24）m. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $