9.1.2余弦定理（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第九章解三角形 9.1.2 余弦定理 课程标准 素养解读 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余 通过推导归纳余弦定理.提升逻辑推理，数学运 弦定理。 算，数学抽象素养 2.能用余弦定理解决简单的实际问题 课前。预习学案 对应学生用书P4 [情境引入] [知识梳理] 我们遇到这么一个问题，“遥不 [知识点] 余弦定理 可及的月亮离地球究竟有多远 三角形任何一边的平方等于其他两 呢？”，在古代，天文学家没有先进的 语言 表述 边平方的和减去这两边与它们夹角 仪器就已经估算出了两者的距离，那么，他们是用什 余弦 余弦的积的两倍 么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于 定理 符号 a2=62+c2-2bccos A; 未知的距离、高度等.存在着许多可供选择的测量方 表示 b2=a2+c2-2accos B; 案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或 =a2+62-2abcos C 借助直角三角形的方法.阿基米德说过：“给我一个支 cos A= b2+c2-a2 点，我可以撬起地球.”但实际情况是根本找不到这样 2bc 的支点.全等三角形法有时就像这样.你根本没有足 余弦 推论 cos B=a'+c 2ac 够的空间去构造出全等三角形.所以每种方法都有它 定理 cos C=a+bc 的局限性，其实上面介绍的问题是用以前的方法所不 2ab 能解决的.从本节我们开始学习余弦定理、正弦定理 作用 实现三角形边与角的互化 以及它们在科学实践中的应用.这两个定理能解决上 2思考在△ABC中，若a2=b+c2,a2>b2+c2,a2 述问题. <b2+c2,能否说△ABC分别是直角三角形，钝角 问题1.在△ABC中，设BC1=a,AC1=b.1AB 三角形，锐角三角形？ =c.这三边与角A之间有什么关系呢？ [提示]若a2=b2十c2,则△ABC是直角三角形； 2.你能用边b,c和角A来表示△ABC的面积吗？ 若a2>b十c2,则△ABC是钝角三角形； 若a2<b十c2,则△ABC不一定是锐角三角形，因 提示1.根据向量的数量积，可 为a不一定是最大边. 得a=BC·B [预习自测] =(AC-AB)·(AC-AB) 1.在△ABC中，符合余弦定理的是 =ACI?-2AC.AB+AB? A.c2=a2+62-2abcos C B.c2=a2-62-2bccos A =ACI?-2ACIABIcos A+AB? C.b2=a2-c2-2bccos A =b2-2bccos A+c2, D.cos C=c 2ab 即a2=b2+c2-2 bccos A. 解析：A[注意余弦定理形式，特别是正负号 2.在△ABC中，设AB边上的离为A,Sae=h 问题.] 2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 之cbsin A. 1 6=3,c=2,c0sA=3,则u= () A.5B.√7 C.4D.3 解析：D[由余弦定理得a2=b2+c2一2 bccos A= 9十4-2×3×2×号=9，解得0=8.] ·7· 数学B版·必修第四册 3.在△ABC中，cosC= 号，AC=4,BC=3,则esB 4.在△ABC中，若a=3,b=8,C=60°，则cosA= = ) 解析：由余弦定理得c2=a2+b-2 abcos C, 1 A. B号 即=9+64-2X3×8×合=40， c D号 又c>0,所以c=7. 解析：A[如图，由余弦定理可知： 所以cosA=+c2-a2-64+49-913 cos C= 2BC+AC-AB3+4:-AB 2bc 2×8×7-141 2BC·AC 2×3×4一 答案：号 5.在△ABC中，若a=7b=8,e0sC-是，则最大角 的余弦值是 解析：c2=a2+b-2 abcos C=9,c=3,B为最大角， B 3 osB=0+b=g9-=7 可得AB=3,又由余弦定理可知： 2ac 2×7×3 Cos B-AB+BC AC 41 2AB·BC 2×3×3 9.故 答案：一7 选A.] 课堂。互动学案 对应学生用书P5 题型一已知两边和它们的夹角解三角形 解：根据余弦定理得b=a2十c2-2 accos B [例1]在△ABC中，已知a=2,b=2√2，C=15°，求 =(2√5)2+(6+2)2-2X2√5×（√6+√2）X A,B和c. c0s45°=8，所以b=2区.因为c0sA=+c-a 2bc 汇思路点拨]已知两边和它们的夹角，用余弦定 8+(√6+√2)2-(2√3)21 理求出边c,再由余弦定理的推论求出A或B,最 2X22X(√6+√2) ,因为0<A<元， 后用三角形内角和定理求出第三个角 所以A=60°，C=180°-(A+B)=75. [解]由余弦定理，得 题型 已知三边解三角 c2=a2+b-2 abcos C=4+8-2×2×2√2cos15°. c0s15°=cos(45°-30°)=c0s45°cos30°+ [例2]在△ABC中，已知a:b:c=2:√6：(5+ 1),求各角度数 sin45sin30°=6+2 4 [思路点拨]1.由三边之比表达出三边，用余弦 ∴.c2=8-212=(W6-√2)2，∴.c=√6-2. 定理求解. 又：cosA=+ca2-E 2.由三边之比表达出三边，用余弦定理求出最大 2bc 21 角，再用正弦定理求第二个角，最后利用三角形内 .A=30°，B=180°-(A+C)=135°. 角和定理求出第三个内角 ∴.A=30°，B=135°，c=√6-√2. [解]已知a:b:c=2:√6：(5+1)， 规律方法 令a=2k,b=√6k,c=(W5+1)k(k>0). 已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本 由余弦定理，得 方法是先用余弦定理求出第三边，再由余弦定理 c0sA=+cd=6k+(5+1-4k 2bc 2×√6k×(√5+1)k 21 的推论求出另外一外角，最后用三角形内角和定 理求出第三个角： cosB=Q2+c-B=4+(3+1)2-6k=1」 ◇[变式训练] 2ac 2×2k×(W3+1)k 1.在△ABC中，a=2√3，c=√6+√2，B=45°，解三 .A=45°，B=60°. 角形. .C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°. ·8 第九章解三角形 规律方法 c2(a2+b2-c2), 根据三角形的三边关系求角的基本方法是先用余 整理化简得a4+b一2ab=c, 弦定理求出一个角，再用余弦定理求出另一个角， 所以(a2-b2)2=c. 最后用三角形内角和定理求出第三个角. 因此有a2-b2=c2或b2-a2=c2. ◇[变式训练] 即a2=b+c2或b2=a2+c2, 2.在△ABC中，已知a=2√6，b=6+2√3，c=43, 故△ABC为直角三角形. 求A,B,C 规律方法 解：根据余弦定理，cosA=+c一a 2bc 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时， =(6+23)+(43)2-(26)= 需要从“统一”入手，即使用转化的思想解决这 2×(6+2√5)×(4√3) 2 类问题，一般有两条思考路线：(1)化边为角，再 进行三角恒等变换，求出角的大小或角的正、余 :A∈0，x,A=否， 弦值符号；(2)化角为边，再进行代数恒等变换， cos C=atb-c 求出三条边之间的关系式 2ab 2.判断三角形的形状时，经常用到以下结论： =(26)2+(6+23)2-(45)2_2 (1)△ABC为直角三角形台a2=十c2或b2=a 2X2√6×(6+2√3) 2 十c2或c2=a2+b2; Ce0,xC=至 (2)△ABC为锐角三角形台a2+b>c2且b2+c 民B=元-A-C=元石 7 >a2且c2+a2>b; 412元， (3)△ABC为钝角三角形台a2+b<c2或b+c A-晋B-,C-子 <a2或c2+a2<b2. ◇[变式训练] 题型 判断三角形的形状 3.在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,若 [例3]在△ABC中，若acos A+bcosB=ccos C,试 e2-a2-B>0,则△ABC ) 判断△ABC的形状. 2ab [思路点拨]根据余弦定理把角化为边，利用边 A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 的关系判断 C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形 [解]由余弦定理可得 解析：C[心 >0, 2ab bto-atb.ato-bc.atbd ∴.c2-a2-b>0,.a2+b<c2, 2bc 2ac 2ab △ABC为钝角三角形， 等式两边同乘以2abc得 故选C.] a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)= 随堂。步步夯实 对应学生用书P6 1.若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段 2.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:3,则 cosC的值为 ( A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形 A.3 B-号 C. D.- C.能组成钝角三角形 解析：A[根据正弦定理，得a:b:c=sinA: D.不能组成三角形 sin B sin C=3:2:3,a=3k,b=2k, 解析：B[因5十6>7，故能组成三角形，又因三角 c=3k(k>0). 形最大边对应的角的余弦值0s9=5十6一72 2×5×6 则有oC的整子] 上>0，所以最大角为锐角，所以能组成锐角三 5 3.在△ABC中，a=7,b=4√3，c=√13，则△ABC的 角形.] 最小角为 ·9· 数学B版·必修第四册 解析：a>b>c,.C为最小角， 5.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 由余孩定理得cosC=Q十b-c (a+b+c).(b+c-a)=3bc,sin A=2sin Bcos C. 2ab 试判断△ABC的形状. 2+4-c-香 解：因为(a+b十c)(b+c-a)=3bc, 2×7×45 所以a2=b2+c2-bc. 由余弦定理得a2=b2十c2-2 bccos A,所以cosA= 答案： 7,又因为0°<A<180°，所以A=60°， 4.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余 因为sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 弦值是一亭，则三角形的另一边长为 且sinA=2 sin Bcos C, 所以sin Bcos C=cos Bsin C,则sin(B-C)=0. 解析：设另一边长为x,则z2=52+32一2×5×3X 因为-180°<B-C<180°，所以B-C=0°， 〔-）52=218 即B=C. 又因为A=60°，所以B+C=180°-A=120°， 答案：2√13 即B=C=60°，故△ABC为等边三角形. 课后。素养提升 对应学生课时P2 基础过关 5.在△ABC中，已知AB=3,AC=2,BC=√10，则 JI CHU GUO GUAN 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若 AB·AC等于 b2+c2-a2=√3bc,则A= 3 A. Bξ C. D. A.一2 解析：A[由余弦定理可得cosA=+c-a c号 n 2bc 解析：D[:AB·AC=AB|AClcos(AB,AC), -受又A∈0，，所以A-吾送A 2bc 由向量模的定义和余弦定理可得出|AB=3,|AC|= 2.△ABC中，a=3,b=√7，c=2,那么B等于( A.30 B.45 2csAC=A8CC=故a店·C 2ABXAC C.60° D.1209 解折：C【aosB=装号B=] 3×2x4-是J 6.(多选题)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为 3.边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角之和为 ) a,bc,若a=2c=25,msA-,则b=( A.90° B.120 C.135 D.150° A.2 B.3 C.4 D.2√2 解析：B[设边长为5,7,8的对角分别为A,B,C, 解析：AC[由余弦定理，得a=b2十c2 则A<B<C. 2bccos A, ÷os(A+C)=-c0sB=-2∴A+C=120.] ∴.4=b2+12-6b,即b2-6b+8=0, 4.若1十c0sA=十S,则三角形的形状为 .b=2或b=4.] ( 7.在△ABC中，若(a-c)(a+c)=b(b+c),则A A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 解析：由已知：a2-c2=b2十bc,∴.b2十c2-a2= C.正三角形 -bc, D.等腰直角三角形 解析：A[由1十cosA=十C,得cosA=b,根据 +c2-a2-- 2bc 2 会孩定是，得狐口名，用公，所以 由余弦定理：60sA= 2A=120 三角形为直角三角形.故选A.门 答案：120 ·10· 第九章解三角形 8.在△ABC中，若a=2,b+c=7,cosB=- 则b 解析：：b十c=7,∴c=7-b. 由余弦定理得b2=a2十c2-2 accos B, (a+b)2-ab 则：c2=100-a(10-a)=(a-5)2+75 即b=4+(7-b)2-2×2×(7-b)× 当a=5时，c最小且c=√75=5√5，此时a十b十c b=4. =10+5√5，.△ABC周长的最小值为10+5W3. 答案：4 9.(2021·浙江卷)在△ABC中，∠B=60°，AB=2, 能力提升 NENG LI TI SHENG M是BC的中点，AM=2√3，则AC= 12.如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上， cos∠MAC= AD⊥AC,sin∠BAC=2E ,AB=3√2，AD=3, 3 则BD的长为 /60° B 解析：(1)AM=AB2+BM-2BM·BA·cosB, 解析：因为sin∠BAC=sin(90°+∠BAD) 即12=4+BM-2BM.2· C0S∠BAD=2V2 所以BM-2BM-8=0→BM=4,所以BC=8 3 所以AC2=AB2+BC-2AB·BC·cosB= 所以在△ABD中，有BD2=AB2+AD2-2AB· ADcos,∠BAD, 4+64-2:2.8·2-68-16=52. 所以BD=18十9-2X3V2X3X2yE=3,所以 3 故AC=2√13. (2)由余弦定理得cos∠MAC=AC+AM-MC BD=√3. 2AM·AC 答案：√3 52+12-16 =48_2√/39 2×2√13×2√138√39 13, 1成如图所示，△AC,AB=2msC=2,D是 答案：2√3 2w39 13 AC上-点，且cos∠DBC=5Y 141 10.在△ABC中，已知a-b=4,a十c=2b,且最大角 为120°，求三边长 解：由得=+， {a+c=2b,{c=b-4. 所以a>b>c,所以A=120°， 求∠BDA的大小. 所以a2=b+c2-2 bccos120°， 即(6+40P=6+6-42-26-0×(2)即 14cos C=2 解：由已知得cos∠DBC=5V7】 7 b-10b=0,解得b=0(舍去)或b=10. 从m∠DnC厚snC- 7 所以b=10,a=14,c=6. 11.在△ABC中，a+b=10,cosC是方程2x2-3.x-2 cos∠BDA=cos(∠DBC+C)=57.2V7 14 7 =0的一个根，求△ABC周长的最小值. 解：22-3x-2=0出=2=号 牙 14 .∠BDA=60. 又，c0sC是方程2z2-3x-2=0的一个根 ·11·